第52讲有理函数与三角有理函数的积分 167 第52讲有理函教与三角有理函教的积分 、有理函数的积分 有理函数的积分指的是形如aG23x的积分(其中P(,Q()为多项式)有理函数 的积分实质是要解决有理真分式的积分法,而有理真分式总可以分解为四种最简分式.由 此,有理函数的积分最终归结为以下四种积分,即: (1)「Adx Alnlr-a+C; (2) a dx A (x-a) n(x-a)'si+ci (3)x2 AI + B +bx+cdx,此类积分的基本方法是将被积函数分解为两项,即把分子分解 成 Ax+B=2(x2+饭x+c)+B-2 所得第一项积分是对数函数第二项积分是对数函数(当b2-4>0时)或反正切函数(当b2 4c<0时) ab。,山此类积分的基本方法同上 Ar +B -dx Af(2r+b)dx dr x2+bx 2(x2+b+)+2B-Ab 2」(x2+bx+c 式中第一项积分利用凑微分可以积出: A 2 1·(x+bx+c)-+C 第二项可用配完全平方法,得形如 d (u2±k2) 的积分,再利用分部积分法建立一个递推公 式,结果为有理函数及对数函数(或反正切函数) 由上述结果可知,有理函数的原函数不外乎三种:有理函数对数函数反正切函数 例1求_22-dx 解先把被积函数化成部分分式的和,设 (x-1)(x+1)24 2x+2 Bx+c, Dx +e 可用待定系数法求待定常数A、B、C、D、E的值其基本方法有四种:①赋值法,②比较系数 法,③逐次约简法,④求导法.下面用赋值法求解 去分母得 A(x2+1)2+(Bx+C)(x-1)(x2+1)+(Dx+E)(x-1)≡2x+2( )令x=1,由(*)式得A(1+1)2=2+2,∴A=1; (i)令x=i由(“)式得(D+E)(-1)=2i+2, 即 (E-D)-D-E=2+2
168 高等数学重点难点100讲 E-D=2, D=-2, E-D=2 即 E=0 ⅲ)把A=1,D=-2,E=0代入(*)式得 (x2+1)2+(Bx+C)(x-1)(x2+1)-2x(x-1)≡2x+2 令x=0,得,1-C=2∴C=-1. (iv)令x=-1,得 4一(B+1)(-1-1)(1+1)+2(-1-1)=0,B=-1. 于是(x-1(x+1)=x-1-x+1-(x2+1)2 赋值法的基本思想是视(*)式为恒等式,从而x取任何值(包括复数)等式均成立在 赋值过程中,x的取值顺序一般是先取分母的根(如本例x=1,),然后取一些简单的数(如 本例中的x=0,-1).于是 原式 +1x2+1 )d +1 arctan 例2求 3 +1 3 B r+c 解设 x+1=(x+1)(x-x+1)=x+1 用比较系数法确定 常数A,B,C 通分得-3 +1)+(Bx+C)(x+1 x3+1 (x+1)(x2-x+1) A+B)x2+(-A+B+C)x+4+C +1 比较两边分子同次幂得4+B=0,一A+B+C=0,A4+C=3 解之得 A=1,B 原积分 x+1x2-x+1)dx=mn(x+1)-12x 1+ x+2 d -x十 In(. +1)-∫x二x+1+∫ d +1 In(x+ 1) x+1)+ In(r+l +1)+ arctan 例3求 1+6x+ 33 3(x2+2x+2 B Dr+ E 解设 (x-1)(x2+2x+2)x-1(x-1+Cxx+2x+ 我们用逐次约简法确定常数A,B,C,D及E.去分母得 1+6x+x2-3x3 =[A(x-1)2+B(x-1)+C](x2+2x+2)+(Dx+E)(x-1)3,(52.1) 第一步:令x=1,得C=1; 第二步:以C=1代入(52.1)式右边后,将以C=1为系数的项移到等式的左边,再于
第52讲有理函数与三角有理函数的积分 169 两边约去因式(x-1),得 3x2-3x+1=[A(x-1)+B](x2+2x+2)+(Dx+E)(x-1)2,(52.2) 在(522)式中令x=1,得B=-1; 第三步:以B=-1代入(52.2)式后,将以B为系数的项移到等式左边,两边再约去因 式(x-1)得 2x-3=A(x2+2x+2)+(Dx+E)(x-1) (52.3) 在(52.3)式中令x=1,得A=-1; 第四步:以A=-1代入(52.3)式,将以A为系数的项移到等式左边后,两边约去因式 (x-1)得 +1=Dx+E. (52.4) 从(52.4)式得D=1,E=1 这样,定出一个系数,便将多项式约简一次,直至全部系数定出为止 原积分= 1)2( 15+x+2x+2dx 1) =-hnx-1x1-2(x-12+2x+ +2x+2)′ dr 2x+2 +2x+2 +C. 1) 2( 注意①以上为了介绍这四种方法,所以在解题过程中单一地使用了这些方法.