第85讲曲线积分计算法(1) 365 第85讲曲线积分计算法(1) 、对长的曲线积分的计算 1.曲线l由参数方程表示的情形 若曲线l由参数方程x=),y=()(a≤t≤B)表示,其中g(t),y()在[a,B上 有一阶连续偏导数,且y2(t)+y2(t)≠0,则 f(x,y)ds=o),收()]√q()+y(t)d(a0). 解d=√r2+y:dt=√( atcost)2+(atsm)d=adt,所以 ∫(x+y)d=)+(it-opat 」4+)-1+分)l=2x(+r 例2计算 ∫「≥+y+d,其中为曲线x=-oy,y-mt:=“上相应于从 0变到2的一段弧 解ds=√x2+y+x'd √te(cost-sm)+e(sin+cost)j+(e)dt=√3e 所以, n=+y+== e in :t ( e )="e 例3计算」 roads,其中为4个点A(0,0,0),B(0,0,2).C(1,0,2),D(1,3,2)连成 的折线 解l由三条线段AB、BC、CD组成,它们的参数方程分别为 AB:x=0,y=0,x=2t(0≤t≤1),ds=√0+0+2dt=2dt BC:x=t,y=0,x=2(0≤t≤1),ds=√1+0+dr=d; CD:x=1,y=3,x=2(0≤t≤1),ds=√0+32+0dt=3dt; 于是,x2yzds=|_x2yzds+[ reds+ road 03·0·2t·2d+|t2·0·2dr+|12.3·2.3dt=|lsdt=9
366 高等数学重点难点100讲 2.曲线l由直角坐标方程表示的情形 若曲线l由方程y=ψ(x)(x≤x≤X)给出,它可以看做是以x为参数的特殊参数方 程x=x,y=中(x)(x。≤x≤K),这时 (x,y)ds=fx,(x)]√1+“(x)dx(x<X) 类似地,若曲线l由方程x=y(y)(y≤y≤Y)给出,则把y看做参数,得 f(r, y)d py.,y]1+φ(ydyy<Y) 例4计算中ev+ds,其中l为圆周x2+y2=a2,直线y x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界 解如图85-1,由l1,l2,l2三段弧(线段)构成,它们的参数 方程分别为 (0≤x≤a)ds=√+0dx=d acost, (0≤t≤x)ds=√ a'sin't+ acosta y= asin, 图85-1 (0≤x≤ 2a)ds=√1+1dx=√2 于是e 'ds+ d =edx+eadt e:√2dx 6 e =2e-1)+4ae 例5计算中(2xy+3x2+4y)d,设其中l为椭圆x+x=1,其周长为a 解由曲线积分的性质.有 (2ry +3r+4y')ds=f2ryds+f(3r'+4y?)ds. 其中,第一个积分中被积函数2xy关于x,y均为奇函数,关于x轴及y轴对称,故 第二个积分中,把l的方程3x2+4y2=12代入被积函数,得 3x2+4y2)ds 12ds=12中ds=1 故原式=0+12a=12a. 3.曲线l由极坐标方程表示的情形 若曲线l由方程r=r(6)(a≤0≤B)给出,则可看做是以6为参数的参数方程 x=r(0)cos0,y=r(0)sin0(a≤≤B), 这时,ds=yr2(0)+r(0)d0,于是 y)ds fr()cos0,r(0)sino·√r+rda
第85讲曲线积分计算法(1) 367 例6计算d,其中是对数螺线r=am>0a>0)在圆r=a以内的部分 解当r=r(0)≤a时,-∞<0≤0,的参数方程为 x=ae"cos,y=ae"sin0(-∞<0≤0), ds=√r2(0)+r2(0)d8=√(ae")2+(ame-)2d=a√1+med6. 于是 xds=ae"os0·a√1+me"d0=a2√1+ m e2mdcos0de0 1+4m 例7计算曲线积分中,√x+yd其中l为圆周x2+y2=ax 标方程为r=acos0(-2≤0≤2),这时 √x+y2=r=acos0,ds=√r2+rda=√(acos)2+(-asin0)-d=ad, 于是 √r+yds=|, a'cosodd=2 小结对弧长的曲线积分的计算方法是化为定积分计算,其一般过程是:①选择适当 的参数写出积分曲线L的方程:②对f(x,y)d中的变量施行代换:(a)被积函数f(x,y 中的x,y以L的参数方程代入,(b)ds用弧微分的表达式代入,(c)积分弧段L换成相应的参 数的变化区间,注意上限必须大于下限;③计算这个定积分 计算对弧长的曲线积分的关键是选择适当的参数,正确写出积分曲线的参数方程. 