第99讲二阶线性微分方程 447 第99讲二阶线性微分方程 这一讲我们集中讨论两个内容:一是二阶线性微分方程解的结构问题,另一个是求二阶 常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法 二阶线性分方程解的结构 二阶非齐次线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y +q(r)y=f(r), (99.1) 其对应的齐次方程为y"+p(x)y+q(x)y=0. (99.2) (1)设y1(x),y2(x)是齐次方程(9.2)的两个线性无关的特解(即y1(x)/y2(x)≠常 数),则Y(x)=C1y(x)+C2y2(x)是齐次方程(99.2)的通解,其中C1,C2是任意常数 (2)若y是方程(99.1)的一个特解,Y(x)是方程(99.2)的通解,则y=Y(x)+ 是方程(99.1)的通解. (3)设y1(x),y2(x)为非齐次方程(991)的两个相异的特解,则y=y1(x)-y2(x)为 其对应的齐次方程(99.2)的解 (4)若y1(x),y2(x)分别是方程(9.1)及方程(99.2)的特解,则y=y(x)±y2(x)是 方程(99.1)的特解. (5)若方程(99.1)的右端f(x)=f1(x)+f2(x),且y及y分别是方程y"+p(x)y +q(x)y=f1(x)与y"+p(x)y+q(x)y=f2(x)的特解,则y+y:是方程(99.1) 的特解 例1设y1,y,y3是方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解,求证: y=C1(y1-y2)+C:(y2-y)+y1为该方程的通解(其中,C1,C2为任意常数) 证明首先易见y1-y2及y2-y3是方程y"+p(x)y+q(x)y=0的两个特解,下 证y1-y2与y2-y3线性无关 6岩不然,y-y与y-y2线性相关则存在不全为零的常数k,k,使k(y1-y:)+ ky1+(k2一k1)y2-k:y3≡0, 由于k1,k2一k1,一k2不全为零,上式说明,y1,y,y3线性相关,与题设矛盾,故y-y2与y2 y3线性无关从而C1(y1-y2)+C:(y2-y2)是方程y"+p(x)y+q(x)y=0的通解 y=C1(y-y2)+C2(y2-y3)+y1就是y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解 例2已知y1=rer,y2=re"+e-',y3=re"+e 是某二阶线性非齐次方程 的解,求此微分方程 解设此微分方程为y"+P(x)y+Q(x)y=f(x) (99.3) 对应的齐次方程为 y+ P(r)y+Q(r)y=0 (99.4) 由于y1y2都是式(99.3)的解,所以y:-y1=e就是式(99.4)的解,从而y,=-e-‘也 是式(99.4)的解 又由于y1=xe及y4=-e‘分别是式(9.3)及式(99.4)的解,所以y=y1+y xe-e‘就是式(99.3)的解 又由于y3=xe+e-e-及y=re′-e-都是(99.3)的解,所以
448 高等数学重点难点100讲 e就是式(99.4)的解. 根据方程(94)有两个线性无关的解e及e,就很容易求得方程(99.4).这时,有两 种解法: 解法1(待定系数法)将解e-及e分别代人方程(99.4)得: e-I-P(x)e+Q(re =0, 4e2+2P(x)e2+Q(x)e2=0 1-P(x)+Q(x)=0, Q(r) 故 4+2P(x)+Q(x)=0 P(r) 所求的齐次方程(99.4)即为y-y-2y=0 解法2(特征方程法)由于二阶线性齐次方程(94)有两个线性无关的解e及e, 可见,其特征方程有两个不相等的根r1=-1,r2=2,从而其特征方程为 (r-r1)(r-r2)=(r+1)(r-2)=r2-r-2=0 进而,其对应的二阶线性齐次方程为 2y=0. 求得了方程(94)后,可知方程(99.3)为y"-y-2y=f(x) 而由于y1=xe为它的一个解,将其代入即可确定出 f(x)=(xe")"-(xe)-2rex=(1-2x)e 故所求的微分方程为 y=(1-2x)e∵ 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 由于二阶常系数非齐次方程 t py+ qy (99.5) 的通解,等于其对应的齐次方程 py + qy=0 (99.6) 的通解和非齐次方程(99.5)的一个特解之和.而求(96)的通解问题,借助于代数方法求 其特征方程的根即可解决.因此只需要讨论如何求出(1)的一个特解即可 衰99-1 f(x)的形式与特解y(x)形式的关系表 f(x)的形式 条 y(x)的形式 0不是特征根 P.(x) 0是特征单根 xQ。(x) 0是特征重根 r'Q(r) λ不是特征根 λ是特征单根 Are λ是特征重根 Ar'e λ不是特征根 Q,(x) λ是特征单根 rQ.(r)e λ是特征重根 r'Q(r) 或 sinar或 acos(T+ ia不是特征根 COsar sIno_T acosta sinar ia是特征根 r(Acosaur binaur) P(x)e"cos月x +i不是特征根 Q. (r)e"(Acos ar Sinar) 或P(x)e"sin3x a+i是特征根 rQ.(r)e"(Acos Br Bsin r) 通常,根据式(9.5)中的f(x)的常见形式,可设出式(9.5)的相应特解y(x)的形 式,然后用待定系数法确定出y(x).下面我们就f(x)的几种常见形式,列表给出f(x)与 特解y(x)的关系,表中所说的特征根,是指式(99.5)的特征方程r+p+q=0的根 特征单根,特征重根指特征方程的单根和重根.表中的P(x)是已知的m次多项式,而
