244 高等数学重点难点100讲 第67讲定积分应用(2) 立体休积 1.已知平行裁面面积的立体体积 (x)dx =x) S(x) f(x) A(r) b x 图67-1 图672 2.旋转体体积 =xR(r)dx r,(x)-A(x) [f2(r)f,(x)]dx. 例1计算下列旋转体体积 (1)由y=sinx(0≤x≤x),y=0围成的图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体; (2)过点P(1,0)作抛物线y=√x-2的切线,求该切线与抛物线及x轴围成的图形 绕x轴旋转一周所形成的旋转体 解(1)如图67-3所示,选x为积分变量,x的变化区间为[0,r],于是 V=2rxf(x>dx=2r[zsinzdx=2x[-Icos+sinz]6=2r? 本题若选用y为积分变量,则计算变得较复杂.对此有兴趣者不妨一试 图67-3 图67-4 (2)如图67-4所示,设所作的切线为y=kx+b.它过(1,0)点,故b=一k.即切线为y kx一k它与抛物线交点即切点的横坐标应是方程kx-k=√x-2,即k2x2-(2k2+ 1)x+k2+2=0的二重根故判别式 b2-4ac=(2k2+1)2-4k2(k2+2)=0
第67讲定积分应用(2) 245 由此解得=2,相应的切点坐标x=2+1=3,y=1所求旋转体为切线段5 2(1≤x≤3)及x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得到的锥体体积v与抛物线段(2≤x ≤3)及x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得到的旋转体积v2之差,而v 2 V 2= r(r-2)dx 2 故V=V1-V 6 例2计算下列各体积: (1)设平面图形D由x2+y2≤2x及y≥x组成,立体是由D绕直线x=2旋转所得 到的旋转体; 2)立体是由过正椭圆柱体底面的短轴且与底面的夹角为a(0<a<)的平面与该柱 体相截所得的楔形体(设正椭圆柱体底面椭圆长、短半轴分别为a,b) 解(1)如图67-5所示 解法1x2+y2=2x即圆周(x-1)2+y2=1,解得x 1士√1-y2.D的边界曲线为x=1-1-y2.取y为积分变 量,其变化区间[0,1],在[0,1]上相应于任一小区间[y,y+dy] 的体积元素dv=r{[2-(1-√1-y)]2-(2-y)2}dy= r[(1+√1-y)2-(2-y)2]dy,故 [(1+√1-y2)2-(2-y)2jdy 图67 √1-y2-2y2+4y V1-ody-G-1Ddy1 2xcod-3y-1)]=2-3x(实际v为两个旋转体体积之差) 解法2用对称性显然图D与D对称,故D绕x=2旋转所得旋转体与D绕y轴旋 转所得旋转体体积相等.而D绕y轴旋转所得的旋转体,其体积为曲边梯形ABCO绕y轴 旋转所成的旋转体体积v1与由梯形ABCO绕y轴旋转所成的旋转体体积v2之差.取y为积 分变量,则 v=x(+√1-y2)dy=r1+21-y2+(1-y)]dy =2zx√1-ydy+r|(2-y2)dy=2r「ostd+x[2y-1ly v-x(2-y)y=x-(2,y]=3 故 v=v-v=2、不 解法3仍利用对称性计算曲边三角形BCE(见图676,即}圆面)绕y轴旋转所得 的旋转体体积V1与三角形BCE绕y轴旋转所得的旋转体体积V2之差,取x为积分变量,得 v1-∫2x/()x=x1=(-1dx
246 高等数学重点难点100讲 2T(1 sint)cos'tdt (Ax-1= sint) COS 而V2=2xx(2-x)dx=2[ 4 故 2 图67-6 (2)立体如图67-7所示,设底面椭圆方程为+=1,以垂直y轴的平面截此立体所 得截面是直角三角形,一边长为 另一边长为 tana,故截面积A(y) 2 )tana,于是 V= A(y)dy=astana( a'tanao(1- b2)dy 图677 =a2tana·[y b23 astana. 另外,本题也可求以垂直x轴的平面截立体所得矩形截面,其一边长为2b 另 边长为 rana,面积A(x)=2 breana(N ),于是 V 2bxtan/1 26tana 2 ·xdx= aitana 例3求星形线x3+y=a所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积 解由于图形的对称性,只要算出第一象限部分绕x轴旋转所得旋转体的体积,其二 倍即为所求体积,从方程的表示形式看,化为参数方程较为简便,即 x= acost,y asin't( st0 解本题中旋转轴是y=2a,因此可看成是x=0,x=2ma,y=0,y=2a这一矩形 区域旋转而成的体积v1减去x=0,x=2ma,y=2a及摆线所围成区域旋转而成的体积v2 体积元素 du= du -dv2= (2a)dx -r(2a- y)dx
