第58讲变上限函数(2) 193 第58讲变上限函数(2) 积分上限函数,既然是一类函数,我们同样可以讨论它的各种性质及其运算,如极限、导 数、单调性、极值、积分等在进行运算时,应注意如下两点:(1)把积分上限函数看做一个普 通函数,就像我们已经熟悉的那些函数一样这样,对于普通函数可以实行的一切运算,都可 以实行于积分上限函数;(2)积分上限函数毕竟是一种特殊的函数形式,因此,在解含积分 上限函数的问题时,要充分利用它的独特性质.如能将这两者有机地联系起来,那么许多这 类问题都会迎刃而解 、变上跟函数的导数 变上限函数求导的主要依据是微积分学第一基本定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,x ∈[a,则变上限积分(x)=」()d对x可导,且有(x)=dx(d=f(x),若积 分上限或下限,或上、下限是x的函数,则由复合函数求导法则可得 Ar 推论1设F(x)=|f(t)d,则F(x)=几x)]y(x); 推论2设F(x)=f(t)dt,则F(x)=-f[y(x)](x) Ar 推论3设F(x) f(t)dt,则F(x)=fy(x)]y(x)-fψ(x)y(x) 例1已知f(ld≈7x2+xsin2x+cos2x,试求f(n)及f(x) 2 解令(x)=f()d,则 f(r)=(x)=2x+sin2x+2xcos2r-sin2x=2x + 2rcos2x,#f()=2 f(x)=2+2cos2x-4xsin2,t f()=2-I 例2设∫x)在[,+∞)上连续且满足。()=x,求(2) 0 (1+x) 解方程 f()dt=x两边对x求导,得f[x2(1+x)][x2(1+x)] 即f(x2+x)(2x+3x)=1,令x=1,得f(2)= 例3设y=y(x)由方程d+J√“=1确定,求ax sint 解方程。ed+2s=1,两边对x求导,把y看成x的函数则得 y+=2x=0 即有y=±2 e y sinr2
194 高等数学重点难点100讲 uInudu 例4设 t>1,求≌2 解由参数方程所确定的函数的求导公式 d u"Indu dx (2)ln22=-2 uInuau 从新的方程组/如mu出发,由上述公式求y的导数,得 d 2t Int t2Int uInudu 例5下面求导的方法是否正确?若不正确,请给出正确解法: d 设Φ( ,则φ( 解上述解法是不对的,正确的解法是 Φ(x) 3d 所以φ(x) 3d+ 3·2 +2 In 3 In3 注意积分变量为t,而被积函数中含有变量x,所以不能应用变上限积分的求导公式 直接对x求导,需通过适当的积分变换将变量x从被积函数中变出后,方可对变量x求导 例6设x)=(x2-1)f(d,其中f()连续,求甲(x) A (r)=(x2-t)f(t)dt= x? f(tdt- tf(t)dt f(e)dt+xif(x') f(x2)·2 f(t)d 注意一般地有 d g(r)f(edt= g(x)| f(t g(x)f(x)+g'(r)| f(t)dt 例7设f(x)为连续函数,(x)=f(x2-2)d,试求φ(x) 解法1设F(n)=f(u),则利用凑微分法 tf 2[F(x2-)3=2[F(x)-FO0 故c(x)=l[r(x2)-F(O),所以(x)=[F(x)2x]=xf(x 解法2用换元法,把f(x2-2)中的非积分量化到上限中去即 ==(o)(2)= f(u)d
第58讲变上限函数(2) 195 故有φ(x)= f(u)du,所以φ(x)=xf(x2) 变上限函数的极限 例8求下列极限: cost 2dt (1)lim (2) COS -T 解(1)x→0时,分子分母都趋于0,该题属。型未定式极限,只要按罗比塔法则求导 cos'tdt 即可.故lim lim cosx 1 (2)x→2时,其分子分母都趋于0,也属于0型未定式极限,但注意分子是积分下限函 数,求导应利用推论2,故im e"/inx·cosx=im、e"ne -+0 COs T 2cosx(- sinx 2sin2'x 2 例9求常数a和b,使m合 at arcsin dt 6-cost 解∵liml(at- arcsintdt)=0,lim(b-cosx)=b-1 ∴要使原极限式成立,只有b=1,否则,若b≠1,则,与原极限=0矛盾 at- arcsin )dt 所以,原极限式=imn01-cosx 0 (型) lim a- arcsin 型)=im√1-x=a-1 re0 SInT 故,a-1=1,即a=2,所以a=2,b=1为所求. 例10设f(x)可导,f(0)=0,F(x)=r-1f(x-r")dt(n为正整数)求 I= lim F(x) 解这是。型不定式可用罗比塔法则求极限,但求F(x)时,由于F(x)是积分上限 x的函数,而被积函数中也含有x,又不能提到积分号的外面故不能直接对x求导,需先作 变量代换,使被积函数只含有积分变量 F(x) t)d( f(u)di 于是,- lim o-22-2m(2=m f(0) f(0) 例Ⅱ(单选题)设f(x)有连续导数,fO)-=0,f(0)≠,F(x)=(x-(o, 且当x→0时,F(x)与x是同阶无穷小,则k=() (A)1; (B)2 (C)3 (D)4
196 高等数学重点难点100讲 解F(x) f(t)- rf(edt, F"(x)=2xf(r)de lim li 2∫(x) 2f(x) k一1) c≠0(c为常数). 又因为mf()=P(0)≠0,所以k-3=0,即k=3,故选C 例12a、b、c取何值时等式 lim -w出=c(c≠0)成立? 解因为x→0,ax-sinx→0,故要该极限存在且不为0,必有 n(1+2)dt 0(x→0),因此b=0.若不然,b≠0,则不论b>0还是b0,由定积 分几何意义知(1+">0(当b0时,与 m11+Pd=0矛盾确定了b以后再由罗比塔法则确定而这时 原极限式=lim ar - sIn x-0「ln(1+t3) ma+25 ln(1+x3)~x3,(x→0)) cos r 0时 0,则必有a 0,即a=1.此时 cosT 故c 例13设f(x)在[A,B]上连续,且A<a<b<B,求证: li f(x+h)-f(x) dx=f(b)-f(a 证令x+h=,则/红+b)x=0注意到/()连续,则/()出可导 再用罗比塔法则和f(x)的连续性,即 h li f(x+h)-f(r dr= li r as f(x)dx]。型 h lim[f(b+h)-f(a+ h)]