第86讲曲线积分计算法(2) 371 第86讲茴线积分计算法(2) 、曲线积分的应用 (1)当f(x,y)>0时,对弧长的曲线积分f(x,y)d可以看成是以f(x,y)为线密度 的曲线形构件L的质量M 应用曲线积分计算曲线构件的质量、重心,对坐标轴的转动惯量等都与二重积分类似 例1求半径为a,中心角为29的均匀圆弧的重心(设线密 度p=1). 解取坐标系如右图,由扇形的对称性可知y=0,又 M、 M 2 acos6·ad 2o cosd asin% 所以,圆弧的重心位于扇形的对称轴上且与圆心距离处 图86-1 例2设螺旋形弹簧一圈的方程为x= acost,y= asin,z=k,其中0≤t≤2x.它的 线密度p(x,y,z)=x2+y2+x2,求:(1)它的重心;(2)它关于z轴的转动惯量 解(1)设重心的坐标为()则=刮x,=高,=其中 M= (x2+y2+z)d (a2+k2t2)√a2+kd 2r√a2+k2 (3a2+4丌k2), 3 im M,reds=r(ri+yo+=>ds= acost(a+k'e)va+kde aVa+k coset+ak t'costdt=4mrak'Va+k: y(x+y2+z)d asin(a'+k2t) 2b2 kede 4丌2ak k kt(a2+kt2)va+kdr=2nk(a+2r'k2) 于是,重心为( 6rak2 3k(a2+2r'x 4丌k2,2a +42k23a2+4丌2k (2)l对z轴的转动惯量为 (x2+y2)(x2+y2+z2) a2(a2+k2t2)√a2+k2da a2√a2+k(3a2+4xk2) (2)对坐标的曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy的物理意义是当质点受到力F(x,y
372 高等数学重点难点100讲 P(x,y)+Q(x,y)j作用,在xOy面内从点A沿光滑曲线L移动到点B时,变力F(x,y) 所作的功:明F-P..dy)-J+a0y(其中由=+4y),质点 在空间沿光滑曲线移动时变力作功可表示为空间对坐标的曲线积分 例3一质点在力场F作用下由点A(2,2,1)沿直线移动到点B(4,4,2),求F所做的 功W,已知F的方向指向原点,其大小与作用点到xOy平面的距离成反比 解设点M(x,y,z)是A,B连线上的任一指定点,则F在该点的方向为r 10-x,。-y.02},大小为(k为比例常数),于是 I MOI F=k /x2+y2+>j+ dz W rat t ydy t zdz √x2+y2+ 线段AB的参数方程为x=2(t+1),y=2(t+1),x=t+1,0≤t≤1, W 3 故 3kln2 t+1 、平面上对坐标的曲线积分与二重积分的关系—格林公式 在定积分中我们学过著名的牛顿一莱布尼兹公式F(x)dx=F(x)|,它把函数 F'(x)在区间[a,b上的定积分表为其原函数F(x)在区间端点处的函数值之差 平面闭区域D上的二重积分也可以通过沿闭区域D的边界曲线l上的曲线积分来表 达,这就是格林公式 若闭区域D由分段光滑的曲线l围成,函数P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续的偏导 数,则有 )dxdy= pdr + Qdy D 其中l是D的取正向的边界 对于复连通区域D,格林公式右边应包括区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向 对区域D来说都是正向 、格林公式的应用 1.计算封闭曲线的曲线积分 例4计算中(2xy-x2)dx+(x+y)dy,其中l是由抛物 线y=x2和y2=x所围成区域的正向边界 解法1直接计算,如右图,由l和l2两段有向弧段组成 其中l1:x=x,y=x2,x从0变到142:x=y2,y=y,y从1变 到 原式 (2ry-r2)dr+(r+y2)dy+(2xy-r')dr+(r+y2)dy
第86讲曲线积分计算法(2) 373 a-)+(+),2)+ry,y-y)y++y)ly =|(2x3+x2+2x2)dx+(4y4-2y3+2y2)dy 615 解法2应用格林公式由P=2y-xQ=x+y得一 2x,于是 原式=(1-2x)dxdy=dx,(1-2x)dy=|(1-2x)(√x-x2)dx 2x+2x3)d 例s设rydx-xx,其中l为正向圆周(x-1)2+y2=2.首先说明下面的解 2(x2+y2) 法是否正确,若有错,请指出错误的原因,并给出正确解法 这里P xa+y,Q2=+四卡盈 所以由格林公式 得 原式 I at -)drdy=‖ Ordy=0. dy 解这个解法是错误的因为格公式要求与在D上连续而本题中在所围成 的区域D:(x-1)2+y≤2内点(0,0)处PQ,及无意义所以不能应用格林公式 正确的解法应该是先作一个小圆,挖去这个不连续的点(0,0).如图86-3,作逆时针方 向的圆周l1 x=rcos0,y=rsin6,0≤6≤2n, 使l1全部含于l内,在以l和-l1为边界的闭区域D1上,P,Q满 足格林公式的条件.应用格林公式,得 rdx y )dxdy=oddy =0 2(x2+y2) ar dy 再由曲线积分的性质,有 Ndx - rd rdy=0, 2(x2+y2)=J;2(x2+y2)J 「xx 图86-3 d tdy 于是 2(x2+y2) 2(x2+y2) sine(-@)-rcose(coso) d8=- 2(rcos20+r'sin28) 2.计算不封闭曲线的曲线积分 对于某些不封闭的曲线l,可添加一段曲线弧l1,使l+l1成为封闭曲线,然后使用格林 公式 例6计算(e'siny-2y)dx+( ecosy-2)dy,其中,l为上半圆周(x-a)2+y a2,y≥0沿逆时针方向