二、对坐标的曲线积分的计算法 关键仍是化为定积分进行计算,这里与对弧长的曲线积分不同的是不需要计算弧长ds, 但要注意曲线l的方向 (1)曲线l由参数方程x=9(t),y=y(t)给出,且当参数t单调地由a变到β时,点 M(x,y)由l的起点A沿l运动到终点B,则 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=|{P[g(t),ψ(t)(t)+Q[y(t),y(t)y(t)dt 注意与对弧长的曲线积分不同,这里a是曲线弧起点A对应的参数,B是曲线弧终点 B对应的参数,不要求a<β 当F为空间曲线x=9(t),y=y(t),x=a(t)时,同样有 PO +Q(r,y, 2)dy R(r,y, c)d {P[g(t),y(t),u(t)]g(t)+Q[g(t),ψ(t),u(t)]y(t) R[o(t),A 这里下限a对应曲线r的起点,上限β对应的终点 例8计算|(2a-y)dx+xdy,其中l为摆线x=a(t-sint),y=a(1-cos)上对 应t从0到2r的一段弧 y)dr + rd
368 高等数学重点难点100讲 cost)Ja(1-cost)+a(t-sint )asin ))da Sindt a tacos 2ra2. 例9计算(x+y)dz Xx-y2,其中l是正向圆周x2+y2=a2 解l的参数方程为x= acost,y= asin,当t从0变到2r时,点A(1,0)沿圆周 x2+y2=a2逆时针方向前进一周,故 (x + y)dx-( )dy [(acost asin)(-asint)-(acost-asint) acost]dt=-dt 例10计算中dr-dy+ydz,其中是连接三点A(1,o,0),B(0,1,0),C(0,0,1)所 成的闭曲线ABCA 解r由三条有向线段 ABBC.CA组成,它们的参数方程分别是 AB:x=1-t,y=t,z=0,t:0→1; BC t,t:0→1 CA T=t, y=0, 2=1-t,t: 0-1 原式=dx-dy+ydx+dx-dy+ydz+|dx-dy+ydz (-1-1)dt+|[1+(1-t)]dt+|d=-2+(2-1 )+1= (2)若曲线l由直角坐标方程y=ψ(x)给出时,可把x看作参数,这时有 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=Px,(x)]+Q[x,(x)Jy(x)}d 这里下限a1对应曲线l的起点,上限a2对应l的终点 同样,由方程x=g(y)给出时 P(x,y)dx+Q(x,y)dy={P[qy),y](y)+Q[(y),y]dy, 这里下限B对应曲线l的起点,上限B2对应l的终点 例11计算(x+y)dx+(y-x)dy,其中l分别是 (1)y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧; (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段; (3)曲线x=22+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧 解(1)把y看做参数,x=y2,y从1到2, ∫(x+y)dx+(y-x)dy=∫roy+y),2y+(y-y)ly=3 (2)直线段的参数方程为x=1+3,y=1+t,t从0变到1, (x+y)dx+(y-x)dy=[[(2+4)·3+(-2)dt=1 (3)曲线的参数方程为x=212+t+1,y=r2+1,且t=0对应曲线的起点(1,1),t= 1对应曲线的终点(4,2), ∫(x+y)dx+(y-)dy=∫(++2(4+1)+(-p-),21m=g
