第83讲重积分的计算法(3) 351 第83讲重积分的计算法(3) 、重积分换元法的一殷情形 为了提高计算效率就必须使计算得以简化而化简计算的最重要的方法就是变量替 换.变量替换法在高等数学中应用十分广泛,几乎每章都有应用,下面讨论重积分的一般换 元公式 令x=x(u,v),y=y(u,U),雅可比行列式 a(r, y) au a a(u ≠0 且把xOy平面上的有限闭区域D一一映射成tOv平面上的区域D,则: I/(r, y)drdy=lfCr(,D,y(u,vJIJIdudv 特别,当x=7os,y=7i0时,则Jr,)= cose riNd r,于是由 sing coso 般公式得将直角坐标化为极坐标的二重积分的换元公式 (r, y)dxdy=f(rcose rsin@)rdrde. 例1求I=ab x-若ddy,D:+≤ 解采用广义极坐标,令x= arcos0,y= brsin,则 acos =ab,D':0≤r≤1,0≤6≤2r, sing brose I=[ab√- redd D ab d8 2 丌ab. 例2计算I=‖(x+y)dxdy,D由x2+y2=x+y成 解D:(x-2)2+(y-1 )2≤(-)2,见图83-1 2= rose, +rcos日, 令 即 雅可比行列式 2=sine rsIn ..I=de.(+rcos8+9+ sine)rdr 图83-1
352 高等数学重点难点100讲 deG +b(cos0+ sing) 2+s(cos+ sing) 0 2 例3计算由直线y=ax,y=bx,x+y=c,x+y=d(0<a<b,0<c<d所 围区域的面积S. 解见图83-2,若用直角坐标求解由于A与B点横坐标的大小难确定,故极繁 令 即 I+ y 1+ arar au av (1+a)21+ +)21+ 图83-2 (1+a)(1+u)3(1+a)2 c≤v≤d,a≤u≤b为一矩形 s=|dzdy=‖ IJ dudu=Jwe +u) d (d2-c2)(b-a) +b=2(1+a)(1+b) 例4求I D由x=0,y=0及 =2围成 解令 x,则 故D由 2图成 做变换 将xOy面上的直线x=0,y=0及x+y=2变成aO面 上的直线v=,v=-u及v=2,将xOy面上的域D变成uOv面上的域D y=0 I 图83-3 a aU
第83讲重积分的计算法(3) 353 udv esdu 例5计算I= drdy(m>0) +y2) x2+y2 解这是一个广义二重积分,坐标原点(0,0)是被积函数f(x,y) (x2+y)的无穷 问断点 首先任取E:0<e<1在圆环域∈2≤x2+y2≤12上进行(普通)二重积分 I(E) ∫c*y=,二=2,=2n 然后,令E→0+,得 lim 2 0<m<1 2n r={lim2an|!=+∞, lim 2T 2m 与二重积分类似,三重积分也有如下的一般换元公式: 令 r(u y(a,v,v),z=x(u,v,w),则川f(x,y,z) dxd yde= f[x(a,U,),y(a,,),z(a,v,v)]·| J duded.或中为Ovz空间的区域,经过变 换x=x(,U,v)y=y(a,u,x),z=z(u,v,w)一一映成Oxyx空间的区域a, arar a(,y, 2) a(u aU ae az 利用柱坐标计算三重积分的变换公式为: x=rcos,y=rsin,z=x,雅可比行列式J=(x,y,z) a(r,0,z) 利用球坐标计算三重积分的变换公式为:x= rsingcos6,y= rsingsin0,z= rose.雅可 比行列式为J=0(x,y,z)=r2sing a(r,y,6) 广义球坐标变换为:x= arcos6sing,y= brsinBsino,z= croos雅可比行列式为 ar ar ar ar ap ao acos0sin arcos8cos -arsinOsin dy ay dy ar ap a0 bsinesin brained 女a女 ccosφ casing ar ap a9 例6求(++2) drdy,为椭球体:+2+5≤1
