第66讲定积分应用(1) 237 第66讲定积分应用(1) 定积分具有十分广阔的应用,在第66~69讲中,我们分十二小节来讨论如何理解和运 用元素法(也称微元法)来解可化为定积分的实际问题 、元素法的基本概念 1.所求量U符合下列件时能用定积分表达 (1)U是与一个变量(例如x)的变化区间[a,6]有关的量 能用定积分来解决的实际问题,总可归结为求一个确定在某区间[a,b]上且一般来说 在[a,b]上非均匀分布的量U (2)U对于区间[a,b]具有数量的可加性 设U是与变量x的变化区间[a,b]有关的待求量.在[a,b]内任意插入分点a=x。< x1<…<xn=b,把[a,b]分成n个小区间[x-1,x,](i=1,2,…,n),相应地量U也被分成 n个部分量U(i=1,2,…n),那么U等于这些部分量的和,即 U=U1+a2+…+a,=∑LU (3)能找出部分量aU(i=1,2,…,n)的近似表达式,对每个部分量4U,可以找到如下 形式的近似值: M,≈f(年;)4x;(i=1,2 7 其中f(x)为[a,b上的连续函数,4x,=x;-x-1,6,∈[x-1,x,],那么待求量U的近 似值为U=∑U≈∑f()Ax 2.求U的定积分表达式的步骤 (1)选取一个变量(例如x)并确定其变化区间[a,b]; (2)取任意一个小区间[x,x+dx]c[a,b],计算在这个小区间上的部分量MU的近似 值:dU=f(x)dx (3)以=f(x)dx作被积式在a,b门上作定积分得U=|d=|f(x)dx 这就是所求量U的定积分表达式,这个方法称为定积分的元素法(微元法),dU= f(x)dx称为U的元素(微元) 3.使用定积分元囊法的要求 使用定积分元素法的要求是: im20=()4x=0,或U=f(x)Ax+Ax(当Ax→0时,→0且与x无关) Areo 我们要求的是U的精确值,而用wU的近似值累加,其误差也将累加,所以就要求累加 的误差能随所有△x→0而趋向于零.因此,希望相应于任一长为Ax的小区间[x,x十4x] c[a,b]的部分量△都能满足表达式:aU=f(x)Ax+cAx(当4x→0时,e→0且与x 无关),这样可以证明量U可用定积分计算U-f(a)dx 例如求连续曲线y=f(x)≥0,直线x=a,x=b(a<b和x轴围成的曲边梯形面 积A(图661)时,dA=f(x)dx.这是因为△A(相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx]的窄 曲边梯形面积)由积分中值定理可表示为
238 高等数学重点难点100讲 x+△r △A f∫(t)dt=f()Ax(x≤≤x+4x) y/x) 所以 lim f(5)4r-f(r) Areo AT △r·0 lim[f(E)-f(x)]=0, fr 因此 dA f(x)dx A(x) 人们往往根据问题的几何或物理的特征,自然地将注意力 x+dx 集中于去找f(x)Ax=f(x)dx这一项上,但不能忘记,这一项与 如之差,当△x→0时,应是比4x高阶的无穷小量.即 lim 40-f(x)dx 图66-1 0 句话概括:若待求量U在[a,b]上具有可加性,且=f(x)dx+o(dx),即可用元 素法求之 二、平面图形的面积 1.直角坐标系中图形的面积 s=If(x)dx S yafr) y=f(r) b S y)Jay S If(r)-g(x)Idx y=(x) 影 x={() y=g(r) b 图 2.边界曲线为参數方程的图形的面积 p(t) pa),≤l≤4,S=(t)甲()dt
