268 高等数学重点难点100讲 第71讲平面与直线 下面两个表简明扼要地列出了平面与直线的几乎所有概念与公式,望读者依据向量代 数的知识一一进行推导,并熟记之平面与直线的关键就是定点与定方向的问题,一个点与 个法向量就惟一确定了一张平面,一个点与一个方向向量也惟一确定了一条空间直线.对 具有明显几何特性的平面与直线问题就是要从点向着手,借助向量运算工具求出方向并确 定所需的一个点 衰71-1 平面方程 直线方程 1.一般式方程Ax+By+Cz+D=0 1.一般式方程(两平面交线) 法向量n={A,B,C} A1x+B1y+C1z+D1=0,平面 若方程中某个坐标不出现则平面就平 A2x+B2y+C2z+D2=0,平面x2 行于该坐标轴,例如 平面r1与丌2的法向量分别为 平面Ax+Cz+D=0∥y轴 n1={A1,B1,C1},n2={A2,B2,C2}, 直线的方向向量为 =n1×n2=A1B1C1 A B, C 2.标准式方程 2.平面的点法式方程 A(x-x)+B(y-y)+C(-x)-0, M(x0,y,z)为平面上已知点, M(x0,y,z)为直线上的已知点, n={A,B,C}为法向量 s={l,m,n}为直线的方向向量 3.三点式方程 3.两点式方程 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为直线上的两 M1(x1,y,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3, 点 y3,z3)为平面上的三个点 4.参数式方程 +lt 4截距式方程正+b+2=1, y= yo t mt, a,b,c分别为平面在三坐标轴上的截距,即平 面通过三点(a,0,0),(0,b,0)(0,0,c) M(xa,y,zn)为直线上的已知点, l,m,n}为直线的方向向 量
第71讲平面与直线 269 衰71-2 平面间关系 平面与直线间关系 直线间关系 设有两个平面: 设直线与平面方程分别为 平面4+By+cx+2.直线L1三乙2-2元 设有两直线: 直线L1:-l1 y-y1 平面2:A2x+B2y+C2z+D2 =22, 平面∥一B8L∥+Bm+Cn=0直线L2,2-2my B C 2平面x1⊥鸡2句A1A2+B1B22.L⊥双T=m=n +C1C2=0 3平面x与1的夹角O由下式|3与x的夹角0,由下1.L1∥L如-型 式确定sin0 n? 确定cos6= 2.Lil+G42+m,m2 +n, nz A, A2+B,B2 +C. Cz LAL+ Bm +CnI 0 好+B+√+B+创√A+B+QP+m+n3直线L2与L2的夹角由下式 确定cos0= Z142 l2+m2 4+m2+ni 点Mx+)到平面xA+By+C=+点M(x,x=)到直线L1=2m2 D=0的距离为 I Aro Byo+ Czo DI 互的距离为 M1M。×M1P A2+B2+C2 n I M,P 其中P为L上异于M1(x1y1,z1)的任一点 例1已知平面方程为6x-y-z-6=0,(1)写出平面的法向量;(2)在平面上任 找一点;(3)将平面方程化成点法式方程;(4)将平面方程化成截距式方程;(5)作出平面的 图形. 解()法向量n=(6,-1,-1}或n=12,-1,-2} (2)令x=0,y=0,求得z=-6,故(0,0,一6)为平面上一点 (3)点法式方程为12(x-0)-(y-0)-2(x+6)=0. 4)截距式方程为1+-y+ 6=1,它在三个坐标轴上的截 距分别为a=1,b=-12,c=-6 (5)平面的图形为图71-1. 例2平面过点(1,,-1)且平行于向量a=(2,1和bmAN6 =(1,-1,0},试求这平面的方程 解先求该平面的法向量.因为平面与向量a、b都平行,故a 与b的向量积垂直于该平面取 图
