第60讲变上限函数(4) 201 第60讲变上服函数(4) 、构造变上限函数,证明等式不等式 1.不等式的证明 常用变上限函数的单调性来证明积分不等式,这其中关键是找一个合适的变上限函数 作为辅助函数,我们通过例题来说明具体步骤 例1设f(x),g(x)均是[a,b]上的连续增函数(a,b>0),证明 f(r)dx g(x)dx0,g(x)-g(t)>0(x>t).从而F"(x) F(a)(或F(b)丁 证令F(x)=ln(1+x) +x,则F(0)=0. 因为F(2)11>0(0F(0)=0从而有F(x)dx>0,即ln(1+x)dx>|;dx 例3设f(x)是[a,b上的单调增加的连续函数,试证:
202 高等数学重点难点100讲 +b)f(x)dx≤2|xf(x)d 证设F(x)=(a+x)f(t)dt-2|tf(t)dt,x∈[a,b] f(e)dt+(a +x)(r)-2xf(r) f(rdt-(x-a)f(r)<(x-a)f(r)-(x-a)f(x)=0, ∴F(x)在[a,b上单调减即有F(x)≤F(a)=0,x∈[a,b],特别有F(b)≤0,即 (a+b)l f(rdx2 xf(r)dx 例4设f(x)在[0,1连续且递减,证明:当0<λ<1时, f(x)dx≥lf(x)dx 证从几何上看,上述不等式的正确性是明显的,因为y f(x)单调减,所以∫(x)在[0,](0<λ<1)上的平均值 0 f(x)dx不小于在[0,1]上的平均值 f(r)dx f(x)dx 将λ看成自变量,设F()= λ()-f(x)dx F()= 图60-1 (x)-Mf(9=f()-f(≤0(因f(x)递减,0≤≤4) 2 f(x)dx 所以∫(4)单调减,从而F(λ)≤F(1).即 ≤f(x)dx,或|f(x)dx≤ 小 f(x)dx 2.等式的证明 例5若f(x),g(x)在[ab]上可导,且g(x)≠0,则至少有一点∈[a,b),使 g()-g(b一g( 证(1)欲证 g )-g(b)g(6·即要证f(a)-f(x)_f(x) f()f() g(r)-g(b) g(r) (60.1) 或 f(a)g'(x)-f(x)g'(x)=g(x)f(x)-g(b)f(x), (60.2) 或 f (a)g(x)+g(b)f(r)=g(x)f(r)+f(r)g(r) (60.3) 或 f(a)g'(x)+g(b)f(x)-[g(x)f(x)]=0 在(a,b)内至少有一个根.因此,求(60.4)式左边表达式的原函数 F(x)=f(a)g(t)dt+g(b)f(t)d-|g(t)f(t)]d f(a[g(x)-g(a)]+g(b)[f(x)-f(a)3-g(r)f(x)+g(a)f(a)
第60讲变上限函数(4) 203 f(a)g(x)+g(b)∫( g(r)fc f(a)g(b (2)由题设条件可知F(x)在[a,b]连续,在(ab)可导,且F(a)=F(b),满足罗尔定理 的一切条件,于是有∈(ab),使得F()=0 即 (a)g'()+g(b)”()-g()f()-g(f()=0 或 g'([f(a)-f()]=f()[g()-g(b)].注意到g(x)≠0,即得 f(a)-f()f() §)-g(b)g'() 例6设f(x),g(x)在(ab)上存在二阶导数,且g"(x)≠0,f(a)=f g(b)=0,试证 (1)在(ab)内,g(x)≠0; f()() (2)在(ab)内存在∈(a,b),使g(g( 证(1)用反证法,若存在c∈(a,b),使g(c)=0,由罗尔中值定理知,存在:∈ c),使g(1)=0;存在:2∈(c,b),使g(:)=0;g(x)在区间[,:]上也满足罗尔定理的 三个条件,故有§∈(1,:)使g"()=0与已给条件矛盾 (2)要证 f()m() g()g"(即证∫()g()-g()邝()=0,也就是要证明函数 f(x)g(x)-g(x)m"(x)在(a,b)内至少有一个零点,故考察函数 F(r)=[f(g"(t)-g(t)f(r)]dr g(r)f(r) g(r)f(r)dr-g(r)f(r) f(r)g(t)dr f(x)g'(x)-g(x)”(x)(a≤x≤b), F(x)在[ab]连续在(ab)内可导,F(a)=F(b),故存在∈(4,b),使F(5)=0.