324 高等数学重点难点100讲 第79讲多元函数的极值 、多元函数的极值 1定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于点(x,y)的 任何点(x,y),都有f(x,y)f(x0,y)),则称该函数在点(x0,y) 处取得极大值(或极小值)f(x0,y),极大值和极小值统称为极值使函数取得极值的点称为 极值点 与一元函数极值的定义类似,二元函数的极值也是一个局部的概念若f(x0,y)是函 数f(x,y)的一个极大值,只是就(x0,y)附近的一个局部范围来说,f(x,y)是f(x,y)的 一个极大值,而在∫(x,y)的整个定义域内不见得是最大值.关于极小值也有类似的结论 二元函数极值的定义可完全类似地推广到n元函数 2.二元函数极值存在的条件 必要条件设函数z=f(x,y)在点(xo,y)处具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值, 则它在该点的两个偏导数必为零:f:(x0y)=0,f(x0,y)=0 类似地,若三元函数a=f(x,y,z)在点(x0,y,20)具有偏导数,则它在点(x 有极值的必要条件为f(x0y,x0)=0,f(x0,yo,)=0,f(xy,)=y,z)具 使fx(x,y)=0,f(x,y)=0同时成立的点(x,y0)称为函数z=f(x,y)的驻点显 然,具有偏导数的函数的极值点必是驻点,但是,驻点不一定是极值点 充分条件设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导 数,又fx(x0,y)=0,f(x0,y)=0,令 (xo, yo)=A, f(o, yo)=B, f( 则f(x,y)在(xo,y)处是否取得极值的条件为: (1)AC-B2>0时具有极值,且当A0时有极小值; (2)AC-B20时,函数z=f(x,y)有极值,A0时有极小值;当AC-B<0时,函数z=f(x,y)没有极值 例1若函数f(x,y)=2x2-ax-xy2-2y在(1,-1)点取得极值,求a 解具有偏导数的函数的极值点必为驻点,故(1,-1)是方程组 (x,y)=4x-a-y2=0, (x,y)=-2xy-2=0 的解.代人得4-a-(-1)2=0,由此得a=3. 例2求函数f(x,y)=x4+v-(x+y)2的极值
第79讲多元函数的极值 325 解=4x2-2(x+y)=0,→x3=y 0 f,=4y3-2(x+y)=0 y 即得驻点P1(-1,-1),P2(0,0),P3(1,1),又: A=fm=12x2-2,B=m 2,C=fy=12 2 B2-AC|n=(-2)2-10·10=-960,故f(-1,-1)=-2是 极小值. B2-ACl12=0,故P2(O,0)点的极值情况无法由二阶导数的充分性定理判别,由于 f(x,y)=x4+y4-(x+y)2,则在(0,0)的任一邻域x2+y20,而f(e,e)=2e-42=2e(e-√2)(e+√2),由00,故f(1,1)=-2也是极小值 最后指出,如果函数在讨论的区域内具有偏导数,则由极值存在的必要条件可知,极值 只可能在驻点取得,然而,若函数在个别点的偏导数不存在这些点当然不是驻点,但也可能 是极值点例如,函数f(x,y)=√x2+y2在点(0,0)处的偏导数不存在,但f(x,y)在(0, 0)点却具有极小值0.因此,在讨论二元函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有 偏导数不存在的点,则对这些点也应当讨论,这与一元函数的情形类似 、函数的最大值和最小值 我们已经知道,如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则∫(x,y)在D上必定能取 得最大值和最小值,使函数取得最大值或最小值的点可能在D的内部,也可能在D的边界 上,如果函数的最大值或最小值在区域D的内部,f(x,y)在D内有偏导数,则最大值点或最 小值点必在驻点之中 求函数的最大值和最小值的一般方法: (1)将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的最大值和最小值 相比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值 (2)在实际问题中,若函数的最大值或最小值是存在的,而函数在D内又只有惟一的驻 点则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值或最小值 例3求函数z=x3-3x2-3y2在区域D:x2+y2≤16上的最大值和最小值 解先求区域D内的驻点,解方程组 6x=0 6y=0 得驻点为(0,0),(2,0).