300 高等数学重点难点100讲 第76讲多元函教微分法(2) 多元复合函数的偏导数 在一元函数中,求复合函数y=f[x)]的导数时,要先对中间变量求导,然后再乘以 中间变量对自变量的导数: y=f(q(x))q(x)或y'x=y· 多元复合函数的求导法则是一元复合函数求导法则的自然推 广.多元复合函数各变量之间的关系结构图也由一元复合函数的 条连线变成了多条连线,求导的过程虽然复杂了许多,但总的原 则仍然是:求函数的某个偏导数时,一定要弄清楚是对哪个变量求 导,同时又是固定了哪些变量而进行的.只有这样,才不致在任何 复杂情况下发生混乱 1.多元复合函数求偏导的基本方法 例1设z= arcsin(x-y),而x=3x,y=4,求a 解法1z=f(x,y)是有两个中间变量x,y和一个自变量t的复合函数,其复合结构如 下图,因此z是只有一个自变量t的函数,所以所求导数是全导数,于是 dz a d y dt ax dt ay 3+ ·12t 3(1-4t2) √1-(3-4t) 解法2z= arcsin( )a arcsin(3t --4r), d 3-12t d=√1=(3-4)2 例2设z=f(x,a)= Sinu+2x2+e",a=x2+y2,求女 ar ay 解z是两个中间变量x,,两个自变量x,y的复合函数,其中x既是自变量又是中间 变量,具有双重身份,各变量关系图如左 az a sinu +4x +(xcosu +e").2x (x) a sin(r2+y2)+4+ 2x[rcos( az af au (rcosu +e").2y=2yLrcos(r2+yo)+ 注意在此例中我们清楚地看出,与x的含意是不同的,正=sm+4x,量然它不 等于这是因为等式左端的是函数z对自变量x的偏导数即是二元函数=八[x,(x
第76讲多元函数微分法(2) 301 y)]关于自变量x的偏导数(亦即y=0时的偏导数),而右端的之则是二元函数z=f(x, )关于中间变量x的偏导数(即n=0时的偏导数),这里,尽管a是x的函数,也当作与x 同等地位的中间变量来处理,类似地,=成中的西与的意义也不同 例3求下列函数的一阶偏导数(其中∫有一阶连续的偏导数) (1)=f(x,2); (2)u= f(r2, ry, xyz) 解(1)令=x,=y,则a=f(s,t),复合函数的结构图如右,故a是x,y,z的三 y 元函数 a=正+a正=y,(不含x,故正=0), 动=b+a秒=-y”+z… A29西+建 a ax f,(s不含z,故 (2)为了表示简明起见,将三个中间变量s=x2,t=xy,p=xyz按顺序编号为1,2,3 复合函数的结构图如左下 =峦+如正+部的=2x1+yf:+yx- x记号f1,f2,f3分别表示函数∫第一,第二,第三中间变量求偏 导 类似地,a=x:+x,=xyf 2全微分形式不变性 在一元函数y=f(a)中,若u是自变量,则函数的微分dy=f(u)d,若l=g(x)(g(x) 可导)是中间变量则复合函数y=f[y(x)]的微分为dy=f(u)·y(x)dx,由于y(xdx da,故仍有dy=f(u)du,这说明无论u是自变量还是中间变量,微分形式dy=f(l)da保 持不变,这一性质称为微分形式不变性 在多元函数中,全微分也具有形式不变性设z=f(u,v)为二元函数,不论u,为自变 量还是中间变量,z=f(x,v)的全微分形式均为d=dx+d 利用全微分形式不变性,容易证明全微分的运算公式: d(u±v)=dv±d;duv)=vdv+d;d(“)= vau uaU (n≠0) 利用全微分形式不变性及全微分运算公式,可使微分变得更加灵活 例4求“=x2+y2+2的全微分 解da (x2+y2+z2)dx-xd(x2+y2+z2) (x2+y2+z2) (r2 +y+z2)dr -r(2xdr 2ydy 2zdz) Ddr -2xydy-2xzd (x2+y2+z2 求出da,同时就得到了u的三个偏导数