第85讲曲线积分计算法(1) 369 由此题可以看出沿不同曲线l从A到B积分(x+y)dx+(y-x)dy的值是不同的 例12计算(2-29)dz+(y-x)dy其中!是 (1)抛物线y=x2上从点A(-1,1)到点B(1,1)的一段弧; (2)从点A(-1,1)到O(0,0),再到B(1,1)的折线AOB; (3)从点A(-1,1)到点B(1,1)的直线段AB. 解(1)把x看做参数,y=x2,x=-1对应曲线的起点A,x=1对应曲线的终点B 原式=[(x2-2x·x2)+(x1-x2)·2xJdx (2x5-4x3+x2)dx rdx (2)折线AOB由线段AO和OB组成,它们的参数方程分别为 AO: y x,x从-1变到0;OB:y=x,x从0变到1; 原式= 2xy)dx+( x')dx+( {[x2-2x·(-x)]+[(-x)2-x2](-1)d +[(x2-2x·x)+(x2-x2)]dx=3xdx+ (3)直线段AB的方程为y=1,dy=0,x=-1对应起点A,x=1对应终点B. 原式 rdr= 由此例可见沿不同路径!从A到B,积分(x2-2y)dx+(y-x)的值相同即 该积分值与积分路径无关 在什么条件下积分值与路径无关呢?下一讲格林公式将回答这一问题 两类曲线积分之同的区别与联系 (1)区别对弧长的曲线积分f(x,y)d的积分和∑/(s,男)△s,中的A是表示小弧 段M,M,的长,L的方向无论改变还是不改变,总有△>0.这样,积分和就不因L的方向 的改变而变号,所以f(x,y)d与L的方向无关,对坐标的曲线积分」f(x,y)dz的积分和 ∑f(,n)△x,中的4x是有向小弧段M,-M在x轴上的投影,当L的方向改变时,dx的绝 对值不变但要变号,这样积分和也就变号,所以f(x,y)dx与L的方向有关 (2)联系:对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分的关系 Pdr +Qdy =L(Pcosa+Qcosp)ds (+ 其中而cos小是有向曲线弧L上点P(x,y)处与L方向一致的切线向量的 d 方向余弦(图85-2).注意:(*)式右端若把 Pcos+Qos看成被积函数,则是对弧长的曲 线积分;若把P、Q看成被积函数,则它仍然是对坐标的曲线积分可见,把对坐标的曲线积 分化为对弧长的曲线积分是对不同的被积函数而言的此外,当L的方向改变时,因为(*)
370 高等数学重点难点100讲 式左端是对坐标的曲线积分,所以要变号,而右端是对弧长的曲 线积分(( Pcos+ Acos)为被积函数),不变号,这时等式(*) 不就不成立了吗?其实不然,因为L的方向改变后,P的方向也 应改变,cosa、cosB也就变号,因而(*)式右端也就变号,所以 (*)式仍成立 类似地有Pdx+Qdy+Rdz=.( Pcos+ Acos+ d Rosy)ds,其中a、B、v为上点(x,y,z)处的切线向量的方向角. 图85-2 例13把对坐标的曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成 对弧长的曲线积分,其中l为:(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1);(2)沿抛物线y x2从点(0,0)到点(1,1);(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1) 解(1)L的方向余弦cosa=cosB=7元 所以 P(r,y)dx+Q(x,y)dy=L[P(, y)cosa+Q(r,y)cosp]ds P(r, y)+Q( (2)l的参数方程为x=x,y=x2,0≤x≤1,故有向弧l上点(x,y)处的切向量t={1, x},由此得,cosa osB √1+4x 1+4x3是 P(x,y)dx +Q(r, y)dy erQ(Iyds √1+4 (3)的参数方程取为x=x,y=√2x-x2,0≤x≤1,上点(x,y)处的切向量t= },由此得csa=√2x-x2,cosB=sina=√1-2x+x=1-x,于是 √2x ∫P(x,y)x+a(y)y=2x=P(x,y)+01-2x,y)k 例14设为曲线x=t,y=t2,x=t2上相应于t从0变到1的曲线弧,把对坐标的 曲线积分Pdx+Qdy+Rdz化为对弧长的曲线积分 解有向弧上点(x,y,z)处的切向量 t={g(t),y(t),a(t)}=1,2t,32}=12x,3y}, 由此求得cosa COs cos》 √1+4x2+9y +4x2+9y 于是, Pdr+Qdy+ rdz P+ 2IQ+ byrd r√1+4x2+9