实际 上在解题过程中各种方法可穿插使用,即化到那一步感到使用哪个方法方便,就用哪个方 法,尽可能地使解法更简单些;②有理真分式一定能够分成四类简单分式而被积出,但不是 定要分为四类简单分式后求积分,也就是说不一定要按上述例题所示的求有理函数积分 的一般方法进行计算.对这类积分一般的思路是: (1)首先看能否用恒等变形的方法; x-1)(x2+1Q 例4求 解这里介绍一种常用的较简单的将被积函数化为部分分式之和的方法即视分母的 具体形式,将分子通过加项减项,分解因式等办法拆为若干项,以达到分解的目的 (x-1)(x2+j=x+x2-x2+1=x(x2+1)=(x-1)(x+1) (x-1)(x2+1) (x-1)(x2+1) 2-1+1x+1 +1 =x+1+ (x-1)(x2+1 +1+ 1 x-1x2+1-x2+1)dx 2x2+In|--oIn(x'+1)+C. (2)是否可用凑微分法; 例5 +2x4+1 d(x+1) 解原式= 例6求 dr x(1+x2) 解原式 I'(1+xdr 订式 d(x7) +x)
170 高等数学重点难点100讲 号(-12 d(x )=l ln|1+x2|+C 3)是否可用变量替换; 例7求 d x-1=tt2+2t+1t=(t-3+2t-4+t5dt 解原式 t3+c +C 2(x-1 3(x-1)34(x-1) (4)最后再考虑分为四类简单分式的方法 二、三角有理函数的积分 有些函数的积分通过某种变换,可以化成有理函数的积分.三角有理函数的积分 R(cosx,sinx)dx(其中R表示对cosx,sinx进行有限次四则运算)就属于这种情形 万能代换=tan2一定能把三角有理函数的积分化为有理函数的积分: R(cosx, sinr)dx=R 1+t21+t 从而按有理函数的积分方法进行积分,但使用此法得到的有理函数的积分往往较繁我们应 根据具体情况,先寻求简便方法.一般按如下的思路进行: (1)首先看R(cosx,sinx)能否用三角或代数恒等变换化为已知的或易积的积分; 例8求1 sin2rcosxd 解原式m1+2) =g」sin2xdx+g」 sin'2xcos2rda 16 (1-cos 4)dx 16 SIn22xrd(sin 2x) 16 6Asin4r+ osin 2x +C. (2)能否用凑微分法; 例9求∫1+ tanr tanr 解原式 coS sinT d (sinx cosr) In cos.r sinr +O cosr sinx cosx - sinr) 例10」mx0 解原式= tanr tanr cos r(a tanr+)ax=a tanr+b2 d (tan.x) -d(a'tan2x+b2) In(a]tan'x +b)+C b (3)当R(-cosx,sinx)=-R(cosx,sinx)时,令t=sinx; 当R(cosx,-sinx)=-R(cosx,sinx)时,令t=cosx;
第52讲有理函数与三角有理函数的积分 171 当R(-cosx,-ainx)=R(cosx,sinx)时,令t=tanx 这些代换均比万能代换简单 例11求d 解原式 sIn coS coBr a t sindo a d(cosx) cos"文 COS"T t+÷+C=cosx+secx+C. 例12求 cos 2ax dr cos‘x+sinx 解令tanx=t, 原式 cost- sina 2-(1-tan2x) coS"T 三 cos4x+sin‘x 1+ tan'r rdx= tan"td(tanr) tanr d(t+) de 1+t (t+1)2-(√2) √2+(t+1) 2√2√2-(+1) sn/sinr+√2 sin 2x (4)是否可用特殊方法; 例13求 sinr+ cos dr sinx 3cosx 解因被积函数的分子、分母都具有 asin.T+ bcos r的形式,且分母的导数也具有如此 形式.我们可把分子拆为两部分,使一部分与分母成比例,另一部分与分母的导数成比例 sinr 8cos I A(2sinx +3cos x)+ B(2sinr +cosr)' (2A -3B)sin.r+(3A+2B)cosx 比较两边系数可得A=2,B=1,所以 = 2+(sinr 3cosr) sinx cosa dr=2r+In /2sinx +cosr|+( (5)最后考虑用万能代换
