第78讲微分法在几何上的应用 319 第78讲微分湍在几何上的应用 、空间曲线的切线与法平面 设M(x0,y,z)为曲线r上一点,M(x,y,z)为曲线F上与M邻近的点,当M沿着r 趋向于M6时,割线MM的极限位置直线MT就是曲线r在M点的切线通过M点而与 切线垂直的平面称为曲线r在点M处的法平面. (1)曲线r由参数方程x=g(t),y=(t),z=a()给出,在点M(x0,y,z0)处的切 线方程为 y-yo p( y(t0)a/(to)’ 其中{(t0),y(t),a'(t)}是切线的方向向量,称为曲线的切向量,to是对应于曲线上 点M0(xo,yo,z0)的参数值,q(t0),y(to),a(t0)不全为零,若个别为零,则应按直线的对称 式方程的说明来理解.在点M6(x,y,z0)处的法平面方程为 d(lo)( )+y(to)(y-y)+a(t0)(z-z0)=0. (2)曲线C的方程以y=g(x),z=y(x)的形式给出.F在点M(x0,y,z0)处的切线 方程为 在点M0(x0,y,z。)处的法平面方程为 (x-x0)+y(x0)(y-y)+y(x)(x-z0)=0. (3)曲线r的方程以 F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0 的形式给出,该方程组在M0(x0,y0,z。)的某 邻域内确定了一组隐函数y=g(x),z=ψ(x)由隐函数的求导法,得 FF d dxgo d (x)= di=y (x)=fF F. 曲线F在点M(x0,y,z)处的切线方程为 y 曲线在点M6(x,y,z)处的法平面方程为 F FF (x-x0)十 G- G G. G (y-%)+|F,F 之 例1求曲线x=,y=1,x=2在对应于t=1的点处的切线和法平面 解t=1对应的点为M6( 2,4,D,又 x()=(1+t) ,y(t)= ,z'(t)=22
320 高等数学重点难点100讲 故x(1)=4y(1)=-1,2(1)=2.曲线在M(2,2,1)处的切线方程为 14 或 y-Z 法平面方程为(x-1)-(-2)+2(x-1)=0,即2x-8y+16x-1=0. 例2求曲线y2=2mx,x2=m-x在点(x,y,z)处的切线及法平面 解设曲线的参数方程中参数为x,方程两边对x求导,得 y dr 2z dr 1,由此解得d 曲线在点(x0,y,0)处的切向量为t={1,m,一2z0…于是 yo 切线方程为 Lo J yo2-20 7 2zo 法平面方程为 G(y-yo (z-z0)=0 +y2+ 例3求曲线 (a>0)上点M0(xo,y,z)处的切线及法平面 aJ 解法1直接应用切线和法平面的公式, i F(x,y, z)=x2+y2+22-a2,G(x,y, z)=x2+y2-ar, h 2x。, y Mo =4) G 2 于是,曲线在点M。处的切向量 FF F′F 2zo(2To -a),2ayo y G, G'G GG 2{-2y0,zo(2 a),ayo 故曲线在点M。(x0,y,x)处的切线方程为 (2 法平面方程为 2yz0(x-x0)+z(2xo-a)(y-y)+ay(x-z0)=0. 解法2设曲线的参数方程为x=x,y=g(x),z=y(x),x为参数方程组两边分别对 x求导,得 2x+2y2+2 d 0 d y+ 或 2x+2y ax 解方程组,得 dx 于是,曲线在点M处的切向量为{1,2,2}或{-2y,(2,-a)),曲线 在M0的切线和法平面如解法1
第78讲微分法在几何上的应用 321 例4证明螺旋线x= acost,y= aint,z=b上任一点处的切线与z轴的夹角恒为常 数,并写出平行于平面x+y-1=0且切点对应的t值在0≤t≤2x时的切线方程 证曲线上任一点处的切向量为t={- asin, acost,b},z轴上的单位向量为k 0,0,1},由于 cos,K)= b ·Ik-√(-asin)2+(aost)2+b√a2+b2 是与t无关的常数,故曲线上任一点的切线与z轴的夹角是不变的 若曲线上某点的切线平行于平面x+y-1=0,则该点的切向量t - aint, acost,b}应垂直于平面的法向量n={1,1,0},故t·n=0,即 aint 该方程在区间[02x]内的解为t丌r, 当t=x时,t= ,切线方程为 y 2 /2 2 当 t=时,t= b,切线方 2 程为 5b7 x 2 y+ 、曲面的切平面与法线 设Σ是一块空间曲面,M为Σ上一点,曲面∑上通过点M且在M处具有切线的任何曲 线,它们在点M处的切线都在同一平面上,这个平面称为曲面Σ在点M的切平面通过点M 且垂直于切平面的直线称为曲面在点M处的法线. (1)曲面Σ由隐式方程F(x,y,z)=0给出.曲面∑在点M6(x0,y,20)处的法向量为 y0, 0·0 。,yo;x 切平面方程为 (x,y,z0)(x-x0)+F,(x0,y,x。)(y-y)+ z)(x-z0)=0 法线方程为 F",(x (2)曲面Σ由显函数z=f(x,y)给出.曲面∑在点M(x,y,z)处的法向量为 fx(x。,y),f,(x,y) 切平面方程为(x,y)(x-x)+f,(x0,y)(y-y)-(x-x0)=0, 或 f,(ro, yo)(x-xo)+f 法线方程为 若用a,表示曲面的法向量m的方向角,并假定法向量的方向是向上的(即m与z轴正
