436 高等数学重点难点100讲 第97讲一阶微分方程的解法 任何一门学问都有其独特之处就微分方程而言其显著特色之一就是:每种类型的方 程,都有它相对固定的、成套的求解方法因此,求解微分方程的第一步,也是最关键的一步, 就是要辨认出方程的类型.这往往需要对所给方程实行变量替换、恒等变形等手段将其化 为它所属类型的标准方程形式然后,根据具体类型,确定解题方案.这一讲我们讨论一阶 微分方程的几种常用的解题方法 、分离变量法 1.变量可分离的方程 例1求方程y=1-x+y2-xy2满足条件y(0)=1的解 d y 原方程即=(1+y2)(1-x),分离变量得 d 两端积分,得 arctan=x-2x2+C,以y(o)=1代入求得C=,故所求之解为 arctan 4 例2求解方程dy-(y2sinx-y2x)dx=0 解分离变量得dy=(sinx+x)dx(y≠0) 两边积分-1=-c0x+-C,通解为y cox-4,由于方程两边除以y, +C 经检查y=0也是方程的解 例3设函数y=∫(x)在任意点x处的增量4y=1+x+,且当0时a是 比△x高阶的无穷小,y(0)=丌,求y(1). 解将4y的表示式变形为-1+,上式两端取Ax→0时的极限得 d=1+=+分离变量得y=、dx,积分得lny= arctanr+c,即y=cm; d 令e=C,则得通解y=Ce"",再利用初始条件y(0)=丌,得y(1)=mei 变量可分离的方程是最简单也是最基本的微分方程,其解法只不过是两边积分而已.但 在分离变量的同时,经常在两边要同除某一函数,此时往往会遗漏该函数为0的解,而该解 通常并不能由通解得到,因此要及时补全 2.可化为变量可分离的方程 这样的方程很多,其基本解法是:实行适当的变量代换,使变换后的方程是熟知的变量 可分离的方程 例4求方程ax=(4x++1)的通解
第97讲一阶微分方程的解法 437 解这不是可分离变量方程,作代换=4x+y+1,则y=-4x-1,2=z dr 4代入所给方程得:-4=n·分离变量得4+n=dx,两端积分得 arctan2=x+ C1·把u=4x+y+1代人上式得通解:4x+y+1=2tan(2x+2C1)或y=2tan(2x+ C)-4x-1(C=21) 般地,形如y=f(ax+by+(b≠0)的方程,作代换=ax+by+c可代为可 分离变量的方程 例5求方程x+yy=x(x2+y2)2的通解 解这不是可分离变量方程,也不是线性方程和贝努利方程,但如作变量代换 u=x2+y2,则a'=2x+2yy’, 即"=x+yy.这时,原方程化为可分离变量的方程:=xu2 分离变量得=2d积分得一1=x+C.再将n=x+y代入上式,可得原 方程的通解为x2+y2+ +C=0. 般地,形如x+yy=f(x)g(x2+y2)的方程作代换a=x2+y2,可化为分离变量 方程 例6解方程y-cos = COS y 2 解从该方程的形式上看,似乎它并不属于我们熟悉的类型,但若通过恒等变形(三角 函数的和差化积)可得 Cos y 2c COs (97.1) 这就化成为一个我们熟悉的可分离变量的做分方程分离变量得(当cos2≠0时), △21=20?(2).积分得通解n(e2+an2)=2sin2+C.(97?) COS 注意,当C?0时,y=(2n+1)r(n=0,±1,±2,…) (97.3) 也是方程(97.1)的解,从而,也是原方程的解 本例还说明通解和全部解是不同的.通解是指含有任意常数,且其个数与该微分方程 的阶数相同的解.(97.2)是本例的通解,(97.2)及(97.3)是本例的全部解.因为在(97.2) 中任意常数C无论取何值也不会得到(97.3).一般来说,通解中不一定包含全部解. 二、一阶齐次微分方程 1.一般的齐次方程 形如y=g(2)的方程称为一阶齐次微分方程作变换y=a,则可将齐次方程化为可 分离变量型
