第64讲广义积分 225 第64讲广义积分 、广义积分的基本念及计算法 1.无穷限的广义积分 (1) f(x)dx= lim I f(x)dx (2) f(x)dx= lim f(x)dx: (3)/(ydr=lim /(r)dr+lim f()dz 若极限存在则无穷积分收敛否则发散;(3)中右边有一个极限不存在,则f(x)dx 便发散. 2.无界函数的广义积分 (1)f(x)dx=limf(x)dx(当x→b-时,f(x)→∞); (2)f(x)dx=limf(x)dx(当x→a+时,f(x)→∞); (3)f(x)dx=imf(x)dx+limf(x)dx(当x→c时,f(x)→∞) 通常称(1)中的x=a,(2)中的x=b,(3)中的x=c点为f(x)的瑕点,称相应的无 界函数的广义积分为瑕积分 若右边的极限存在,则瑕积分收敛,否则发散,(3)式右边的两个极限若有一个不存在 则瑕积分发散 一句话概括:广义积分就是变上限(下限)函数的极限 有些广义积分,既有无穷积分又有瑕积分,该如何判敛及计算呢?这正是紧接着要讨论 的问题. 3.广义积分计算的一般步骤 第一步:区别类型(无穷积分,瑕积分),对既有无穷积分又有瑕积分的混合型,一定要先 进行分解使各单个积分只有一个瑕点的瑕积分,一个积分限为无穷的无穷积分 例1求下列广义积分: x+4z+9:(2)1 d (1) x(1-x) dx;(3).—dx x-1 解(1)被积函数f(x)=x2+4x+9在(-∞,+∞)连续,无瑕点属无穷限的广 义积分∫二+4x+4z=」 ∞x2+4x+92+ dr x2+4x (2)因lim ∞,Im x0+√x(1-x) (G=∞,所以积分的上、下限都是被积函 数的无穷间断点即瑕点 √x(1-x) d √x(1-x (3)因limf(x)=∞,所以x=1为f(x)的瑕点,故该广义积分为混合型的 +∞ d dx+
22 高等数学重点难点100讲 第二步:求出被积函数的原函数例1中(1),(2),(3)的原函数分别为 ∫+4+。4x-「a+2+- arctan +C. 2d(√x) =2 arcsin√x+C. 1=n2 tdt -dr +1t= 2arctant+C= arctan vr-1+C 第三步:按定义(即先用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分,再求极限)求出各广义积 分的值 第四步:求出第三步所得各值的代数和 例1的(1),(2),(3)分别计算如下 (1) 2+4+=x+x++。x++5 lir (x+2)2+ b+以。(x+2)2+5 lim arctan x+21 lim 1_ arctan lim -arctan a+2 + lim b+2 arctan √5 d (2) (1-x) a方+lm/1 im2csi√x|+ lim arcsin√z arcsin arcsin +lim 2 arcsin 1-T 一 arcsin (3 dr dx x-1 x√x-1 x-1 +J1+t工 x√x-1 叫2x√x-1 lim 2 +2 为了书写的统一与简便起见,把第二、三、四步合起来写像常义积分一样,写成 f(r)dx=F(x):=F(b)-F(a) 不过对F(b)与F(a)的理解要随不同的广义积分而不同,当f(x)在b或a无界时,F(b) F(a)应理解为 F(6)=lim F(x) 当b或a分别为+∞或-∞时,F(+∞),F(-∞)应理解为 F(+ lim F(x) ∞)=limF(x 当这些极限存在时,广义积分收做,否则发散 例2判定下列广义积分的做散性:
第64讲广义积分 227 + +oo In e (1) 2) (3) dx (1 dx (1+x2) 4 2(x-1)4√x(x-2) 解(1)因x-1=2 ),故 dx -d 1;dz] I+I]*or-CarctanT =ln(2+√3)- 12 于是,广义积分收做且其值为1n(2+√3)-历 +∞lnx +∞ (2) dx Inxd() +「dx=[-1]=1 edr (3) (1+e-) (1+e) ∫。-xd(1+) d ln(1+e-)]=ln2. 1十 1 (4)令x=tant,代入得 o (+28=2 1esec'tedt ∞dx cos l4tdt 13119753 141210864 13!!丌 14!!2 (或 135135 1290240 (5)因为√x(x-2)=√x2-2x=√(x-1)2-1.故令x-1=sect, 2(x-1)4√x(x-2)J。sec'tan=2 costa≈2 extant 故广义积分收敛 注意本题中的(4)(5)两式经过换元后广义积分变成了常义积分(即普通定积分),那 么就可以按常义积分求解 例3判定下列积分(被积函数有瑕点)的敛散性 dx sInz (1)」。x-4x+3:(2) (3) z 1- 2x (4)ln(x+1)dx;(5) 1+cos 解(1)因为x2-4x+3=(x-1)(x-3),所以x=1是x-4x+3在[o,21上 的无穷间断点(即瑕点),故 dr dx x2-4x+3=。x2-4x+3 4x+3 dx 因 _1 4x+3 li 2 )dr li dx