第99讲二阶线性微分方程 449 Q(x)是待定的m次多项式.注意:0次多项式看作是常数.表中a,b,a,B,a,是已知常数, 而A,B是待定常数. 值得提醒注意的是:当f(x)中的多项式P(x)缺项时新设的y(x)中的相应多项式 Q(x)则应将各项写齐全.比如尽管f(x)中的P(x)=3x2+1是缺一次项的二次多项 式,而应设y(x)中的相应多项式Qn(x)=Ax2+Bx+C,当f(x)中仅含 acostA或 sinar 中的一项时,而应设y(x)同时含有 Acosn和 Sinar这两项 例3写出下列微分方程的一个特解的形式 (1)y”+y=x2+1; (2)y-2y+y=4xe; (5)y"-2y+2y=re sinx: (6) y-2y+5y=r'e' cos (3) 4)y"-2y-y=ecos√2 解(1)由于0不是特征方程r2+1=0的根,所以该方程应有形如y(x)=Ax2+ Bx+C的特解 (2)由于k=1是特征方程r2-2+1=0的二重根,所以该方程应有形如y(x) x2(Ax+B)e的待解 (3)由于=3是特征方程-27-3=0的单重特征根,所以该方程应有形如y(x) =x(Ax2+Bx+C)e的特解. (4)由于特征方程n2-2-1=0的特征根为r1=1+√2,r2=1-√2,而a+ i=1+i√2不是特征根所以该方程应有形如y(x)=e( Acos V2x+Bsin√2x) 的特解 (5)由于特征方程r2-2r+2=0的特征根为r1=1+i,r2=1-i,而a+i3 i是特征根,所以该方程应有形如y(x)=x(Ax+B)e( Cost+ Sinx)的特解 (6)由于特征方程,-2+5=0的特征根为r1=1+2i,r2=1-2i,而a+iB= 1+2是特征根,所以该方程应有形如y(x)=x(4x2+Bx+C(Dc2x+Esin2x)的 特解 例4写出下列微分方程的一个特解的形式 (1)y"-2y-3y=3x+1+e-;(2)y"-4y-5y=e+sin5x; (3)y"-2y=2cos2x; (4)y+4y= 3sinr cos2x. 解(1)方程的右端的f(x)不属于本讲中的常见形式.但该方程的特解y(x)为下 面两个方程: y"-2y-3y=3x+1, (99.7) 与 3 (99.8) 的特解y*1(x)与y“2(x)之和易见方程(99.7)应有形如y*1(x)=Ax+B的特解,方 程(98)应有形如y*2(x)=Cre-的特解(因为=-1是其特征方程r2-2r-3=0 的单根)故原方程应有形如y(x)=Ax+B+Cxe-的特解 (2)将原方程拆分为两个方程 y"-4y-5y=e (99.9) 4y-5y= sin5r (99.10) 其特征方程r2-4r-5=(+1)(r-5)有两个根r 1,r2=5,可见方程(99.9) 及(99.10)应分别有形如y(x)=Axe‘及y(x)=Bco5x+Csin5x的特解(注意,5i不 是特征根)故原方程应有形如y'(x)+y2(x)=Arex+Bcos5x+Csin5x的特解 (3)原方程可化为y-2y=1+cos2x,又可拆分为两个方程
450 高等数学重点难点100讲 (99.11) 及 2y= cos 2x, (99.12) 其特征方程r2-2r=r(r-2)有两个根r1=0,r2=2.可见方程(99.11)及(99.12) 应分别有形如y(x)=Ax(注意,当m=0时0次多项式P(x)应看作是常数),及y2(x) Bcos2x+Csin2x的特解.故原方程应有形如y(x)+y2(x)=Ax+Bcos2x+csin2x 的特解 (4)注意:方程y+4y=3nx+cos2x的右端不是同角的正弦与余弦之和,故不属于 本讲中的常见形式,可将原方程拆分为两个方程: y+ 4y= 3inr (99.13) y+ 4y= cos2x (99.14) 其特征方程r2+4=0有根r=±2i.由于对式(99.13)而言,ia=i不是特征根,故应 有形如y(x)= Acos+ Sinr的特解;而对式(99.14)而言,a=2i是特征根,故应有形 如y2‘(x)=x(Ccos2x+Dsin2x)的特解,从而原方程有形如y(x)+y2(x)=Acox+ Blinx+x(Ccos2x+Dsin2x)的特解 例5设常系数微分方程y"+ay-2y=e-具有形如y(x)=Axe的一个特解, 其中A为待定常数,求此方程的通解 解对照本讲所述的f(x)的形式与特解y*(x)的形式的关系表,易见A=-1是特 征方程r2+ar-2=0的一个单重特征根,从而(-1)2 2=0,即a=-1,于是,另 个特征根为2,故原方程为y y=e r 其对应齐次方程的通解Y(x)=Cex+C2e 又因y‘(x)=Axe‘为原方程的一个特解,将它代人原方程得: (Arer)"-(Axe) -2Are=e 化简得 3Ae 故原方程的通解为:y=Ce+C2e-yxe(其中,C1,C2为任意常数) 例6设f(x)具有二阶导数,f(0)=0,f(0)=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx [f(x)+x2y]dy=0为全微分方程,求f(x) 解这里P=xy(x+y)-f(x)y,Q=f(x)+xy,由于该方程为全微分方程,所 以有=ax,即x2+2xy-f(x)=f(x)+2xy,亦即,(x)+(x)=x,这是一个 二阶常系数线性非齐次方程 容易求得f(x)+f(x)=0的通解为y=C1cosx+ C, sint 又易见∫(x)+f(x)=x2有一特解y=x2-2 故f"(x)+f(x)=x2的通解为f(x)=C1cosx+ C,sinx+x2-2 由初始条件f(0)=0,f(0)=1,可定出C1=2,C2=1,故 f(r)=2cosr sinr +r2-2