270 高等数学重点难点100讲 a×b=211={1,1,-3} 1-10 于是,平面方程为1·(x-1)+1·(y-0)-3(x+1)=0,即x+y-3z-4=0 例3求过三个点(1,1,-1),(-2,一2,2)和(1,-1,2)的平面方程 解法1设所求的方程为Ax+By+Cz+D=0,因为三点都在该平面上,故其坐标 都满足这个方程,于是有 +B-C+D 2A-2B+2C+D=0 A-B+2C+D=0 解方程得B=-3A,C=-2A,D=0,代入原方程得Ax-3Ay-2Az=0,即x-3y 2z=0,这就是所求的平面方程 解法2只要求出该平面的法向量即可,设三点分别为A(1,1,-1),B(-2,-2,2), C(1,-1,2),则AB×AC就是这平面的一个法向量 AB={-3,-3,3},AC=(0,-2,3}, k n=AB×AC= 3{1 23 于是,所求的平面方程为1·(x-1)-3(y-1)-2(z+1)=0,即x-3y-2x=0 例4指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面的图形 (1)3y-1=0;(2)2x-3y-6=0;(3)x-√3y=0 (4)y+z=1;(5)x-6z=0; (6)6x+5y-x=0 解(1)3y-1=0是平行于2O面的平面故垂直于y轴垂足坐标为(0,3,0)见 图71-2(a); 图71-2 (2)2x-3y-6=0是平行于z轴的平面,它与x轴、y轴的交点分别为(3,0,0),0
第71讲平面与直线 271 2,0),见图71-2(b); (3)x-√3y=0是通过z轴的平面,它与xOy面的交线为y=-3x,见图7-2(c); (4)y+z=1是平行于x轴的平面,它在y,z轴上的截距均为1,见图71-2(d); (5)x-2z=0是通过y轴的平面,它与xOx面的交线为z x,见图71-2(e); (6)6x+5y-z=0是通过原点的平面,它与yOz面的交线为5y-z=0,与xOy面 的交线为6x+5y=0,见图71-2(f 小结通过对平面一般式方程Ax+By+Cz+D=0的讨论,不难得出结论:①在 般式方程中,如果常数项不为零,且缺某一个变量,则平面平行于该变量所对应的坐标轴;如 果缺某两个变量则平面平行于该两个变量所对应的坐标面(如例4中的(2)式2x-3y-6 =0缺变量z,所以平面∥z轴,(1)式3y-1=0中缺变量x,z,所以平面∥xOx面).② 在平面一般式中,如果常数项为零,且缺某一个变量,则平面过该变量所对应的坐标轴;如缺 两个变量,则平面是这两个变量所对应的坐标面(如例4中的(3)式x-√3y=0,常数项 为零,且缺变量z,所以平面过z轴,若D=0,又缺x,y,则一般式变成z=0,表示xOy面) 例5求通过z轴且与平面2x+y-√5x=0的夹角为文的平面方程 解设所求的通过z轴的平面方程为Ax+By=0,则其法向量n:={A,B,0},又已 知平面的法向量n2={2,1,-√5},所以 2A+B cOS aA+B2·√4+1+5-2,4+2B 10(A2+B), 化简得(3A-B)(A+3B)=0,由此得A=5或A=-3B,代人Ax+By=0得所求平 面方程为 B By=0,即x+3y 或 3Bx+By=0,即3x-y=0. 例6一平面过点(2,1,1),且与平面3x+2y-x+1=0平行,求该平面的方程 解因为所求平面与已给平面平行,故两平面的法向量平行取n={3,2-1}为所求 平面的法向量,由平面的点法式方程得所求平面方程为 3(x-2)+2(y-1)-(z-1)=0,即3x+2y-z-7=0. 例7求通过点(1,-1,1)且同时垂直于平面x-y+z-1=0与2x+y+x+ 1=0的平面方程 解设所求平面的法向量为n,平面x-y+z-1=0的法向量n1={1,-1,1 平面2x+y+z+1=0的法向量n2={2,1,1},所求平面与已知二平面垂直,故n⊥n1 n⊥n2,于是 =n1×n2=1-11 2i+j+3k, 211 故所求平面的方程为-2(x-1)+(y+1)+3(x-1)=0,即2x-y-3z=0 例8求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离 解由距离公式知,点(1,2,1)到此平面的距离为 d=1·1+2·2+2·1-10=1 √12+22+