438 高等数学重点难点100讲 例7求方程(x2+2xy)dx+xydy=0的通解 解(1)首先化成齐次方程的标准形式 d 1+2 dx x2+2x= y (2)作代换y=x,化成可分离变量的方程,将y=m1y=+d代人上式得 da 1+2a du 即 +2+1=-(+1)2, udu 分离变量得7a+1) 好.积分得hn|a+1x+1 In|rl+C. (3)代回原变量得原方程的通解nx+y+x+y=C. 例8求解微分方程:(x- ncos y)dx+xcos2dy=0. 解(1)化为齐次方程的标准形式:y′=心osy-1 (2)令y=,y=x,y=x+,代入上式得x+n=2C二1,化简为 coude dx,积分得sin=-lnx+C; (3)把u=2代入上式得sin2=-lnx+C 2可化为齐次方程的方程 d 十b;y+ b b dr a2x+b2y+c/,当 ≠0时(当 时,参看本讲例 6. b x+b1x+c1=0 4),方程组 有惟一解(a,B),作代换x=X+a,y=Y+B,其中X为 a2I+ b2x +c2=0 新自变量,Y为新未知函数将原方程化为关于X和Y的齐次方程axX=9(x 例9求解方程y b +y+1=0 解因 2≠0,所以方程组 a b x+y+5=0有惟一解,求之 得(a,B)=(-2,-3).令x=X+a=X-2,y=Y+B=Y-3,即X y+3,代入原方程,得 dx Y+X X +1 再令Y=H,Y=+XF,代人上式,得n+x 分离变量得:1d dX x,积分得
第97讲一阶微分方程的解法 439 arctan+oln(1 +u)=-InX+C, 把=又代人得; rarctan x+2ln(1+x)=-hnx+C,再把X=x+2,Y=y+3代 人,得 arctan( +ln[l+ )2]=-ln(x+2)+C. 、一阶线性微分方程 对于一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)通常有以下几种解法: 1.公式法 直接利用公式y=C-e/xx)xdr,求得其解,此法的优点是方便易 行,但不易记忆 例10求方程xy-2y=x2的通解 解注意:首先须将方程化成标准形式,方可用公式 y-2y=x,这里P(x) aty=e pu faGelrumMadr+c]=e-p+fread+c e lo[re-aIndx+c] dr+C=Cx+rln|rl. 例11求方程xydx=x2+y满足条件y|-=0的特解 解(1)首先化为标准形式对方程两边求导,得xy=2x+y,即y-xy=-2x 2)用公式,得y=[-2dx+c]-5[-2x5dx+c]=2+c (3)求特解由y-。=0,得C=-2,故所求特解为y=2-2 2.常数变易法 先用分离变量法求得y+P(x)y=0的解y=Ce-“,然后将其中的常数C换成未 知函数C(x),再代入y+P(x)y=Q(x)中,定出C(x)即可. 3.观察法 由于方程y+P(x)y=Q(x)的通解等于方程y+P(x)y=0的通解与y+P(x)y =Q(x)的一个特解之和,在某些情况下如能容易地观察出y+P(x)y=Q(x)的一个特 解,则问题就大大简化了. 例12求方程+=1的通解 解(常数变易法)先解+Dz=0,分离变量得 znx,两边积分得lny ∫m=-∫m =-ln(nx)+lnoC,故y=C 即为2+ny=0的 通解将y=应中的C换成未知函数C(x),得 C(r) ,然后代入原方程y+ nT 得
440 高等数学重点难点100讲 (x)i-c(r) 2r rIn o Inr) 即c(G)=,积分得C(1-1==jdg=xC以从而原方程的通解为 (ln2x+c) 例13求方,2x+y的通解 解这不是可分离变量方程,也不是线性方程,但把y看做自变量,x看作因变量,则所 给方程可写为 x+x2,即p江x-2x=y,这里P(y) 2 Q(y)=y2,这是一阶线 性非齐次方程,可用常数变易法求其通解. 先求出新方程所对应的齐次方能y通解x=Cy2,把上式的C换成C(y) 设x=C(y)y,为新方程:-3x=y的解,则C()y+2yCy)-3C(y) ,即c(y)=1,于是C(y)=y+C,故所求通解为x=y2(y+C) 注意本题交换了自变量和因变量的位置,这种技巧在解微分方程时是常用的 四、贝努利方程 型如小+P(x)y=Q(x)y(n≠0,1)的方程称为贝努利方程 d 方程两端同除以y,作代换x=y2,化为以x为自变量,以z为新未知函数的一阶线性 方程x+(1-n)P(x)x=(1-n)Q(x),求出这方程的通解后再将z换成y-,即为 原贝努利方程的通解 