374 高等数学重点难点100讲 解半圆周l不是封闭曲线添加上从点(0,0)沿x轴到点 (2a,0)的有向线段l1,则l+l1构成封闭曲线,它所围成的闭区 域为D P=e'siny-2y, Q=e'cosy-2 ar 2 =e cosy. ay 2 由格林公式,得 (e siny-2y)dx +(e'cosy-2)dy 图 +I ay rdy Idy 于是( e'siny-2y)dx+( ecosy-2)dy ra2- odr =a 例7计算∫(2xy-y(xdz+(1-2oix+3xy),其中为抛物线?x=nxy 上由点(0,0)到(,1)的一段弧 解因为l不是封闭曲线,添加有向线段O和BA,则-+OB+B构成封闭曲线, 它所围成的闭区域为D P=2xy-yocosI, Q=1-2ysinr 3r'y ap 2 4(,1 dy 2x-丌 由格林公式,得 y3-y'cos r )d r +(1-2 Q aP y 0 ar dy 图86-5 又由 +|+和 (2 1-2ysinr +3.r'y)d 0dx+(1-2y+3 3.计算平面封闭曲线围成区域的面积 在格林公式中,令P=-yQ=x得24dy=中xdy-ydr,即平面封闭曲线!所 围成区域D的面积A y 例8求星形线x=acos2l,y=asin2所围图形的面积 解由图形的对称性,得 A Pt. 3asin'tcost +asin t. 3acos'isint )dz rdy 3 6a sin'tcos'idt=6a(sin't-sin't di=8a
第86讲曲线积分计算法(2) 375 四、平面上曲线积分与路径无关的条件 若函数P(Gx,y),Q(x,y)及,迎在单连通区域D上连续则以下4个命题相互等价 1)曲线积分Pdx+Qdy与路径无关,只与位于D中的起点A与终点B有关; (2)对D内任意一点(x,y),有 ap R (3)沿D内的任意光滑或逐段光滑的闭曲线l,有Pdx+ady=0 (4)在D内存在一个函数u(x,y),使da=Pdx+Qdy 当上述四个等价命题之一成立时, Stx,, 1) (x.v) u(T,y P(r,y)dr P(r,yo)dx+Q(r, y)dy, (86.1) u( Q(ro,y)dy+P(r,y)dr (86.2) AAx. '. 在公式(86.1)中积分路径为折线MRM在公式(86.2)中积分 86-6 路径为折线M。SM 注意①积分路径即折线MRM或MSM应全部位于上述的域D内;②求n(x,y)时, 用公式(1)还是公式(2),应根据点(x,y)函数P(x,y)及Q(x,y)来考虑,计算时越简单越 好;③当点(0,0)位于域D内时,通常取(x0,y)=(0,0),计算简单 (3.4) 例9证明积分 6ry2-y)dr +(6.r'y (3,4) 与路径无关,并计算积分值 解这里P=6xy2-y2,Q=6x2y-3xy2,因为 (3,2) a=12xy-3y2 ap 所以积分与路径无关,如左图,取从点(1,2)到点(3,2)再到点 3,4)的折线积分,得 图 86-7 原式=(24x-8)dx+(54y-9y)dy=236 例10验证:在整个xOy面内,(2 rosy+ y-cosr)dx+(2 sinr- T SIny)dy是某 个函数的全微分,并求出这样一个函数. 解这里P=2 ICos y+ y"cost,Q=2yinx- r" y,因为 = 2ycos r -2rsiny= 在xOy面内恒成立,因此在xOy面内(2 cosy+ y"cosr)dx+(2 viN. r-x2siny)dy是某个 函数的全微分.这时,积分与路径无关,取积分路线如图86-8所示,积分得 ,y) .(2xcosy y"cos.r )dx +(2 ysinr -r'siny )dy 2rdx +(2ysinr -r'siny)dy
376 高等数学重点难点100讲 x+y'sinr +r'cosy-x2=y'sinr x'cosy. 求u(x,y)的另一方法如下:由d(x,y)=dx+ady知 a=P=2 rosy+ y'cosr dy2 using- tiNy,关于x积 ar 分得 u(x,y)=(2zcosy +yocosr)dx=r'cosy +y'sinr+C(y) 对y求偏导数,得 ay =-x'siny 2ysinr +C(y) 图86-8 与上面相比较得C(y)=0,从而求得C(y)=C,于是2(y)=xcoy+yix+c 例11设曲线积分xy2dx+yq(x)dy与路径无关其中φ具有连续导数且(0) (1,1) 0,计算I xy'dr t yo(r)d 解因为曲线积分与路径无关,则[y(x)]=x(xy2),即y(x)=2yx,或(x) 2x,得y(x)=x2+C;由g(0)=0,得C=0;因此,g(x)=x2,于是 rdx yrd odr+|ydy= 小结计算对坐标的曲线积分Pdx+Qdy的解题思路 (1)首先看是否满足曲线积分与路径无关的条件,即首先看=是否在包含L的单 连通域内恒成立,若成立,再看L是否是闭合的 若L是闭曲线则可直接利用中Padx+Qdy=0的结论若L不是闭曲线,则选择平行 于坐标轴的折线作为积分路径 2)若≠,不满足曲线积分与路径无关的条件,看是否满足格林定理条件,即看 及是否在包含L的闭区域内连续,是否是闭合的若满足则可用格林公式计算 (3)若不满足曲线积分与路径无关的条件,也不满足格林定理条件,则可化为定积分计 算其计算步骤是:①选择适当的参数写出积分曲线L的参数方程②」PQdx+Qdy中的 x,y以L的参数方程代入,再求出dx,dy代入,化为对参数的定积分确定积分限时必须注 意下限对应于L的起点,上限对应于L的终点③计算这个定积分