第66讲定积分应用(1) 239 注:设一个上下限若y()()d为“正”的,则它就是图形的面积;若为“负”的则只 要更换一下积分上下限便得所求面积 3.极坐标下平面图形的面积 S r2(0)d0 S=[()-r()]d r=r(0) (b) 图66-3 例1求下列平面图形的面积 (1)求由曲线y=e,y=e-以及直线x=1围成的图形面积; (2)求两条抛物线x=y2一2y以及x=2y2-8y+6围成的图形面积 解(1)画出平面图形的草图如图66-4. 求出两曲线的交点即由{y二解出x=0,即得出交点横 坐标,交点纵生标y=1.选取x为积分变量,则x的变化区间为 [0,1],在[0,1]上任意小区间[x,x+dx相应的窄条面积近似 值即面积元素dA=(ex-e-)dx.于是 A=(e-e-)dx=[e+e-1b=e+e-1-2, t r+dx 若选积分变量为y则还要求出曲线与直线x=1的交点(1, e)及(1,e-1),y的变化区间为[e-1,e]因为在[e-1,e]上,对应的 曲边梯形曲边由两条曲线x=-lny与x=lny组成,故要把图形 图66-4 分成两部分,即在[e-,1]上的部分与[1,e]上的部分,相应于[e-,1]上的任一小区间[y,y +dy]的窄条曲边梯形的面积的近似值即面积元素dA1=(1+lny)dy,相应于[1,e]上的 任一小区间[y,y+dy的窄条曲边梯形面积即面积元素dA2=(1-lny)dy,于是 =4+4=.4+y)yx-my)dy +lnydy +e-l t lyly Lylny - y]s e-e1+[-1-(-e-1-e-l)]-[e (0-1)]=e+e-1-2. 显然,从上题的求解过程中可见,积分变量选取是否适当,直接影响计算的繁简一般积 分变量选取的原则是 (i)被积函数简单且易于求出它的原函数; (i)积分区间尽量不分块或少分块 用定积分的元素法求平面曲线围成的图形的面积(直角坐标情形)的步骤为:
240 高等数学重点难点100讲 ①画出草图,求出曲线交点; ②按积分变量的选取原则选取适当的积分变量,并确定其变化区间; ③若不论选择哪个变量,都要分块,则必须确定分几块计 算,并确定相应部分的面积元素与积分限,并由此计算所确定的 3+/3 定积分. (2)本题草图如图66-5所示 由 x=2y2-8y+6解出二曲线交点的纵坐标为y=3 ±√3.显然应选取积分变量为y,则y的变化区间为[3 3,3+√3]若选积分变量为x,则要分成[-2,6-4√3] 及[6-4√3,6+4√3]两块)而在[3-√3,3+√3]上 图66-5 相应于小区间[y,y+dy]的面积元素dA=[2y2-8y+6-y2+2yJdy=[y2-6y+ 6]dy,故 A 6y+6d y3-3y2+6y] 例2计算下列平面图形的面积: (1)平面图形由抛物线y=2-x2与直线y=x围成; 算如所示两曲线交点由方2=0和4处两条切线细成 (2)平面图形由抛物线y=x2-5x+4与其在点 解出,其坐标分别为(-2, 2)、(1,1).显然选取x为积分变量不须分块,其x的变化区间为[-2,1],相应于[-2,1]上 任一小区间[x,x+dx]的面积元素dA=(2 )dx,故 A=|(2-x2-x)dx=[2x 2 图66-6 图66-7 (2)如图66-7所示,先求出x=0和x=5时曲线上对应点(0,4),(5,4)处的切线因 y=2x-5,所以y(0)=-5,y(5)=5,故所求切线分别为y-4=-5x及y-4=5(x 5),它们的交点了2)选取x为积分变量则x的变化区间为[0,5,应分两块计 算(若选y为积分变量得分三块计算)在[o,上相应于任一小区间[x,x+d]的面积元 素d1=【x2-5x+4-4+5]z=d,在[},5]上,相应于任一小区间[x,x+d] 的面积元素dA2=[x2-5x+4-4-5(x-5)]dx=(x2-10x+25)dx.故
第66讲定积分应用(1) 241 一A+-1=+-1+2)=+(-)-1 例3计算下列平面图形的面积: (1)平面图形由摆线x=a(t-sn),y=a(1-cost)的一拱与x轴围成(a>0); (2)平面图形是星形线x=acos2,y= aint围成的第一象限部分(a>0) 解(1)如图66-8所示,摆线与x轴交点的直角坐标分别为(0,0)及(2xa,0).