第67讲定积分应用(2) 247 所以V=丌[(2a)2-(2a-y)2]dx r(2)22+o94-)d 8r2a3-2a3=7r2a3. 例5求心形线P=4(1+cos0)和直线0=0,0=围成 xx+dr 的图形绕极轴旋转所成旋转体的体积. 解将心形线方程P=4(1+cos6)转换为参数方程形式得 x= pcos= 4(1 coso)cose, 图67-8 y= pine= 4(1+ coso)sinB 当θ=0时,P=8体积元素为d=ry2dx,则 xx+dx 丌·16(1+cos0)2sin26·4(-sin6cos0-sinb- sinicus0)d 图67-9 4丌(1+cos8)sin26(1+2cos6)d=160r. 例6(单选题)设f(x),g(x)在区间(ab)上连续,且g(x)<f(x)<m(m为常数), 则曲线y=g(x),y=f(x),x=a,x=b所围成平面图形绕直线y=m旋转一周所形成的 旋转体体积为() (A)T[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dx; (B)T[2m-f(x)-g(x)][f()-g()]dx (c)Lm-f(x)+g(x)][f()-g(r)]dx (D)TLm-f()-g(x)JCf(x)-g(z)]dx. 解求体积元素d dv=[x(m-g(x)2-r(m-f(x))2]dx=[r[2m-f(x)-g(x)]f(x)-g(x)]dx, 故选B 例7在曲线y=x2(x≥0)上某点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形的面 积为1少试求:(1)切点A的坐标;(2)过切点A的切线方程;(3)y 由上述所平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积 解如图67-10所示,设切点A的坐标为(a,a2),则过点A 的切线的斜率为y|x-=2a.过A点的切线方程为y-a 2a(x-a),即y=2x-a注意到,切线与x轴的交点为(2 0).于是曲线y=x,z轴以及切线y=2ax-a2所围成的图形o 的面积为 图67-10
248 高等数学重点难点100讲 Zdr 2 12 依题意知面积S=12,所以a=1,故切点A的坐标为(1,1),过切点(1,1)的切线方程为y= 2x-1.旋转体的体积为 r(x2)4z-x(2x-1)dx=不 例8曲线y=1+x绕x轴旋转一周得到一旋转体,试求此旋转体的体积 解函数的定义域为[0,+∞),且对任意给定的x∈[0,+∞),y≥0,又limy= i1+x2=0,故y=0是曲线的水平渐近线在[0,+∞)内相应于任一小区间[x,x+ z]上的体积元素d=xydx=r·(1+x)=dx,故旋转体体积 U= 丌(1+x2) x 2(1+x2)2 d(1+x2)= 小结(1)求旋转体的体积时,第一要明确形成旋转体的平面图象是由哪些曲线围成 这些曲线的方程是什么,以便根据曲线的方程选择坐标系;第二要明确图形绕哪一条坐标轴 或平行于坐标轴的直线旋转.正确写出定积分的被积表达式及积分的上下限一般地,曲线 y=f(x),f(x)≥0,x=a,x=b所围的曲边梯形绕x轴或平行于x轴的直线旋转时,利用 切片法,即把旋转体看成是由一系列与x轴垂直的图形薄片组成的,以此薄片体积作为体积 元素;曲线y=f(x),f(x)≥0,x=a,x=b所围成的曲边梯形绕y轴或平行于y轴的直 线旋转时,利用柱壳法,即把旋转体看成是由一系列圆柱形薄壳组成,以此柱壳的体积作为 体积元素 (2)求非旋转体的体积的方法是:①适当选取坐标系和变分变量(例如x);②作垂直于 x轴的截面用x的函数A(x)表示截面面积;③计算A(x)dx(a<b),即为区间a,b]上 的立体的体积 二、平面曲线的弧长 1)设曲线弧由直角坐标式y=f(x)(a≤x≤b给出,则s=|√1+f(x)dx; (2)设曲线弧由参数方程式x=x(t),y=y(t)(a≤t≤B)给出,则 √x2(t)+y2()dt; (3)设曲线弧由极坐标式r=(0(≤6≤B)给出,则:==(+( 例9求下列曲线弧段的弧长: (1)半立方抛物线y2=2(x-1)2被抛物线y2=所截得的一段弧; (2)星形线x=acos2t,y=asin3t在第一象限的一段弧长 (3)求心形线r=a(1+c0s0)上从=0到6=r的一段弧长 解(1)如图67-11,由对称性,所求弧长是第一象限弧长的两倍.两曲线交点横坐标x