322 高等数学重点难点100讲 方向所成的角v为锐角),则法向量的方向余弦为 cosa cosB= cosy=-1 √1+f2+2 √1+f2+乃 1十+f 其中∫与∫分别表示f(x0,y,z)和f,(x0,y,z0) 解题提示曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线问题,关键是要抓住确定平面 与直线的两个要素:点与方向,对曲线来说就是要求出所讨论的点与曲线的切线方向;对于 曲面来说所涉及的点必须满足曲面方程,并用偏导求出切平面的法向量 例5求曲面ax2+by2+cz2=1在点(x0,y,z)处的切平面及法线方程 解法1令F(x,y,z)=ax2+by2+cx2-1,则 n=(FI, F, Fr3=(2aI, 2by, 2cz)=2(ax, by, cz 1 在点(x0,y,x0)处,曲面的法向量为{axo,by,czo},故曲面在点(x0,y,2)处的切平面方程 为 aIo(x-xo)+ byo(y-yo)+ cao(z-20)=0, 即 atoI boy coz =ax2+ byo+ C2o=1 法线方程为 a.e b 解法2方程ax2+by2+cz2=1确定了隐函数z=z(x,y),曲面的法向量 azaz ar ay ,现求与 方程两边分别对x,y求偏导得x+2k-0,2by+:=0, ar az 由此解得 r a by 在点(x,y,z。)处,曲面的法向量n= axo,-y°,-1},故切平面方程为 C2o b (y-y)-( )=0 即 aror+boy +coz =ax0+ byo t czo=1 法线方程为 y一y 即 e=y-y=2=2o b 例6在曲面x2-xy-8x+z+5=0上求切平面平行于平面x+2y-z+10= 0的点,并写出该点处的切平面和法线方程 解设F(x,y,z)=x2-xy-8x+z+5,并设M(x0,y0,z)是所求的点,则 F(x,yz0)=2x-y-8, F,(To, yo, zo) F"(x0,yo,z0)=1 点M处的法向量n={2x0-y-8,-x0,1},又平面x+2y-z+10=0的法向 量n1={1,2,-1},由于过M点的切平面与该平面平行,得n∥m1,即有 2ax 8 由此解得x。=2,y=-3,代入曲面方程,得x=1,故所求的点为(2,-3,1)曲面在该点
第78讲微分法在几何上的应用 323 处的切平面方程为 (x-2)+2(y+3)-(z-1)=0 x+2y-z+5=0 法线方程为 x-2y+3z-1 举例 例7设∫的一阶偏导数都连续且不同时为零,证明:曲面f(ax-bz,ay-cz)=0(a2 +b2+c2≠0)上任意一点处的切平面都与直线方==平行 证欲证平面丌∥直线L,只要证明平面x的法向量n⊥直线L的方向向量s,即 s=0即可 设F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-c2),则曲面在其上点(x,y,z)处的切平面的法向量为 n=F,, FI,, F)=Yaf' 直线=2=2的方向向量为s={b,c,a},因为n·s={af1,af2,-b1-cf2} {b,c,a}=abf1+acf2+a(-bf1-cf2)=0,所以曲面f(ax-bx,ay-cz)=0上任 点处的切平面都与直线b=2=a平行 例8(单选题)在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中,与平面x:x+2y+z 平行的切线() (A)只有1条;(B)只有2条;C)至少有3条;(D)不存在 解直线L∥平面π台直线L的方向向量⊥平面丌的法向量 n÷→s·n=0. 由于曲线在参数t=t0所对应的点M0(x(t),y(t0),z(t))处的切线的方向向量为 s={x(),y(),x()}-={1,-2t,32)1-={1,-2,36 平面x+2y+z=4的法向量n=(1,2,1} 解方程n·s=0,即{1,2,1}·{1,-2t0,33}=0,或(3t-1)(to-1)=0,解得 1 1对应M1 1=3,-927)h=1对应M=(,-1,1),可见曲线只在M1与 M2两点处的切线与平面平行,故选B