272 高等数学重点难点100讲 例9写出下列直线的方程: (1)经过点(2,-3,4)且与平面3x-y+22+4=0垂直; (2)经过点(0,2,4)且与z轴平行; (3)经过点(2,-5,3)且与平面2x-y+3z-1=0及5x+4y-z-7=0平行 解(1)由于直线垂直于平面,故平行于平面的法向量n,取S=n={3,-1,2},由对 称式得直线方程为 x22=y+3=324 (2)由于直线平行于z轴,故s={0,0,1},由对称式得 0 0 或 y=2. 注意(1)一条直线的方向数不惟一,与m,n,户成比例的任一组数都可作为该直线的 方向数 (2)方向向量s是非零向量,故m,n,户不能同时为0,但其中可有一个或两个为0,若m =0,直线方程可写成 Lo y-y 0 分母为0的式子 并不表示用0去除,它只是表示直线的方向向量在该坐标轴上 的投影为0,这时方程组应理解为 x0=0(垂直于x轴的平面), 二y=元2(平行于x轴的平面), 当m,n,中有两个为0时,例如m=n=0时,直线方程-xy-y=P 应理 0 解为 x0=0(垂直于x轴的平面), y-y=0(垂直于y轴的平面), 交线为平行于z轴的直线. (3)直线平行于两平面,故垂直于两平面的法向量m1={2,-1,3}与n2={5,4,-1}, 取 j k s=m1×n2=2-13|=(-11,17,13},则所求的直线方程为 54 x-2y+52-3 17 13 例10用对称式方程及参数方程表示直线 y+z=1, 2x+y+z=4. 解因为直线l的方向向量s与两平面的法向量都垂直,故可取 s=n1×n2=1-11|={-2,1,3} 再找出直线l上一点,例如,可取y=0代入方程组,解得x=3,z=-2,即(3,0,-2) 为直线l上一点,于是直线l的对称式方程为
第71讲平面与直线 273 参数方程为x=3-2,y=t,z=-2+3t(-∞<t<+∞) 注意直线l的对称式方程和参数方程的形式均不惟一,例如本题中,若令x=1代入 方程组,求得y=1,z=1,即在l上求得另一点(1,1,1),则l的对称式方程和参数方程分别 为 ,x=1-2:,y=1+t,z=1+3 例11求直线 x-3y+3x-9=0与直线!2x+2y-x+23=0 3x-2y+z-1=0 夹角的余 3x+8y+z-18=0 解两直线的夹角就是它们的方向向量的夹角两直线的方向向量分别为 33|={3,4,-1},s2=22 10,-5,10} 381 于是有cs(1)=:=3x10=4×5=1×10=0,即两直线垂直 例12直线平行于平面3x+2y-z+6=0且与直线3=y+2=z垂直,求 直线l的方向余弦 解设l的方向向量为s={m,n,户},由l平行于平面知,s垂直于平面的法向量n 3,2,-1},故有s·n=0,即3m+2n-p=0. 又由l垂直于已知直线知,垂直于已知直线的方向向量s1={2,4,1},故有s·s1=0, 2m 4n+ p 解方程组,得m=P,=-,于是4的方向余弦为 p 6√5 coSa 25 p ×c (一设P)2+p2 cos] 5 5 √(4P)2+(-8p)2+p coSt 25 3,)2+(-8p)2+p 8 例13求点M(2,-1,1)到直线l 2y+z-1=0, x+2y-z+3=0 的距离 解直线l的方向向量 k {0,2,4} 在L上取一点M(-1,0,2),则M0M={3,-1,-1},又|s|=2√5
