344 高等数学重点难点100讲 第82讲重积分的计算法(2) 、利用直角坐标计算三重积分 利用直角坐标计算三重积分通常先化为一个单积分和一个二重积分,再化成三次积分 进行计算.先作单积分后作二重积分称为“先一后二”法;先作二重积分后作单积分称为 “先二后一”法 1.“先一后二”法 设平行于z轴且穿过积分区域内部的直线与的边界曲面S的交点不多于两点.在 xOy面上的投影区域为D.以D的边界为准线的柱面将a的边界曲面S分为上、下两部分; 其曲面方程分别为z2=z2(x,y),z1=x1(x,y),且z2≥x1,若区域D为X一型区域:y1(x) ≤y≤y2(x).a≤x≤b则 fix,y, z)dxdydz=drd,/'2(ky f(r, y, e)dz ,(x.y) dr\was fax, y, s)dz 若D为Y一型域:x1(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d,则 f(x,y,) drdy=「1……3f(x))d f(r, y,2 同样,若平行x轴或y轴穿过的内部的直线与2的边界曲面交点不多于两点,2分别 投影在yOz面,zOx面上得相应的投影区域Dx,D,,可利用“先一后二”法将三重积分化成 个单积分和一个二重积分,然后根据相应坐标面上投影区域的类型化为相应的三次积分 若平行坐标轴的直线穿过的内部且与a的边界曲面交点多于两点,则可将』分成若 干部分,使每个部分区域的边界曲面与平行坐标轴的直线交点不多于两点然后,利用三重 积分对区域的可加性,使』上的三重积分化为各部分区域三重积分之和,再采用“先一后二 法”将各部分区域上三重积分化为三次积分 先二后一”法 若积分区域卫界于平面z=c1与z=c2(c1,c2为常数,且c1<c2)之间,用介于此二平 面之间的平面去截日,得截面D(x)(c1≤z≤c2),则有“先二后一”法: f(r, y, z)drd d=l f(r, y,z)drd 然后根据D(z)的类型可将上述积分化为三次积分 同样,若夹在x=a1与x=a2(或y=b与y=b2)两平面之间,同样有相应的“先二 后一”法公式 举例 例1设为锥面x=F+y与平面x=1围成,试将三重积分|=Ⅲ/(y z) dxd ydz按下列次序化为三次积分: (1)先对z再对y最后对x积分;
第82讲重积分的计算法(2) 345 (2)先对x再对y最后对z积分; (3)先对y再对z最后对x积分; 解积分区域D如图82-1所示,根据积分区域D的特点,可 采用“先一后二”法 (1)将D投影在xOy面得投影区域Dy:x2+y2≤1.在D,内 任取一点(x,y)作平行于z轴的直线,自下而上穿入内,它由锥 面z +y2穿入,由平面x=1穿出故第一次单积分上限为 D 1,下限为√x+y2.区域D,按积分次序要求应选为X一型区域:x1 √1-x2≤y≤√1-x2,-1≤x≤1.则 f(r, y, z)dz f(a, y, z)dz. (2)将D投影在yOz面,得投影域Dx,它是由z=y,z=-y及z=1围成的三角形 区域.在Dx内任取一点(y,z),过此点作平行于x轴的直线由后向前穿入D内,它由x1= √z-y穿入由x2=√2-y穿出,故第一次单积分的上、下限分别为va-y √x-y2.而这时区域Dn按积分次序要求应选为Z一型域:-z≤y≤z,0≤z≤1.则 f(r, y, z)dx f(x, y, e)d x. 3)将投影在zOx面上,得投影区域D,它是由x z,x=x及z=1构成的三 角形区域.过Da内任一点(z,x),作平行于y轴的直线自左向右穿过内,由曲面y 2-x2穿入,由曲面y2=√x2-x穿出.则第一次单积分上、下限分别为yz x2-x2.y1=-√z2-x2.这时D4按积分次序要求应选X一型区域;而区域Dx下边界 由x=-x与z=x两部分组成故要分成两块:De:-x≤x≤1,-1≤x≤0;Du:x ≤z≤1,0≤x≤1.故 f(r, y, z)dy ded f(,y, z)dy 12-x2 f(r,y,z)dy+ dxdx dr d f(r, y 例2计算=yco(x+x) drdy其中是由y 0,z=0及x+ 围成的闭区域 解积分区域9如图82-2所示D在xOy面投影区域为D,:0≤y≤√x,0≤x≤ 2·通过D2内任一点(xy)作平行z轴的直线穿入内,它与9的边界曲面的交点竖坐标 依次为z=0,z ,采用先对z后对x,y的“先一后二”法,单积分的下限为z=0,上 限为z=2-x,D,作二重积分区域,且D选为X一型区域,则