从 f()f() 而得g(=g( 注意在求原函数之前应尽量通过恒等变形将结论化为易积分形式 、含有变上限函数的函数方程的解法 例7设当x>0时,f(x)可导且满足方程f(x)=11|f()dr(x>0),求f(x 解J(x)=1+1ot(>0)等价于1(x)=x+d 等式两边对x求导,得f(x)+xP(x)=1+f(x),即(x)=1(x>0),两边积分 得:f(x)=lnx+C 在原方程中令x=1,得∫(1)=1,代入上式,得C=1,从而f(x)=lnx+1 例8设f(x)可导且满足方程f(x)=x+t(x-t)dr,试求f(x) 解先利用换元法消去尸(x-t)中的变量x,为此令x-!=a,则 tf(x-t (r-uf(u)(- du) u)f(u)du f'(u)du uf'(ud
204 高等数学重点难点100讲 x(f(x)-f(0)-nP()lda((o)=0) xf(x)-uf(u)du 故 f(x)=x+rf(r)-uf(u)du. 对上式求导,有f(x)=1+f(x)+xf(x)-xf(x)=1+f(x), 1+f(x=1,或d(x) f(r) d 1+f(x 两端作不定积分,得ln[1+f(x)]=x+C,又因f(0)=0所以,C=0.即 ln[1+f(x)]=x,1+f(x)=e,故f(x)=e-1. 注意对变上限或定限,若被积函数或其主要部分为复合函数,则应先做变量替换使之 成为简单形式 例9设f(x)在[一1,1上可积,且f(x)=ef(x)dx+ef(x)dx-x.求 f(x) 解求解f(x),就是要求具体计算出定积分f(x)dx,f(x)dx之值.这类问题 般都是通过两边同时作定积分的方法(注意不同于第59讲中的例1至例10中的问题,在那 里,一般都可通过两边求导变成含导数的方程)因为f(x)dx吧为Af(x)dx为B是 常数,可以提到积分号的外面.本题中有两个定积分,所以需等式两边积分两次来确定A,B 之值 对f(x)=Aex+Be-x两边在[-1,0]上积分得 A=f(x)dx=A(1-e-1)+B(e-1)+, (60.5) 对f(x)=Ae2+Be-x两边在[0,1]上积分得 B=「f(x)dr=A(e-1)+B(1-e-)-1 0.6 A-(e-1)B 2(e+e-1-1) 对(60.5)、(60.6)式化简得 解得 (e-1)A B 2 所以f(x)= shr e+e e+e-1-1 变上限函数性质的讨论 例10试证f(x)=(x-2)e-d为偶函数 证f(-x)=」。(-x-2)cd=-」。(x+2d(令 (x-2n)e-"d(-u)= ∫(x =(x-2)e-dt=f(x), 故f(x)为偶函数
第60讲变上限函数(4) 205 例11设∫(x)在[a,b连续且单调增,试证:F( f(t)dt在(a,b)内单调 增 c-a)f(r) f()(x-a) 证由F(x)= f(tdt (I-a)f(r) CT -a f(x)-f(6≥0(a≤∈≤ 知,F(x)为在[a,b]内的单调递增函数 例12设f(x)是以T为周期的连续函数证明:对任意实数a,都有 证要证明积分f(x)dx的值与a没有关系为此,设F(a) ∫ f(r)dx. 则F(a)=f(a+T)-f(a)=0,故F(a)=C(常数) r+T ∴C=F(0) f(r)d f(r)dx,* f(x)dx= f(r)dx. 本例说明:以T为周期的连续函数在长度为一个周期的区间上的积分都相等,而与积分 区间的起点无关,以后将看到利用这一性质可简化周期函数积分的计算 例13设f(x)在[-a,a]上连续,且f(x)>0,试判定x)=」|x-tf()d在 -a,a]上的凹凸性 解积分变量和参变量x的变化范围均为[一a,a],所以可根据t和x的相对位置去掉 绝对值符号 当-a≤t0因f(x)>0),所以gx)在[一a,a]上是凹的