274 高等数学重点难点100讲 MM×s=1{3,-1,-1}×{0,2,4H|=2√46, 于是, MM×s s N 5 例14求过点M(3,1,-2)且通过直线l:-4y+3=的平面方程 2 解设所求平面的法向量为n={A,B,C},直线l在该平面内,故n⊥s,即有 5A+2B+C=0 又直线上的点M(4,-3,0)也在该平面内,故MM={-1,4,一2}也在该平面内,于是 ⊥M。M,即有 A+4B-2C=0. 解方程组得B--84CA令A=8.得n=1,-9,-2,故所求平面的点 法式方程为 8(x-3)-9(y-1)-22(x+2)=0,即8x-9y-22x-59=0. 例15求直线/2+y+3x=0, 和平面x-y-z+1=0的夹角 cT-y-Z ij k 解直线的方向向量s=n1Xn2=11 2,4,一2},平面的法向量是 1 n={1,-1,-1},而s·n={2,4,-2}·{1,-1,-1}=0,所以s⊥n,故直线与平 面的夹角为0,或者由 2×1+4×(-1)+(-2)×(一1) si9=√2+4+(-2.+(-1+(-1=0 知g=0,即直线与平面的夹角为0 例16求点A(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影 从点A(-1,2,0)向平面作垂线,垂线的方向向量就是平面的法向量n={1,2, 1},所以垂线方程为 1 求出垂足的坐标即为所求的投影,将垂线方程化为参数方程x=-1+t,y=2+2t,z t,代人平面方程,解得t=-3,于是垂足的坐标为( 522 3·33 ),这就是所求的投影 直线与平面的交点的求法设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,求直线 y-y2二z 代A与平面的交点可把直线的参数方程x=x。+mt,y=y+mx 面方程,求得 ATo+ Byo Ci Am+ Bn C 其中M0(x,y,z0)为直线上的定点,把t代回直线的参数方程即可求得交点的坐标 (1)若Am+Bn+Cp≠0,即直线与平面不平行,求得惟一的t,即有一个交点; (2)若Am+Bn+Cp=0,即直线与平面平行,而Ax+By+Cx+D≠0,M不 在平面上,无交点 (3)若Am+Bn+Cp=0Ax0+Byo+Czo+D=0,即M在平面上,则直线在平 面上,因而有无穷多交点
第71讲平面与直线 275 侧17求直线4二2=子一在平面xy+2=-1-0上投影直线的 方程 解法1设经过l且垂直于平面x的平面方程为 A(x-1)+By+C(z-1)=0 由r⊥π1得,A-B+2C=0.再由l在丌内得,A+B-C=0由此解得,B=-3A,C =-2A.令n1={A,一3A,-2A}={-1,3,2},于是平面x1的方程为x-3y-2z+ 1=0,由此得出投影直线l。的方程为 +2z-1=0 即 3y-2z+1=0 解法2由于l的方程可写为 y-1=0所以过4的平面方程可设为 x-y-1+A(y+z-1)=0,即x+(-1)y+k-(1+4)=0. 该平面与平面x垂直,故1-(-1)+2A=0,由此解得A=2,于是经过l且垂直于m的 平面方程为x-3y-2z+1=0,从而l的方程为 y+2z-1=0, 即 x-3y-2z+1=0, y 注意如果所求的平面经过一条已知的直线,那么一般我们可用平面束方法来求解.设 AI By+ C,z+ D,=0 L:a2 +B,y+C,x+D2= 0 那么经过L的所有平面可以表示成(A1x+B1y+C1 D1)+A(A2x+B2y+C2zx+D2)=0.特别:除了平面A2x+B2y+C2x+D2=0以外, 过L的所有平面可由单参数平面族x:(A1x+B1y+C1z+D1)+k(A2x+B2y+C2x+ D2)=0表示,结合其他条件定出λ就可获得所需的平面