302 高等数学重点难点100讲 走一++…多=+3:,妻-a+3: 3.复合函敗的高阶偏导数 求复合函数的高阶偏导数与求复合函数的一阶偏导数一样不需新的方法和公式,只是 要牢牢地记住:在求抽象的多元复合函数的高阶偏导数时,函数对中间变量的一阶(或二阶, 更高阶)偏导数仍然是以原自变量为自变量原中间变量为中间变量的复合函数 例5设z=f(x,),其中f具有二阶连续偏导数,求 dzdz z ax andy 解把∫中的x,按顺序编号为1,2则复合函数的结构图如下, 安=f1·1+f2=f1+f2 A. f2·(-) dy f 在求二阶偏导数时,三个函数f,尸1及尸2仍然是x,的函数两个新函数f,/2与中 间变量1,2和自变量x,y的关系同原函数∫一样,没有变化它们的结构图相同,于是有 d2=n·1+Pm21+1(fn1+2·1 Fz =m"1+f12+; =f2·(-5-1 ("12+f2)-f aray f2+1 f2-2f2:( f2+f"2 例6设z=f( tiny,x+y),其中∫具有二阶连续的偏导数,求xy 解将中间变量u= esin y,v=x2+y2按顺序编号为1,2,复合函数的结构图如下,于是 f;·e‘siny+ ab(fn· e cosy+ f12·2y)e‘siny+f· e"cosy +("a·e'cosy+f"22:2y)·2x f".ez" y+ 2e (ysiny cosy)/1:+4y/a +f1· e cosy. 注意在具体计算过程中,最容易出错的地方是对一阶偏导函数f(u,z)再求偏导数 这一步,原因是不注意f(u,v)(f(u,v))仍是与f(n,v)保持相同复合结构的函数,易被 误解为仅是的函数从而导致漏掉尸的项因而错误地写成a(x,)=(,0)a 由此可见,只能靠对函数构造的正确判断,及对一阶基本求导法则的正确运用,才能避免这 样的错误. 、隐函数的导数 1.一个方程确定的隐函数的偏导 例7设acn2-2=0,求
第76讲多元函数微分法(2) 303 解法1公式法令F(xy)=Brnx+y_y,则由方程F(x,y)=0可确定一 个隐函数y=f(x), 1 1+(+y)2-a2+(x+y)3,F", 1+( + y 由隐函数存在定理,得 dx +y) 解法2直接法将方程中x看作自变量,y看作x的函数,两边对x求导,得 1+y 1+(x+y-=0,由此解得y=ax=(x+y) 例8设x2+x2=y9(),其中9为可微函数,求女b ar dy 解法1公式法设F(x,y,x)=x2+x2-yg(2),则 F,=2x-y(2).1=2x-y(2 由隐函数存在定理,得 yp(-)-(-) 务必充分注意:应用隐函数求导公式时,要将x,y,z看作相互独立的变量来求FFy F,然后应用隐函数的求导公式 解法2直接法将方程中x,y看作自变量,z看作x,y的函数,两边分别对x,y求导 得 2+2z正=y(y)·y正,及 az Fa (-)+yo(). yg()-z9() 由此解得 a 2x a ar d( ay () 例9设(u,v)具有连续的偏导数证明由方程φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函 数x=f(x,y)满足a正+b5=C 证将φ看成以x,y,z为自变量的复合函数,中间变量是u=cx az,D=cy-b可用隐函数求导公式求正,苏,为此,应先求出 ,φ2复合函数的结构图如右图
304 高等数学重点难点100讲 ar ay φ。-如φ az 由隐函数求偏导数公式,得 az ar 正b_ac,+hq.+bop p,+, 一a2 所以 ae φy,+b 例10若方程xy=e-1确定的隐函数为x=2(x,y),求正a 解令F(x,y,z)=xyz-e-x+1,由隐函数的求导数公式,有 az t yae cz+ rze ye ar ry +ye yr x ay tye 在两边分别对y求偏导,并视z为x,y的函数,则 1,女二_1 ardy dy 例11设z=f(x,y)由方程z-y-x+re-y-x=0所确定,求dx. 解将方程两端微分 dz - dy-dr +eey-idr rer-y-r(dz -dy-dx)=0, 整理后得:(1+xe-y-)dz=(1+xe-xx-e-y-)dx+(1+rey-)dy 故dz 1+(x-1)e dx +d 1+ree-y 例12设x2+y2-z2-xy=0,记为(76.1)式求 解先求x(761)的两边对x求偏导(注意z是x,y的函数)得 2x-2x元-y=0,解得女2x az ar az 2·2z-(2x-y) )2在 再求ax2,ax2 ,将 B=3x-y代人上式并整理,得 (2x (76.2) 由方程(76.1)得4z2=4(x2+y2-xy),代入(76.2)中的分子得 2由方程组确定的隐函数的偏导 y+z=2 例13求由方程组 确定的函数x=x(z),y=y(z)的导数. 解给出z的一个确定值,由方程组可惟一确定出一组x,y的值与之对应,故该方程组 确定了两个一元隐函数x=x(x)与y=y(x).方程两边对z求导,得 a2+2+1 a2