354 高等数学重点难点100讲 解由曲面方程可见,用广义球坐标方便, 原式= abc lr2.r2· sinddrdoo0,my10≤6≤2x,0≤甲≤丌,0≤r≤1 原式=ab. do singal,/dr=5b 例7计算由平面a1x+by+c1z=±h1,a2x+b2y+c2z=士h2,a3x+b3y+cz=士 h所围成的平行六面体的体积V,其中 b1 b2c2|≠0 h1,h2;h3>0 +6,y+ 解为求体积v,引入变量代换{v=a:x+by+c2z, 十b3y+c3z 在此变换下,Oxyz空间的区域变为O空间的区域:-h1≤u≤h1,-h2≤v ≤h2,-h3≤w≤h3,又雅可比行列式的绝对值 a(T,y, 2) a(u, U, w a(u, U,w) a(r, y, 2) 于是Y-]a减:=w小门=合 、利用重积分解决定积分的有关问题 在计算重积分时,我们通常的处理方法是把重积分化成定积分,然后从里层到外层依次 实行定积分计算;反过来,利用重积分也可以解决定积分问题. 例8求广义积分I= 解被积函数e-的原函数是不能用初等函数形式给出的,而利用二重积分此问题很 易得到解决因为积分与积分变量记法无关可将原积分中的换为y得=,"dy d e(-ra-,drdy= del e- rar E 例9(1)设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,试证明: ∫/(a)dx:rxd≥ (2)设f(x)在[0,1]上连续,试证edx·edy≥1. 证(1)设D:a≤x≤b,a≤y≤b 由于|f(x)dx f(r)dr fc
第83讲重积分的计算法(3) 355 SA(dr. 5 f(xdx=f(y)dy·」.j)≈ fray, 所以减订+倍 尸(x)+f(y)dxdy≥2(x)d=(b-a) 1丌T2f(x)f(y) (r)f(y) 2)略(证明类似于(1),由读者完成) 应用例9的证明方法,可以证明著名的 Cauchy- Schwarz不等式和 Tchebycheff不等 式 例10设f(x)与g(x)都是[a,b上的连续函数,试证 Cauchy- Schwarz不等式 f(x)g(x)dx≤|f(x)dx·g2(x)dx 证考察积分B=「[f(x)g(y)-f(y)g(x)]dxdy,其中D;a≤x≤b,a≤y≤b B=[R(x)g2(y)-2f(r)g(z).f()g(y)+f2(y)g2(x)]drdy I f(r)dx.g(y)dy-2 f(r)g(r)dr. f(y)g(y)dy+f(y)dy. g(r)dr, 由积分与积分变量记法的无关性知 Ig(r)dx f(r)g(r)dr 注意到B≥0,于是有f(x)(x)dx≤f(x)dx·g(x)dx 例11利用上题证明: (1) rindr :(2) f(r)sinkrdr)+l f(r)coskrd c sb- a,其中f(x)在a,b]上连续,且f(x)dx=1. 证(1)2√ rsinrdx≤|2xd sindi (2)由 f(r)sinkrdx 户(x)dx·sin3krdx, fCr)coskrdx f2(x)dx·cos2krdx 上两式相加并注意到sin2kx+ cos'kx=1,便得证 例12(1)证明 Tchebycheff不等式 P(r)f(rdr.P(r)g(r)dr0,试证 rf(r)dxf(r)dr ≤ r(r)dr f(r)dx
356 高等数学重点难点100讲 证(1)考虑差 A= P()f(x)g(x)dx| p(x)dx- p(x)f(x)dx.P(x)g(x)dr 在两个项的第二个因子中将积分变量x换成y,则 P(x)f(r)g(r)dr P(y)dy- p(x)f(r)dx.p(y)g(y)d b Lp(x)f(r)g(r)P(y)-p(x)f(r)p(y)g(y)]dxdy P(r)P(y)f(r)g(r)-g(y)]drdy. 同样地,在原差式两个项的第一个因子中将x换成y,则 P(x)P(y)f(y)[g(y)-g(r)] d. a 将所得二式相加得=()(9)[()-f09)E(x)-g9y]ddy 因为p(x)是[a,b]上的正值函数,f(x)与g(x)均为[ab]上的单调增加函数所以上式中 被积函数为非负,因而△≥0,这就证明了所给的积分不等式 在本题中,如果f(x)与g(x)都是[ab]上的单调减函数,则所证不等式仍成立;如果f(x) 与g(x)一个单调增而另一个单调减,则所论不等式反向成立 (2)略(证明类似于(1),由读者完成) 从以上各例题可以看到对于两个定积分乘积或可以化为两个定积分乘积的命题,可考虑化 为重积分处理 三、三重积分的定跟问题 在三重积分的计算中,一般采用画出积分区域』的图形的方法来确定三次积分的积分限即 所谓画图定限法.当题设立体区域a是由曲面S1,2,…,S所围成时,在画出了21,E2,… 之后,它们可能在空间里围成几块封闭区域究竞哪一块是本题的积分区域呢?“1,2,…,每 一张曲面共同参与的那块区域,即为所求的积分区域” 例13已知I=‖d由平面x=1,x=2,y=x,x=0,2=y围成.试画出的 草图,并计算积分 解由五张平面围成如图所示,虽然其中的四张x=1,y 0,2 或x=2,y=x,z=0,2 也分别围成封闭区 域,但这两个区域不是要求的区域2,因为平面x=2或x=1没有 参与 设』在xOy面上的投影区域为D,则 drl dyI 'zd 8 dx yd 24 rdx 图83 在画出a的图形、确定积分限时何时采用“先重后单法”?何时 采用“先单后重法”?这与二重积分一样化成三次积分应使内层积分的原函数能够较易求出和区 域分块最少以下举例说明.由于坐标系中x,y,z本质上处于同等地位,因此,只举其中一种情 形,而另外两种,请读者自行做出,设
