第73讲空间曲线 283 第73讲空间茴线 、空同曲线的方程 1.一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个曲面的 方程,它们的交线为C,曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程;反之,不在 曲线C上的点,其坐标不可能同时满足这两个方程,于是,曲线C可用方程组 FO (73.1) G(x,y,z)=0 表示,方程组(731)称为曲线C的一般方程 2.参数方程 将曲线C上动点的坐标x,y,z表示为参数t的函数 x=x(t),y=y(t),z=z(t)(a≤t≤). (73.2) 给定t=t1时,得到C上的一个点(x1,y1,x1),随着t的变动就可以得到曲线C上的全部点, 方程组(732)称为空间曲线的参数方程,t称为参数 例1画出下列曲线在第一卦限内的图形 1 (1) (2) 4 (3) 2 =0 解(1)这是两平面的交线,即y=2平面上的直线x=1(或是x=1平面上的直线 y=2,见图73-1). (2)z=√4-x2-y2是半球面 +y2+ z≥0, y=0是过z轴的平面,它们 的交线在第一卦限内是四分之一圆周曲线(见图73-2) (3)x2+y2=a2及x2+z2=a2分别是中心轴为z轴和y轴的圆柱面,在第一卦限的 截线如图73-3所示 2A x=1 图73-1 图73-2 图73-3 例2指出下列方程所表示的曲线 (2) x2+y2+9z2=33 8 (3) 十z2-4x+8=0, (4)941, =4 2=0
284 高等数学重点难点100讲 解(1)表示平面z=8上的双曲线-=1,中心在(0,0,8,实轴虚轴分别平行 于x轴和y轴,半实轴长为8半虚轴长为4 半长轴长为4√2半短轴长为Q (2)表示平面y=1上的一个椭圆,其中心在(0,1,0)处,长短轴分别平行x轴和z轴, (3)表示平面y=4上的抛物线z2-4x+24=0,其顶点在(6,4,0)处,对称轴与x轴 平行 (4)表示平面x=2上的双曲线其中心在点(2,0,0)处,实轴和虚轴分别平行于y轴和 z轴半实轴长为3,半虚轴长为2 例3将下列曲线的一般方程化为参数方程 +y2+ (1) (2)(x-1)2+y2+(z+1)2=4, y=i 解(1)将y=x代人第一个方程,得2x2+z2=9,即 )232=1,令x= 3c0s,则z=3sin,故所求参数方程为 cost,y z=3sint(0≤t≤2丌) (2)将z=0代入第一个方程,得(x-1)2+y2=3,令x=1+√3cost,则y √3sint,故所求的参数方程为x=1+√3cost,y=√3sint,z=0(0≤t≤2) 二、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)=0 (73.3) GO 以曲线C为准线,母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与 xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线,简称投影 由方程组(733)消去变量z得,H(x,y)=0,当x,y,z满足方程组(73.3)时,x,y必满 足H(x,y)=0,故曲线C上的点都在曲面H(x,y)=0上,于是,母线平行于z轴的柱面 H(x,y)=0就是投影柱面,曲线C在xOy面上的投影即为 H(x,y)=0 同理消去方程组(733)中的变量x或y再分别和x=0或y=0联立,即可得到曲线 C在yOz面或xOz面上的投影曲线为 R(y,z)=0, T( 或 0 例4求空间曲线C x2+y2 z=2一(x2+y2) 在xOy面上的投影曲线的方程 解先求出以所给曲线为准线,母线平行于z轴的柱面(关于xOy面的投影柱面)的方 程由方程组消去z,就得到包含曲线C的投影柱面的方程为x2+y2=1,该柱面与xOy面 的交线
第73讲空间曲线 285 即为曲线C在xOy面上的投影(图73-4) 注愈如果把x2+y2=1视为所求的投影曲线的方程就错 了,因为所求投影曲线是xOy面上的一条曲线,x2+y2=1是三 维空间里的一张曲面(圆柱面),方程组 x2+y2=1, 所表示的 z=0 截线才是所求的投影曲线认为x2+y2=1是所求的投影曲线 的方程,这个错误是由于混滑了平面与空间的区别而造成的 +y2+z2=4在xOz面上的 例5求空间曲线C:2+y2=2ax 图73-4 投影 解消去方程组中的y,得包含曲线C的投影柱面的方程为z2+2ax-4a2=0,故空 间曲线C在xOz面上的投影曲线方程为 z2+2ax-4a2=0, 0 例6求螺旋线x=acos6,y=asin0,z=b6在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标 方程 解由前两个方程得x2+y2=a2,这即是包含螺旋线的投影柱面的方程,于是,螺旋 线在xOy面上的投影方程为 0. 由第三个方程得0=b,代人第一个方程,得a=c0sb,于是螺旋线在Ox面上的投 影方程为 x= acos b, 0. 再将=代入第二个方程,得y=asin,于是螺旋线在Oz面上的投影方程为 y = asin x=0 小结求空间曲线在坐标面上投影曲线的方程的方法是:先求出投影柱面的方程然后 与所给坐标面的方程联立起来就是所求的投影曲线的方程,求投影柱面的方法有:①消去 变量法(见例4、例5);②消去参数法(见例6). 、立体在坐标面上的投影区域 例7求旋转抛物面z=x2+y2与平面z=1所围成的立体在三个坐标面上的投影区 域 解(1)如图73-5(a).立体的边界曲线为 该曲线在xOy面上的投影曲 线是{a2+y2=1该投影曲线所围成的平面区域(阴影部分)+y2≤1·即为立体在 0 xOy面上的投影区域. 同理可得,立体在zOx面上的投影区域由该坐标面上的直线z=1与曲线z=x2围成 0 的平面区域(见图73-5(b)中的阴影部分),故其投影为 ≤z≤1
286 高等数学重点难点100讲 (b) 图73-5 立体在yOz面上的投影区域由该坐标面上的直线z=1及曲线z=y2所围成的区域 例8求锥面z=√x2+y2与柱面z2=2x所围立体在三个坐标面上的投影. 解为求此立体在xOy平面上的投影,先由其两个界面方程消去z得x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1,则(x-1)2+y2=1就是该立体在xOy坐标面上的投影区域 消去x可得立体在yOz坐标面上的投影区域{2 +y2≤1(z≥0), 立体在xx坐标面上的投影由坐标面上的直线z=x与抛物线z2=2x围成,故其投影 区域为x≤x≤√2, 0 注意投影柱面、投影(曲线)投影区域是互不相同的概念,必须弄清它们之间的联系 与区别