346 高等数学重点难点100讲 lady:cos(z+z)dz y[sin(r+x)dxd (1- sinz)ydrdy (1- sinx )d udy= (x- sinx )d O 9z=0 202+rcos-sint 2=T-1 图82-2 例3计算=xdxy,其中是锥面x=Rx+y与平面x=A(R>0A> 0均为常数)围成的闭区域 解积分区域』如图82-3所示,它夹在z=0与z=h两 平面之间,故选用“先二后一”.过z∈(0,h)作平行于xOy面的 平面,与n相截得截平面区域D(z):它是中心在(0,0,z)点,半 径为√x+y=方的一个圆其面积为x(2)=mR32:,D(z) 是作二重积分的积分区域,而再作单积分时积分下限为z=0,上 限为z=h,故 I= ede dxdy=[r zdz=TR'h2 图 8z-3 注意本题若用“先一后二法”计算较繁,可见,计算三重积分f(x,y,z)d,当f(x y,z)中只含有x,且D(x)的面积已知时,先求对x,y的二重积分后求对z的单积分简便 例4计算== drd ydz,其中a:x2+y2+2≤a,x2+y2+x2≤2a(a>0) 解积分区域a由两球面x2+y2+x2=a2及x2+y2+(x-a)2=a2围成,它夹 在z=0与z=a两平面之间但在平面z=0与x=之间即的下半部分n1,它由球面 +(=-a=a与==围成,在平面x=2与平面x=a之间即的上半部分 2,由球面x2+y2+x2=a2与平面z=2围成,故采用“先二后一法”时,要分两个区域1 2 dxd ydz+‖ z'drdyd drdy DI< z2.r(2az -z2)dz +Lz'r(a2-z2)d Ddz +r( 59 其中D1(z)是中心点为(0,0,z)(0<z<日),半径为√x+y2=√2az-x的圆,其 面积为x(az-x2);D2(x)是中心在点(0,0,x)(日≤x<a),半径为√x2+y=√a-z
第82讲重积分的计算法(2) 347 的圆,其面积为r(a2-z2). 例5计算I=‖z其中是由yOz面上抛物线y2=2z绕z轴旋转一周而生成的 旋转曲面与z=2,z=8图成的闭区域 解y2=2绕z轴旋转生成的旋转曲面方程为2z=x2+y2,显然积分区域夹在z 2,z=8二平面之间,可用“先二后一”法,则 I=| z2dz drdy =2 adz = 2040. 二、利用柱面坐标计算三重积分 利用直角坐标与柱面坐标的关系:x= rose,y=rsin0,z=z,若D能表示为x1(r,0)≤ z≤x2(r,6),r1(0)≤r≤r2(6),a≤6≤B,且注意体积元素dv= rdrdedz,则三重积分I= f(x,y,z)d可化为柱面坐标的三次积分: f(rcos日,rsin0,z)dz 一般若积分区域』是由抛物面与平面或柱面等围成或由锥面与平面或柱面围成则利 用柱面坐标比较简便. 例6计算Ⅰ=‖√x2+yd,其中a是由x2+y=ax及平面x=a(a>0)围成 的闭区域 解将积分区域』投影在xOy面上,得到投影区域是半径为a的圆域D,其极坐标表 示式为:0≤r≤a.0≤6≤2x.过任一点(r,6)∈D,作平行于z轴的直线由下而上穿过Q 内,由曲面xx2+2(其柱坐标方程为z=)穿入,由x=a穿出则a的柱面坐标表示 式为: ≤z≤a,0≤r≤a,0≤0≤2n I=rdrde zdz=der'a. zdz= 2*o rorra:-(r)?dr 例7计算I=z(x+y)d其中由x=0,x2+y2=ax及z=√z+y图 成的闭区域 解积分区域如图824所示在xOy面的投影区域D为圆域:(x-2)+y≤ (号)其极坐标形式为0≤r≤acs,-≤≤过任一点(r,)∈D,做平行于z轴 的直线由下而上穿过,它由的边界x=0穿入,由边界z=√x+y(柱坐标方程为z r)穿出,则的柱坐标形式为 0≤x≤r,0≤ r≤ acost -2≤0≤2,则
