第88讲曲面积分计算法(2) 387 第88讲茴面积分计算法(2) 对坐标的曲面积分与三重积分的关系——高斯公式 格林公式[(2-dxy=∮Pax+oy(其中是D取正向的边界曲线)表达了 平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系 高斯(Gaus公式表达的是空间闭区域a上的三重积分与其边界曲面Σ上的曲面积分 之间的联系:设空间闭区域』是由光滑或分片光滑的闭曲面∑所围成,函数P(x,y,x), Q(x,y,x),R(x,y,x)在上具有一阶连续偏导数,则 aP aQ aR ax十沙十a odv= dppdydz +Qdzdx+Rdrdy 这里∑是a整个边界曲面的外侧注意: (])公式成立的条件:可以是单连通的,也可以是复连通的:ax,正在a上 (2)右端曲面积分的曲面∑是有向曲面,是整个边界曲面的外侧 (3)在高斯公式中,若取P=x,Q=y,R=x,就可得到求封闭曲面二围成的立体a的 体积公式 d ydz ydzdx +addy. 二、利用高斯公式计算曲面积分 例1计算 rzd ydz+(xy-z)ddx+(2xy+y2)drdy,其中Σ是由z √a-x-y2和x=0所围成的半球体的表面外侧 解这里P=x2,Q=xy-x2,R=2xy+yx,sP=2bx:,R=y2,如用 表示曲面Σ围成的区域,由高斯公式,得 原式=‖(x2+x2+y) dxd ydz=|d|dr2 singer 2r sin rdr=÷x 例2计算2 red yda=+ drdy-dy,其中S是由曲面=√+y与x √2-x2-y2所围立体表面外侧 aP 解这里P=2xz,Q , R ar dy 用a表示曲面∑围成的区域(如图881),用高斯公式得
388 高等数学重点难点100讲 原式= a +z-2z)dv=Ⅲlzd rcos· rindr 2sg可=2 应用高斯公式时,∑为封闭曲面取外侧时,若Σ不是封闭面, 有时可引入辅助曲面Σ1,使Σ+∑1成为取外侧或取内侧的封闭 曲面,进而采用高斯公式;取内侧时,高斯公式中应加负号,辅助 图88-1 曲面∑1应尽量简单,容易计算其上对坐标的曲面积分,一般情况 下尽量选择平行于坐标面的平面例如取平面x=c(常数),则dydz=0,dzdx=0,只需计 算 P(a,y,2)drdy 例3计算|dyd+zdy,其中∑为曲面z=x2+y上 z≤2部分的下侧 解Σ不是封闭曲面,添加平面21:z=2,(x2+y2≤2),取 ∑ 上侧,E+∑1构成封闭曲面且取外侧,设+E1围成的闭区域为 P=x2,Q=0,R aR az 图88-2 由高斯公式,得 rodydz +zdrdy=l(2x+1)dxdydz de rdr(2rcos8+1)d r(2rcos0+1)(2-r)dr 4-2r5)cos-+r2) d=2π, 又Σ1的方程为z=2,(x2+y2≤2),取上侧,故有 xodydz +addy=0+2dxrdy=4, 综上所述,原式 r'dydz+zdrdy-xdydz+zdrdy =2-47=-2T 例4计算‖dyd+ yazd. x+ eddy,其中是球面x+y+x2=R在第一卦限 部分的上侧 解用高斯公式,因为∑不是封闭曲面,添加三个坐标面,其中S:x=0取后侧,2:y =0取左侧,Σ3:z=0取下侧,于是Σ+S1+22+3构成封闭曲面,它所围成的空间区域 卩是球体的言又P=x,Q=y,R=,应用高斯公式,得
第88讲曲面积分计算法(2) 389 dydz ydzdr zdxd 3 rydz=3××m=如 x+1+2+2 又 rdydz ydzdr +zd.xdy dydz=0;同理 rdydz ydzdr +zdrdy=xdydz ydzdx zdrdy=0 所以「 rd ydz+ yazd+dy= R 2 + a Fu d 例5设函数x(x,y,x)满足方程z2+2+ 0,求证 )2+()2+()2d 其中表示a(x,y,x)沿Σ的外法线方向的方向导数,Σ是空间闭区域的整个边界曲面 分析欲证的式子左端是对面积的曲面积分,右端是三重积分,高斯公式指出了对坐 标的曲面积分与三重积分之间的关系,这就启示我们应先把对面积的曲面积分化为对坐标 的曲面积分,再用高斯公式为此,设Σ的外法线方向的方向余弦为{cosa,cos,cosy},则由 方向导数计算公式,两类曲面积分的关系式及高斯公式得 证左端 COsa dy osp+cosy)ds edda tdzdx t u a d)」f2 ar t(a du d )2+()2+ +2)dv a r dy2 dk 测)2+(y)2+(a)2d=右端. 三、空间对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的关系—斯托克斯公式 设r为分段光滑的空间有向闭曲线,S是以为边界的分片光滑的有向曲面,P的正向 与Σ的侧符合右手规则,函数P(x,y,x)、Q(x,y,x)、R(x,y,)在包含曲面S在内的一个空 间区域内有一阶连续偏导数,则 Pdx+Qdy rdz 器+(一能山+1一物(当一0时得格林公式 为便于记忆,可用符号行列式记为 d ydz dzdr drdy Pdr+Qdy+ Rd R
390 高等数学重点难点100讲 应用斯托克斯公式,可把空间曲线r上的曲线积分化为以厂为边界曲线的曲面∑上的 曲面积分,然后再利用高斯公式可化为三重积分或直接化二重积分计算,关键是根据给出的 空间曲线适当地选取以此曲线为边界的曲面(容易证明: Stokes公式的积分值与∑的形状无 关,假设P、Q、R具有二阶连续偏导数),大部分情况下可选空间的平面的一部分,要注意的 是使曲面的侧和曲线的正向符合右手规则 例6计算中ydx+zdy+zdz,其中为圆周x2+y2+x2=a2,x+y+x=0,若 从x轴正向看去,圆周取逆时针方向 解取Σ为平面x+y+z=0被F所围成的部分的上侧,Σ的面积为ra2(注意Σ的 边界曲线r,是大圆的圆周),Σ的单位法向量为n={cosa,cos,cosy}= ,直接计算在r上的曲线积分较难,我们用斯托克斯公式把它转化为在 Σ上的曲面积分 wdr zdy t rdy ads dr dy a ds 例7计算d3ydx-xdy+yzd,其中P是圆周x2+y2=2,x=2若从x轴正 向看去,圆取逆时针方向 解二取为平面z=2被曲线所围成的部分的上侧,由斯托克斯公式,有 dydz dzdx dx 3ydr andy yz'dz= ar dy a x 因为在yOz面上的投影区域为线段,所以(x2+x)dyd=0,又的方程为x=2, 它在xOy面上的投影区域为Dx:x2+y2≤4,所以 (x+3)dzdy=‖(-2-3)drdy=-5×r2 20x 故 dy y