例14求(y-3x2)dy+xydx=0的通解 解如果将x看成自变量,则不易求出所给方程的解;如果将y看成自变量,则立即可 化成贝努利方程的标准形式 dx 3 这里,P(y) 小,Q(y)=-y2,n=-1,原方程即为+P(y)x=Q(y)x-1,方程两端 同除以上即乘以x得-3=y,作代换令:=x”-x得=2 原方程化为ld3 dz 6 y,即dyy 至此,原方程已化成了一个以z为未知函数,以y为自变量的一阶线性微分方程,用公 式法求解得 [(=23)1dy+c]=[-2 例15求方折x2x、的通:dy+C|=y+Cy 故得原方程的通解为 y 解这不是可分离变量方程,也不是线性方程,但如果采取颠倒法,转而把y看做自变
第97讲一阶微分方程的解法 441 量,x看做因变量,则可得 I- 2ry- 1 d 这是关于未知函数x的n=2的贝努利方程dyyx=-2x2 (97.4) 按贝努利方程的解法令x=x=2则出一2 (97.5) 将(:5)式代人(97.4)式可得一个一阶线性微分方程:+1x=2,容易求得它的 通解为x=y+y再将z=x代人,即可得原方程的通解为 1 y 五、全微分方程 若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0满足条件 oy=ax,则必存在函数u(x,y),使得 du(x,y)=马 +sdy= P(x, y)dx+Q(r, y)dy 则称P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程,其通解为u(x,y)=C. 全微分方程通常有以下三种解法 1偏积分法 设du(x,y)=P(x,y)dx+ dy,则=P,=Q,于是 P(r, y)d 此式中y被看做是常量,故应有 (x,y)=P(x,y)dx+gy)(其中g(y)起着不定积分中积分常数的作用), 上式两边关于y求偏导数得Q(x,y)M=2dx+(y)由此式可得出中(y),定出 g(y)来再代人(x,y)=P(x,y)dx+gy),即可 例16求微分方程( siny+ tycos.ty)dx+x2 cordy=0的通解 解应用偏积分法求解,首先容易验证该方程是全微分方程,求u(x,y)使满足 +r (97.6) coSTy, (97.7) 由(976)式对x积分,这时把y看成参数,得 u(r,y)=(sinry +rycosrydr+p(y)=(rsinry), dr+p(y) rsinry+ y (97.8) 将(978)式对y求导并要求满足(977)式,即要求x= rosNy+q(y)= rcos.Iy,故知 y(y)=0,即q(y)=C1·代入(97.8)式得a(x,y)= siny+C1,于是原方程的通解为 u(x, y)=C2, ap rsinry = C
442 高等数学重点难点100讲 2公式法 设条件 可=在单连通域G内恒成立,这时全微分方程Pdx+Qdy=0的通解为 u(T, y P(r,yo )dx+Q(,y)dy=C, 或 (x,y) (o,y)dy P(r,r, )dr=C 其中,x0y是区域G内适当选定的点M6(xo,y)的坐标,当点(0,0)位于域G内时,通 常取(x0,y0)=(0,0)计算简单 例17求微分方程[cos(x+y2)+3y]dx+[2yos(x+y2)+3x]dy=0的通 解 ao 解因为=-2yin(x+y2)+3=,所以这是全微 x,1 分方程.公式法是利用曲线积分与路径无关的条件,选择适当起 点(xo,y)和路径,求积分,得通解 C 这里,选取(xo,y0)=(0,0),如图97-1所示,先沿x轴由0到 ,即从原点O到A(x,0)点;再平行于y轴,从点A(x,0)到点 (x,D) B(x,y)积分,于是 Pdx +Qd Pdr +Qdy= Pdx + Qdy Pdr+Qd cos.rdx(因在C1上,y≡0) +[2ycos(x+y)+3xdy(因在C2上,x为非0常量) sinr+ sin(r+y)+3ry-sinr= sin(x+y2)+3.ry, 原方程通解为 sin(x+ y2)+3ry=C. 3.凑全微分法 将所给方程重新结合,使之各组均是易见的全微分,从而使方程左边整个是某个二元函 数a(x,y)的全微分,右边是零,于是u(x,y)=C即为方程的通解. 