第76讲多元函数微分法(2) 305 解方程组,得 dx 2x+x d 2(x dz 2(x -y) usInE, 例14设 求 y=e- ucos, dr ay 解此方程组确定两个二元隐函数x=(x,y),0=(x,y),先求,和,将方程组 各方程两边对x求偏导,得 +sinu ucos ar ar (e+ sinv )a+ ucos ar 或 au a 0 ar ar cost+ using ((e-cosv)a+ using a=0 sinv ucos 当雅可比行列式J= ue"(sinU-cosU)+u≠0时,可以解得 e- cost usIng 1 ucos 0 usint SInv ar ue(sinv- cost)+u e"(sinv -cost)+1 sInv COSU 0 COST ar u"(sinv-cosv)+1)] 方程两边对y求偏导数,用与上面完全类似的方法,可以解得 一cost sinv+e ay e(sinu- cost)+1 ay ue(sinv- cost)]+1 小结(1)由三个变量两个方程所构成的方程组,一般是其中两个变量确定为第三个 变量的一元函数,例如 F(I, y, z) 方程组(G(x,y,z)= 确定隐函数y=y(x),z=z(x) 将方程组各方程两边关于x求导得关于2,正2的线性方程组 F,#+F出 d dx +F G,4⌒d1 +g d k dx ep Gyd +gd=-g. d dy d 把 当作未知量用克莱姆法则求解 (2)由四个变量两个方程构成的方程组,一般是其中两个变量为另两个变量的二元函 数,例如 方程组 F(x,y,a,v)=0, G(r,y,u, v) 确定隐函数u=u(x,y),U=v(x,y) 各方程两边对x求偏导得关于,的线性方程组 F+rr a F 即 G+ a r tg d 用克莱姆法则解出,如,同理可求出,如
306 高等数学重点难点100讲 三、方向导数与度 1.方向导数 当函数f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx,f,都存在时,函数f(x,y)在点P沿x 轴正向和y轴正向的方向导数都存在且依次为fx,fy同样,f(x,y)在点P(x,y)点沿x轴 负向和y轴负向的方向导数也存在,且其值依次为一fx和-fy 例15设x轴正向到方向l的转角为q求函数f(x,y)=√x2+y2在点(0,0)沿方向 l的方向导数. 解先求(0,0)点处的两个偏导数, 象。涨=mf(o+△x,0)-f(0,0)=Na △0 由于limn △x = Im 4x-0+△x 1, li △ lin 1,故 不存在.同 ▲ (0,0) 也不存在,从而f(x,y)在点(0,0)处不可微,故不能应用公式 (0,0) a arcos+ asing 现在应用定义求方向导数 af=linf(0+△x,0+△y)=f(0,0)=1imY△x)2+(△y)=limP= 即函数f(x,y)=√x2+y2在点(0,0)沿任意方向的方向导数均为1 由此例可以看出,两个偏导数都不存在时方向导数却可能存在;方向导数虽然存在,但 函数却不一定可微 般地,关于多元函数的连续,可偏导,偏导数连续,可微,方向导数之间有如下关系: 函数可微 函数连续一沿任意方向的 偏导数连续 方向导数存在 可偏导 例16求函数z= arctan在圆x2+y2-2x=0上-点P(2,2)处沿该圆周 逆时针方向的方向导数. 解先求圆周上P点处的切线斜率.方程两边对x求导,得 2x+2yy=2,y P点处沿该圆周逆时针的方向为PQ故p=6,于是 coS 9 2sng=”2
第76讲多元函数微分法(2) 又 1+(2)2 az az raz ay1+(2)2 y arIp 2,dye 2 a 所以菠P一ax|p cOS dy snφ √3+ 图76-1 2 例17求函数u=xy在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导 数 解={9-5,4-1,14-2}={4,3,12},√42+32+122=√169=13 4 cOSa cOSB= COSU E 13 13 3又功 dy 所以a=asa+aos dy e+cosr=4 12 13 13 a =×1×2+×5×2+ 5×1=98 (5,1,2) 例18求函数=x+y+z在球面x2+y2+x2=1上点(x,y,x,)处沿球面在该 点的法线方向的方向导数 解球面x2+y2+z2=1上点(x0,y,z)处的外法线方向向量为 n={2x,2y,2x0}=2{x0,y,z0}, 由 a an dy osp+cosy 得 an +1 (ro. yo o) √x3+y+ r0+ yo+ zo √x2+y2+x 2.