再求区域D的边界上的可能最大值点将D的边界线方程x2+y2 16代人函数z=x3-3x2-3y2,得z=x3-3(x2+y2)=x2-48(-4≤x≤4),由 z=3x2=0得一元函数z=x3-48在[-4,4]内部的驻点为x=0.当x=0时,y=士 4x=±4时,y=0,所以函数z 3x2-3y2在D的边界线上可能的最大值点为(0, 4),(0,-4),(4,0),(一4,0). 求出以上各点的函数值:z(0,0)=0,z(2,0)=-4,z(0,4)=-48,z(0,-4) 48,z(4,0)=16,z(-4,0)=-112 由此可见函数z=x3-3x2-3y2在点(4,0)处取得最大值16;在点(-4,0)处取得 最小值一112 例4在xOy平面上求一点,使它到三条直线x=0,y=0及x+23y-16=0的距
326 高等数学重点难点100讲 离平方之和最小 解设所求的点的坐标为(x,y),则该点到直线x=0的距离为|x|,到直线y=0的 距离为|y1,到直线x+2y-16=0的距离为x+2y=161,于是点(x,y到三条直线距 1+2 离平方之和为 z=x2+y2+x+2y-16)2 az az=2x+5(x+2y-16)=0, x+y-8=0 由 (az= 2y 即 5(x+2y-16)=0 x+9y-32=0 解得x= 16(8 y ,6是惟一的驻点根据实际问题的性质可知,到三条直线距离平 方之和最小的点一定存在故8,。即为所求的点 例5把正数a分成三个正数之和,使它们的乘积最大,并用此结果证明:xyz≤ x+y+2(x>0,y>0,z>0 解设分成的三个正数为x,y,z,则x+y+z=a,即要求u=xy=xy(a-x )的最大值 u'r=ay-2 0 解方程组 求得惟一驻点为 代入 at- Zxy a,得x=y=x= 由问题的性质可知,乘积的最大值存在故当x=y=2=5时,乘 积u 最大 由于xy的最大值为27,故有xy≤2,即y≤3=++5,且等号仅当x= y=z时成立. 三、条件极值、拉格朗日乘数法 讨论极值问题时,若对函数的自变量,除了限制在函数的定义域内之外,再无其他条件 限制,则称为无条件的极值;若还需对自变量附加其他约束条件,则称为条件极值求条件极 值通常采用下面的拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要求函数z=f(x,y)在条件g(x,y)=0下的极值,先构造一个辅助函数 F(x, y)=f(r, y)+ o(r, y) 其中λ为某一常数.对x,y求一阶偏导数,得方程组 f:(x,y)+2(x,y)=0, f(x,y)+焖(x,y)=0, °y 解出x,y,λ,则x,y就是函数f(x,y)在附加条件g(x,y)=0下可能极值点的坐标 当自变量多于两个而附加条件多于一个时,可完全类似地求条件极值.例如,要求函数 =了(x,y,z,t)在附加条件叭(x,y,z,t)=0和φ=(x,y,z,t)=0下的极值,可先构造辅
第79讲多元函数的极值 327 助函数 F(r,y, a, t)= f(x,y, e,t)+Ap(r, y,2,t)+ a2p(r, y, z, t) 其中A1与λ均为常数对x,y,zt求一阶偏导数并令其等于0,再与两个附加条件联立,解出 的x,y,z就是函数f(x,y,z,t)在附加条件以x,y,z,t)=0,收x,y,z,)=0下的可能极值 点 求得的可能极值点是否是函数的极值点,可由实际问题本身的性质来确定 例6在曲线x2+4y2=4上求一点使其到直线2x+3y-6=0的距离最短,并求 最短距离 解设P(x,y)为椭圆上任一点,则P到直线2x+3y-6=0的距离为d 2x+3y-61,求d的最小值点即相当求的最小值点同时注意到本题的限制条件是点 13 必须在已给椭圆上,所以问题的实质是求函数(x,y)=d2=(2x+3y-6)2在约束条 件g(x,y)=x2+4y2-4=0下的极值·为此作辅助函数 (2x+3y-6)2+A(x2+4y2-4) 由方程组 (2x+3y-6)+2Ax=0 I, y 2x+3y-6)+8y=0 4 解得可能极值点为P5和h2(8_3 ).又d|p.= 由问题的 83 实际意义知最短距离存在,因此P5)即为椭圆上到直线距离最近的点最短距离为 例7在半径为R的半球内,求一个体积最大的内接长方体 解设半球面方程为x2+y2+x2=a2(z≥0)(x,y,z)是它的内接长方体在第一卦 限内的顶点,则该内接长方体的长、宽、高分别为2x,2y,z,体积为 V=2x·2y·z=4xyz 又(x,y,z)在半球面上,故满足附加条件x2+y2+z2-a2=0,作辅助函数 F(x,y, z)=4ryz +a(x2+y2+z2-a2) F,(,y, z)= 4yz 2l=0, yz+ ar =0, 由方程组Fy(x,y,z)=4x2+2y=0,即 2xz ay=o F,(x,y,z)=4xy+2x=0 2ry+dz=o 解得x=y=x=-2:代人x+y+x2=a,解得=3,从而来得(x,y2) 为惟一驻点由题意知,内接长方体必有最大体积所以当内接长方体的 长、宽、高分别为 时,体积最大