348 高等数学量点难点100讲 rdrde ards DrD 2 ∫= acos 0d8 6叫0cs3=8q.5.3,1,x=5r 219 例8计算I=(y2+z)dv,其中是由xOy面上曲线 图82-4 y2=2x绕x轴旋而成的曲面与x=5所围成的闭区域 解解法1曲线y2=2z绕x轴旋转所得曲面方程为x=2(y2+x2),D是由x= (y2+x)及x=5围成的闭区域将投影在yOz面上,得投 影区域Dx为圆域:y2+x2≤10,如图825所示,其极坐标表示为 二二 x0≤r≤√10,0≤6≤2x.任取一点(r,B)∈Dm作平行于x轴 的直线由左向右(按x轴在图上放置位置)穿过D,由曲面x= (y2+z2)(其柱坐标方程为x=)穿人,由平面 5穿出 图82-5 因此?可表示为≤x≤5,0≤≤√100≤6≤2x,故 rdrdl rdx= de 2dI (5 250 解法2因夹在x=0与x=5二平面之间,故可用“先二后一”法,过任一点x∈(0, 5)作平行于yOz面的平面与』相截得到截面D(x):y2+x2≤2x,其极坐标形式:0≤r≤ √2x,0≤0≤2r,故 =|dx‖y2+x2)d =2x dr rldr= 2nrdr=250x 显然因D(x)上的二重积分易求,故解法2较易 例9计算==ydc,其中D是由x=√+y,x=1图成的闭区域 解因D上z≥0,所以被积函数f(x,y,x)=|xyx=|xy|z,它关于x,y都是偶函 数,又分别关于y0z面及0x面对称,故I=4‖yxdv,其中1为在第一卦限部分,在 n上f(x,y,x)=1xyz|=xyx,2的柱坐标表示式为≤x≤1,0≤r≤1,0≤0≤2, 则
第82讲重积分的计算法(2) 349 =210an-r=2[2n1-= 三、利用球面坐标计算三重积分 利用直角坐标与球面坐标关系:x= psingcos6,y= Psingsinp,z=pCo若积分区域D 可化为球坐标形式:1(9,0)≤p≤P2(,0),9(6)≤甲≤吗(0),≤6≤B,则三重积分r= ∫(x,y,z)d可化为球坐标的三次积分 R de singal f(psingcos8, psingsin8, pcos)pdp A(6) 般地说,若积分区域』是由球面与锥面围成时,使用球面坐标较方便 注意这里直角坐标与球面坐标关系没有用某些教材上的符号:x= rsingcos6,y= songsiN0,z= rcos主要为避免与柱面坐标中的r相混淆,并建议读者使用这种符号 例10计算下列三重积分: (1)I=‖(x+x)dv,其中D:x2+y2+x2≤1,z≥0. 2)I=‖(x+y+x)dv,其中:x2+y2+x2≤1,x≥0,y≥0,z≥0 解(1)积分区域a为半径为1的上半球体,由积分性质知 wAy 对积分1=Ⅲd因f(x,y,x)=x关于z是奇函数,关于y0面对称故=0 对积分12=‖zdv,f2(x,y,z)=z,关于x,关于y都是偶函数,又分别关于yOz面,2Ox面 为对称,故l2=4dv,其中为a在第一卦限部分,而a1的球面坐标表示式为:0≤P≤ 1,0≤9≤,0≤0≤5故 I=I1+I2=I2 4d0 2T singcosppl Pdp= x 2由积分性质+!+],定积分、二重积分其积分值只与积分区间 或积分区域和被积函数有关,而与积分变量用什么字母表示无关,三重积分也一样,积分值 也仅与积分区域D和被积函数有关,与积分变量用什么字母表示无关,故 U
350 高等数学重点难点100讲 这种性质也称作枪换对称性园此1二5可表示为。0≤≤10≤号 0≤6≤7,则 I=3zdx =3 do sindo pcos. pdp =3「 del ' singcosodp|pdp 16 例11计算下列三重积分 )1=1-d其中ax+y+2≤2x2+y≤x 2)r=Ⅲ1dv,(m为正整数)积分区域:1≤x+y+z≤4. (x2+y2+z2) 解法1选用球面坐标,球面x2+y2+z2=2ax与锥面x2+y2=x2的交线为 故』在xOy面投影区域D为:x2+y2≤a2,锥面的球面坐标方程为tan= 1,即=7,球面方程为P=2acos甲,a的球面坐标表示式为 0≤P≤2acs9,0≤9≤4,0≤6≤2x, 4507 故 da songdo dp= 2 singcos pdp d 4 sigcomp (acos)'d a'r singcos pdo 解法2利用“先二后一法”夹在z=0与z=2a之间,但注意z=0与z=a之间 为锥面,z=a与z=2a之间为球面,则 I=zdz‖drdy+|^zd‖drdy z]dz+re(2az -z2)de Tai 其中D1(x)是中心在(0,0,2)点(0<z<a),半径为√x+y=x的圆,其面积为xx2; D(x)是中心在点(0,0,x)处(a<x≤2a),半径为√x+y=√2x-的圆,其面积为 丌(2az-z2) (2)只有用球面坐标简便,口的球面表示为:1≤P≤2,0≤≤丌,0≤0≤2x,故 4x-(2--1),n≠3 pe d={3 4In2