梯度 二元函数z=f(x,y)表示空间曲面(可以想像为山体表面)z=f(x,y)的梯度grad f2(x,y)i十∫(x,y)j所指方向在几何上表明恰好为位于点(x,y)处山体最陡的方向.因 此,总是沿着梯度方向走到山顶的路径最短.这一几何意义给我们以重要启示:沿着梯度方 向去寻求函数的最大值将是最快的,这一方法在优化理论中称为梯度法 例19求函数f(x,y,z)=2x3y-3y2z在点M(1,2,-1)处的梯度及模 解 grad f(x, y, af af af ,2,}={6x2y,2x3-6yz dy az 于是, grad]f(1,2,-1)={12,14,-12}. gradf(1,2,-1)|=√12+142+(-12)2=22 例20函数=xy2z在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求此方向导 数的最大值 解 grad u= u,,u', u =(y2z, 2xy, ry2) 于是,rad(1,-1,2)={2,-4,1}是方向导数取最大值的方向,此方向导数的最大值为
308 高等数学重点难点100讲 gradu|=√22+(-4)2+12=√21 例21已知数量场a(x,y,z)=x2+y2+z3-3xyz,(1)求该数量场产生的梯度场; (2)在哪些点的梯度垂直于z轴;(3)在哪些点的梯度等于0. 解(1)由数量场u产生的梯度场为 gradu=uruy,u,)=13x2-3y2, 3y2-3xz, 3z2-3xyl 3{ yz,y2-xa, z2-xy) (2) gradu⊥z轴,即 gradu:{0,0,1}=0({0,0,1}是z轴上的单位向量),由此得 z2-xy=0,即曲面z2=xy上的点处的梯度垂直于z轴 (3)由 gradu=0得x2-yz=0,y2-xx=0,x2-xy=0,由此解得x=y=z,即 该直线上的点处的梯度为0 例22设x轴正向到方向L的转角为q求函数∫(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)处 沿方向l的方向导数,并分别确定转角g使方向导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于0 解 a ar cos+ asin=(2. z- y)cosp+ 2y)sin, 在(1,1)点处,a)=csg+sng,故所求的方向导数为cosg+sing(0≤g≤2x 现求方向导数的最大值与最小值 令(以,=0,即一sinP+c0p=0,求得驻点=和y=5 由 )"v=(-cosφ-sins <0知,g=为极大值点 由a)一=(-cosg-smP) csn-s~0知,甲=x为极小值 点 比较 t1, cOsp+sing在=0,9,9=4,=2x处的值1,√ 1可知,当=时 有最大值,当9=时 有最小值 (1,1) (1,1 令 cosq9+sinq=0得,9=4x或=4r,故 (1,1) 当 3丌 7 或乎=4 时 1,1 注意若只需求方向导数的最大值及其转角g,则可利用梯度来求 我们知道,a|a 取得最大值的方向为 grad f(r,y) 2 +2y} dr ay 在(1,1)点处 gradf(1,1)={1,1},由cosq= m得学。的 最大值=| gradf(1,1)|=√12+v 例23设a,v都是x,y,z的函数,n,v的偏导数都存在且连续,求证: (1)grad (uv)=gradu ugradu, (2) gradS(u)=f(a) gradu,其中a为可微函数 证(1) grad ( uv)≈awu);+a0),, aloY ay
第76讲多元函数微分法(2) 309 (公+“B+|v+a3++1 ay az az gradu ugradv (2)gradf(u) af (u)i+ af()j+ af(u) az f(u)ar+f(u)a+f(u)k +ai+ak a f(u)gradu 例24设一金属球体内各点的温度与该点离球心的距离成反比,试证:球体内任意(不 在球心)一点处沿着指向球心方向的温度上升最快 证设该球的球心为坐标原点,M(x,y,z)为球内任一点(不在球心),那么由条件知温 度函数T= c(e>0为常数) √x2+y2+z2 由于g4-{江是函数T增加最快的方向所以本题只须验证gr 是否与MO={0-x,0-y,0-z}={-x,-y,-x}同方向即可 2x·c 2(x2+y2+z2)312 r,同理 a 由此grad={分,亚 }={,一,}=÷-x,-y一2与指向球心的 方向相同,所以指向球心的方向是梯度方向,即为温度上升最快的方向