228 高等数学重点难点100讲 而其中=-1门 dx = lir d 故积分 -4x+3 dx发散 SInT sInT (2)因为 √1=c0s2x√2| sinx 而 li sIn 2 sinx ·SInx 2 SIn.C sInt lim lim +0√2 Sinai rx+0√2(-sinx) 所以x=丌不是被积函数的瑕点,而是第一类间断点,故该积分不属于广义积分, sInT d SinT 詈√1-cos2x z dx+ d. 0 (3)x=1是被积函数的瑕点,故 dx dr dx (1 e dx 由于 im[n12-·=+ dr 故广义积分」。(1x)2发散 (4) 1是被积函数的瑕 In(x +1)dx= lim In(r +1)dr lim{[(x+1)ln(x+1)]° dx lim{[(x+1)ln(x+1)]°1-[x]°14 lim (-elne -1+E) z→+0 注意这里用到了极限 lim elne s1m=lm-,=lim(-e)=0 1 (5)本题被积函数在02上连续故属于定积分,但采用换元法如令=tanx,则积 分却化为广义积分(可立即断定该广义积分收敛!) z dx n d cos'x 1+ 1 1 ∫。2半 arctan 2 22 (当然,该积分也可用凑微分法积出,可以避免化为广义积分) 注意本例说明:某些定积分可以化为广义积分来讨论 例4求下列各积分:
第64讲广义积分 229 dr arc tanr x2(1+x) (1+x公dx; 3)'Insinzdxp dx 解(1 1x(1+x) 1+x )dx [In(1 r)-Inx n x“=1-n2 广义积分的计算技巧与定积分类似,但应注意两点:①将被积函数分拆成若干个部分 的和(差)时,积分不能分拆成若干个积分的和(差),否则可能会从一个收敛的广义积分中 分拆出发散的广义积分(这是为什么?请参看第10讲)如本题:原式 2(1+x) dx收敛, ∞ 但 dx及 dx均发散.②对广义积分的原函数在上下限的取值有时可以 直接得到,有时需要通过求极限才能得到 (2)令x=tant,则可化为常义积分 o(1 +x2)sedr=/ arctan sec2tdt =tcos tdt o sec 5t 令u=t,dv= cos tdt,则v=sint-sin2t,于是 原式=[(sin-3in) sinto sin'tdt 0 +[cost _20 +(0-1)+÷= (3)本题x=0是被积函数的瑕点,利用第62讲公式10,则有 In sinrdx ='[lnsinz Incos r ]dr='In(sin.cosr)dr = (nsin 2x -In2)dx nsin2rdx -=In2 令2x=t,则nin2dx=| Insist dt. 1 2/h n sin.rdr I, 故r=1-xln2,即I=-Dm2 本题虽然是广义积分,却没有用定义判别,而是利用代换,产生循环,得出结果 (4)显然x=1是被积函数的瑕点,令x=sect则积分转化为常义积分 secttanyd. costdt sint/=v3 sect·tant 例5利用递推公式计算: 1)I x"e-“d (2)In (x2+1) (n为正整数 解(1)In= rd(e-)=[-xe-‘]+n Edx lim[--+0]+nI,-1 即有递推公式
230 高等数学重点难点100讲 而l= idr I1=l0,I2=2l0,l3=3l2=3·2·l i=n·(n-1)…3·2·1lo=n!lo=n! (2)令x=tant,则 c+1=/ ∫a半 sec tdt sec't 2)!! 例6当为何值时,广义积分,n收做?当k为何值时该广义积分发散?又当 k为何值时,该广义积分取得最小值? dInx 解k≠1时,I= 2 x(nx) (nx) [(nx)1-]2 lim[ lim ( (ln2) x+∞ x+∞ 1 (ln2)1-k,k>1 十∞,k1时,广义积分 设f(k) (ln2)1 k >1),则 f'(k) lnln2·(k-1)-(hn2)1-(ln2)-[(1-knln2-1] (k一1) (k-1)2 令()=0,得驻点k=1-mnhn2,且当k时,广(k)>0.从 而k=k=1-nn2’2x(lnx dx取得极小,也是最小值 、广义积分的判敛 我们曾考察过这样两个广义积分并得出结论: (1)「1dz(a>0),当p>1时收敛,当p≤1时发散 (2) dx,当q1,.”n+,小+=ax等收效因为 积分中分母与分子原幂次之差分别为P,2,2,均大于1;而积分 -dx(p0及P>1,使得f()≤%(a≤x0
第64讲广义积分 231 使得f(x)≥(a≤x0及q0及q≥1,使得f(x)7(D少(a<x≤b),则广义积分(x)dx发散 N 例7判断下列广义积分的敛散性 ∞ d. (2) dx (3) sinr d 4x4+2x+3 n 解(1)因 lim y(r) 1 中y4x+2x+3 所以由准则1知 dx收敛. 0y4x4+2x+3 2)因f(x)=1→-∞(当x→1-),所以x=1为瑕点,又因当0<x<1时nx <0,为了能用准则2,不妨考虑 dx n r ( dx 因li lir lr 1,所以 n. nT ∫-1n24z发散于是」 也发散 (3)这是一个混合型广义积分 dr sInT dx sindh,由于 lim f(r) sint lim sInT 则据准则2知如4收敛,=≤力,而 rdx收敛,故「 sint d也收敛, 从而 SInT dx收敛