第83讲重积分的计算法(3) 357 f(,y, z)dv (831) 若用垂直于z轴的平面去截(831)式中的区域截痕的边界曲线L的方程设为 F(x,y,h)=0 (83.2) 当方程832)中的F(x,y,h)=0,无论h为何值只要z=h能与相截所得的F(x,y,h) 0都为同一个分析表达式,采用先重(先对x,y)后单(后对z积分)法求解 侧H4求如++5三≤1,一≤≤ 解z=h(-5≤h≤分截2得截痕边界曲线:L:{a 故I a2dxdy.其中D:+≤1-二为椭圆盘其长短半轴分别为 √1-号1-三(-号≤x≤号D的面积为 Ⅰ=|2z2·ab(1-2)dz=2nab(x2-2)d 17 240 abc (2)设(1)式中在xOy平面上投影为D,若通过D的内点与x轴平行的任何直线与a只 有两个交点:(x,y,z1(x,y))与(x,y,z2(x,y)),z1(x,y)≤x2(x,y),且对任意的(x,y)∈D, z1(x,y)与z2(x,y)的表达式的形式都不改变.也就是说,的上顶曲面与下顶曲面都不是分片 函数(注意到:例2中的』不满足此条件),这时,用先单(先对z积分)后重(后对x,y积分)的方 法 例15化r=「fx,y)为累次积分,是曲面2-==x+y,与:=x+y( ≥0)所围成的立体 解2-z=x2+y2是顶点在(0,0,2)、开口向下的旋转抛物面.z2=x2+y2(x≥0)即 z=√x2+y2是圆锥面在xOy面上方的那一半 求Dxy:由 得2 x2+ 解得x=1,2=-2(含去代人曲面方程得交线Lx=11,移反嫩Dn为x +y2≤1 在D,内恒有x(x,y)=√x+y2
358 高等数学重点难点100讲 0)及平面z=0图成 解x=2与z=0中含z,是D的“顶”,x2+y2=ax不含z,y 在xy面上形成封闭曲线,围成区域为Dy:x2+y2=ax,即(x D 2+y4 曲面z=型与平面z=0的交线为 x=0,即x 得 =0或y=0,交线x=0分投影圆域Dx,为两部分:D1与D2 图83- 在D1内,由 >0知z y 16 z1(xy)为上顶 a(g 0=z2(x,y)为下顶; 在D2内,由 a|÷-一160知,x=型=z1(x,y)为下顶,x=0=x2(x,y为上 顶 所以Ⅰ= dxdyl'f(x,y,z)dz+ dady, f(x,y,z)d D, 小结若在投影区域D内两顶曲面相交交线L在xOy面上的投影L若在D内.设L 分D为两部分D1,D2,这时,需分别在D1和D2内确定“上顶与下 项下,然后按!一[+进行计算,确定上下顶的方法,一般是在 D D,或D2内任取一点(x0,y),比较x1(x0,y)和≈:(x,y0)的大小 大的为上顶,小的为下顶 对有些三重积分,要画出其a的图形有较大的难度(如例16) 下面介绍一种“观察、试算定限法”此法对于计算由多个曲面围成 的区域上的三重积分比较方便特别当』的边界曲面上恰有两个 图 83-7 曲面的方程含有x,y,z中的一个变量时,计算定限更方便 例17空间区域由曲面:x=1,x=1,x=0,=2,y=0及y=x2所围成求D的 体积v. 解第一步:观察定型据观察,的边界曲面方程恰有两个方程含y,故选取含y的两个方 程:y=0,y=x2作为定型方程,y叫定型变量 第二步:作平面区域在y=0的坐标面上依据其余边界方程:x x=0,z=2 作平面区域D的图形如图83-8 第三步:试算比较对任意的(x,x)∈D4,比较y=0,y=x2的大小此处显然有y(x,x) =0<z2=y2(x,x),(z,x)∈D4y1=0作下顶,y2=x2作上顶,所以 y dzl'dx d 另解:选x为定型变量,此时定型方程为x=0,x≈1,作由y=0,y=x2,x=1,=2围 成的平面区域Dx如图83-9
第83讲盒积分的计算法(3) 359 定顶显然x1=x1(y,x)=0为下顶,x1=x2(y,x)=为上顶积分得 v=‖ d ydz ' d 3 D 图83-8 图83-9