328 高等数学重点难点100讲 例8求旋转椭球面x2+y2+4=1在第一卦限部分上的一点,使该点处的切平面在 三个坐标轴上的截距的平方和最小 解设M0(x0,y,z)为椭球在第一卦限部分上的一点,记 FO )=x2+y+2 n={F,F",F,}M={2x,2y 2 则 =}2x0,2 2 从而在M。点的切平面方程为 2x(x-x0)+2y(y-y)+元z0(z-z0)=0, 即 x0x+%y+432=1(x+y+45=1), 改写成截距式,即为 了+4=1 至此我们的问题归结为求函数f(x,y,z)=++9在条件g +y2 +1z2-1=0(x>0,y>0,x>0)下的最小值,考虑函数 F(x,y,2)=f(x,y,x)+(x,y,2)=x2+y+2+x+y2+4-1), +2Ax=0 9.1) +2xy=0 (79.2) 0 求解方程组 即 0 32,A g(x,y,z)=0 +y2+ 1=0 由力程(020019--大,代人方程(704得=16.又x> 0,y>0,z>0,所以x=2,y=2,z=√2,这是在x>0,y>0,x>0内惟一可能的 极值点由实际问题本身可知,最小值一定存在,所以这个可能的极值点就是最小值点,即在 点(2,2,√2)处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小 四、极值在经济阿题中的应用 在经济问题中,经常要讨论在一定的条件下,利润最大或成本最小的问题,即寻求最优 方案的问题,现举例如下 例9某工厂生产甲、乙两种机床,其销售价格分别为户1=12万元,户2=18万元,总成 本是两种机床产量Q1和Q2的函数C=2Q+Q1Q2+2Q2,求使总利润最大的生产水平(即 两种机床的产量) 解该厂的收入函数为R=p1Q1+p22,所以,工厂的利润函数为L=R-C=
第79讲多元函数的极值 329 12Q1+18Q2-221-Q1Q2-2Q2,现求L的极大值,令 12-4Q1-Q2=0 a 18-Q1-4Q2=0 解得驻点Q1=2,Q2=4 由于总利润的最大值必存在,且在定义域Q1≥0,Q2≥0内有惟一的驻点,所以,(2,4 点处的函数值为最大值于是,安排生产时,甲种机床生产2件,乙种机床生产4件即可获得 最大的总利润最大利润为L=48万元 例10某厂生产的一种产品同时在两个市场销售售价分别为p1和p2,销售量分别为 q1和q2,需求函数分别为q1=24-0.2P1,q2=10-0.052,总成本函数为C=35+40(q1 +q2),问厂家如何确定两个市场的售价,才能使获得的总利润最大,最大总利润为多少? 解总收人函数为 R=p1(1+p292=241-0.2p2+102-0.05p, 总利润函数为 L=R-C=321-0.2-0.052-1395+12p2, a 32-0.41=0, 由极值的必要条件,得方程组 aLl 212-0.1p2=0. 解此方程组得惟一的驻点p1=80,p2=120 由问题的实际含义知,当1=80,p2=120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利 润为De180P2-120=605 例11某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养x(万尾),乙种鱼放养y(万尾),收获时两 种鱼的收获量分别为(3-ax-By)x和(4-Bx-2ay)y(a>B>0),求使产鱼总量最大 的放养数 解设产鱼总量为z,则z=3x+4y-ax2-2ay2-2xy az 3-2ax-2y=0 由极值的必要条件,得方程组 4-4ay-2Rx=0. 由于a>B>0,知方程组的系数行列式△=4(2a2-B2)>0,故方程组有惟一解 2=3 4a-36 2(2a2-B2) 再求z的二阶偏导数在(x0,y)点的值 2a,B=、孑z dray 2P, C 由AC-B2=8a2-42=4(2a2-P2)>0且A<0可知,z在(x,y)处有极大值, 即最大值故x0,y8分别为所求