第67讲定积分应用(2) 249 2对y2=2(x-1)两边关于x求导,得 2yy=5·3(x-1)2,解得y=(x-1 而弧长元素d=ⅵ+(hx=1+x-dx=1+3(x-1)dx 2」 1+(x-1)dx √3x-1dx 3·3【3x-11=5(2 r=a(l+coso) 图67-11 图67-12 图67-13 (2)如图67-12所示由星形线的参数方程x=acos2,y=asn2(0≤1≤2),得 d d i=- 3acos'tsint, d= 3asin'tcost, 而 ds=ld)2+(dyy?dt= V9a'cos'tsin't+ 9a'sin'tcos'tdt =3 Basintcostdt(0≤t≤五), 故 3asintcostdt= 3a[sin2t (3)如图67-13所示弧段极坐标方程为r=a(1+cos0),0≤0≤r弧长元素 ds=√P2+r2d=√a2(1+cos0)2+ a'sin'8d0 a 2(1+cos0)do= 2a cos olde 故 2a lcos 2ld0=2acos od(o)=4a[sin coSu da 例10曲线L的参数方程为 的一段弧长 sin 14 试求在1≤t≌2 da 解弧元素ds=√Gax)2+(dy)2=√q(t)+y()dt ost sIn dt==dt (t>1 故 -dt=[Int]=In
250 高等数学重点难点100讲 例11求曲线y=√ sintdt的弧长 解首先注意到函数y的定义域为[0,丌],故弧长 .Ⅵ+ydz=,+(√anx)x=+sndx sin +cos dx=4. 例12在摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)上求分摆线第一拱成1:3的点的坐 标 解设点M(x0,y)对应于参数to,曲线上相应于t从0变到to-段孤OM的长度 )-.2+y池业-.[a=0+(amm .√20-cmd=2lmnz t,t 4a sin ed 4a 1-cos 2/(0≤ 2丌) 取to=2丌,得摆线第一拱的全长s(2x)=4a(1+1)=8a 设M(x)分摆线的第一拱的弧长为1:3,则OM=2,令()=4(1- 2a,即得 于是 所以 故点 2 2,2a为所求 三、旋转体的侧面积 由光滑曲线y=f(x),f(x)≥0,直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的曲边梯形 绕z轴旋转一周而成的旋转体的侧面积为S=∫2x-2(x)+P(dx 例13设有曲线y=√x-1,过原点作其切线,求由此曲 线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体 的表面积. (1.2) 解设切点为(x,√-1),则过原点的切线方程为y x,再以切点(x0,√x。-1)代人得 2 1 图6714 解得xG=2,y=1,则上述切线方程为y=2x 由曲线y=√x-1(1≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 2ry√1+y2dx √x-11+ dx
第67讲定积分应用(2) 251 √4x-3d 由直线y=x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 s ∫2xd-29+yd =2 y5dx=√5兀 因此,所求旋转体的表面积为S=S+S2=8(115-1) 例14求椭圆+若=1(a>b)绕x轴旋转所得旋转椭球面的面积 解化为参数方程形式x= acost,y= bint(0≤t<2x), 2+y'dt 2sin't+ b2cos'td 面积S=2|2xyds=212 bint√asin+ 6icos'tdt 476 (a2-b2)cos'td( b)urdu a2-b2 丌abe √1-(eu)2+- arcsine 2 42( V1-e2+arcsine=2mb2+2rab arcsine 2xb2+ 2ra26 a2-b2 1a=)