例18求方程(2y+1)dx+(2x+2y)dy=0的通解 解凑全微分法,所给方程改写为2(xdy+ydx)+2ydy+dx=0,则2d(xy)+d(y2) dx=0,即d(y2+2xy+x)=0.故y2+2xy+x=C即为所求通解 以上三种解法中,前两种是基本解法,凑微分法较为简捷但凑全微分法,初学者较难掌 握,只有通过多作练习,才会熟能生巧. 例19求解方程(6x2+4xy+2)dx+(2x2+3y2+5)dy=0. 解首先验证是否为全微分方程,这里,P(x,y)=6x2+4xy+2,Q(x,y)=2x2+ 3y2+5. 易见=4x=,故该方程是全微分方程 解法1(偏积分法)设dn(x,y)=Pdr+ady,则如=P=6x+4xy+2
第97讲一阶微分方程的解法 443 (x,y) dx=P(r, y)dx +p(y) (6x2+4xy+2)dx+gy)=2x3+2x2y+2x+gy), (97.9) 两边对y求偏导数得Q(x,y)==2x2+y(y) dy 即2x2+3y2+5=2x2+y(y),(y)=3y2+5,%(y)=y3+5y+C1, 代入(97.9)式得v(x,y)=2x3+2x2y+2x+y3+5y+C1 故方程的通解为2x3+2x2y+2x+y2+5y=C 解法2(公式法) P (x, y)dx +Q(0, y)d y (6x2+4xy+2)dx+|(3y2+5)d =2x3+2x2y+2x+y3+5y 该方程通解为2x3+2x2y+2x+y2+5y=C. 解法3(凑全微分法)将原方程(6x2+4xy+2)dx+(2x2+3y2+5)dy=0重新分 解,组合为: 6x'dr 2dx 3y'dy +5dy +4ydr +2r'dy=o d(2x3+2x)+d(y3+5y)+d(2xy)=0, d(2x3+2x+y3+5y+2x2y)=0 从而,该方程通解为2x2+2x+y3+5y+2x2y=C 在某些情况下,形如P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的方程,虽然不是全微分方程(这时 ),但用某函数(x,y)(≠0)乘以方程的左边后,能将其左边化为全微分da=Pdx+ dy这时Pdx+Qdy=0就是全微分方程了像这样的函数p(x,y)称为所给方程Pdx +Qdy=0的积分因子 在比较简单的情况下,积分因子可凭观察法得到熟记下面的微分关系式,对于观察出 积分因子是很有帮助的 (1) ydx rdy d(ry) dy =d(x'+y' d (3) y (4) xdy+ ydr =d(Inry) (5) Jdr dy d(arctan (6) +y=4[x+y y 2dr (8) d(√x+y2); dr 1 y (10) 例20求方程(x2+y2+y)dx-(x2+y2+x)dy=0的通解 解首先易见此方程不是全微分方程,试用积分因子法求解,把所给方程改写为 (r+y)(dr-dy)+(yd -xdy
444 高等数学重点难点100讲 由上面所列出的微分关系式(5);yxx= d (arctan2)知yx-ady有积分因于以(x, y)=x+y,两边同乘以μ(xy)得dx-dy+ 0,于是x-y+ arctan =C,即y=tny-x+C)为所求通解 求积分因子通常需要较高的技巧,不易掌握,在特殊情形下可按下面方法求积分因子: =f(x)(仅是x的函数)时,p(x)=e)为积分因子 当女,=g(y)(仅是y的函数)时,p(y)=ey为积分因子 例2t求方程y(1+xy2)dx-xdy=0的通解 解这是一个贝努利方程,也可以用积分因子法求解 由P=y+xy2,Q ae dy y 2 P y(1 + ry 故可取=ey)y=e 作积分因子,于是 1 [y(+Idr -rdy=rdx+dr-dy=d('+ 2)=0, 故原方程有通解2+ 例2求方程(+2e)dx+(y+e)dy=0的通解 ap n 解P=x+22,Q=y+ea关是,所以不是全微分方程,二正 y+e=1,故取H=e=e作积分因子,则有 y 重新组合得 Cne'dr yedy)+(2 ye dx +e dy)=0, 即d(2e)+d(ye)=0,即原方程有通解;lye+y=C