当x由0 变到2xa时,由0变到2x,在[0,2xa]上,相应于任一小区间[x,x+dx]的面积元素dA dx=a2(1-cost)adt,故 A= a2(1-cost)2dt = a2(1-2cost cost )dt =a[t-2sint +o+-sin2t] =3a2 o xx+d 2丌 xx+dx 日66-8 图66-9 (2)如图66-9所示曲线在第一象限与x,y轴的交点依次为(a,0),(0,a),当x由0变到 a时,由2变到0在[0,a]上,相应于任一小区间[x,x+dx]的面积元素dA=ydx 3a2 sin'tcos2tdt,于是 A ya. 2 3asin'tcostdt=[3a2sin'tcos2tdt= 3a2(sin't-sint)dt 22 1=32 22 例4计算下列平面图形的面积: (1)平面图形是由圆周r=1及心形线r=1+cos0围成的公共部分; (2)平面图形由圆周r=√2sin及双纽线r2=cos2围成 解(1)如图66-10所示,两条曲线的交点为(1,“) yl r=l+coso 解法1所求面积可分为两部分:一部分为单位圆在一、四 象限的面积A=2,另一都分为心形线位于在第二、三象限所 围成的面积,且由对称性,可考虑第二象限部分选日为积分变 量,则在[,,丌]上相应于任一小区间[,0+d0的面积元素dA2 图66-10 =(1+cos)2d0,于是
242 高等数学重点难点100讲 A=24+m+2m0+ 令日 则 A2=.[1+2cos(r-t)+cos2(T-t)](-de) 1- 2cost +cost ]dt= [t- 2sint ]3+I.I 3-2. 故=4+A2=24x=25-2. 3 解法2利用对称性直接求 A=22d0+ 2(1+c0s0)d0]=+(1+cos6)2d0=5-2. 2)如61所示,由程=√20解得sm1=1因=√2mD≥,款 r2= cos 20 in0=2,即可求出飞,“,对应的,故曲线的 2 r=2 sing 交点为(√2,兀),( 25 26 26 ).由对称性可知,所求面积为第 象限部分的二倍取6为积分变量,则8的变化区间为[0,a](= 4,”2=0),要分两块计算,在[O,6]上,相应于任一小区间[e r=cos 2 0 +d的面积元素dA1=2(√2sin)d=sin0d0,在[6,4 图66-11 上,相应于任一小区间的面积元素dA2=cos26d6,故 A=2(A1+A2)=2[|sin20+:2cos20 =22sin0+[sin261 6 4=6×-√3 例5(单选题)曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成的面积为() (A)-x(x-1)(2-x)dx;(B)x(x-1)(2-x)dx+x(x-1)(2-x)dx; (C)-|x(x-1)(2-x)dx+x(x-1)(2-x)dx;(D)|x(x-1)(2-x)dx 解函数y有且仅有三个零点:y(0)=y(1)=y(2)=0.当x∈(0,1)时,y0,所以依定积分的几何意义知应选C 例6在第一象限内求曲线y=-x2+1上的一点,使该点处的切线与所给曲线及两坐 标轴所围成的图形面积为最小,并求此最小面积 解设所求的点为P(x,y),则曲线过P(x,y)点的切线方程为Y-y=-2x(X-x) x,Y是切线上点的流动坐标),它的x截距为A=2x2+y=x+1,y截距为B=2x2+
第66讲定积分应用(1) 243 y=x2+1,于是,过P(x,y)的切线与曲线y=-x2+1及两坐标轴所围图形的面积为 S()=la x2+1)dx=(x2+1)2-2 4r 为求S(x)在0b>0)之间图形的面积 解由于图形的对称性,两椭圆的交点在直线y=x和y=-x上,因此所求面积S为 在第一象限中由直线y=x,x轴及椭圆+2=1所围图形面积的8倍 s0, rcos 将 y rsIn 代入b+=1中得该椭圆的极坐标方程=ac0s9+bsm,于是 所求面积为 da de S=8 r2(0)d0=4a2b2 。acos0+bsin20 4b2 6- 8 1+=tang d =tane= 4abarctan b 4abarcta 1+=tan20 小结计算面积时要注意:①应适当选择坐标系,以简化计算,如本例7若采用直角坐 标系计算就麻烦,一般地,曲边梯形宜采用直角坐标系,曲边扇形宜采用极坐标系;②要考 虑图形的对称性,缩小上下限的范围;③根据曲线特点,有时采用参数方程计算较方便,如 例2计算面积,用参数方程比用直角坐标计算简单