第74讲多元函数的概念极限与连续性 287 第74讲多元函数的概念、极服与连续性 前面讨论的函数都是只有一个自变量的函数,即一元函数现在我们开始研究依赖于两 个或更多个自变量的函数,即多元函数主要讨论二元函数,三元以上的函数完全类似 、多元函数的基本概念 1.二元函数的定义 设D是一个平面点集,如果对于每个点P(x,y)∈D,按照某一法则,变量z都有确定的 值和它对应,则称z是变量x,y的二元函数(或点P的函数),记为z=f(x,y)(或z= f(P).点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量数集{z|z=f(x,y), (x,y)∈D}称为该函数的值域 类似地可以定义三元函数a=f(x,y,z)以及三元以上的函数,一般地把定义中的平 面点集D换成n维空间内的点集D,则可类似地定义n元函数u=f(x1,x2,…,x,)(或u= f(P),P(x1,x2…,xn)∈D). 当n=1时,=f(P)即是一元函数当n≥2时,n元函数统称为多元函数 和一元函数一样,二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关,而与用什么字 母表示自变量与因变量无关 例1设 y2,求f(x,y) 解令=x+y,=2,由此得x=14vy=1,则 f(u,v) v 1+x,故f(x,y)=2(1 (y≠-1) 定义域 定的点集称为这个函数的定义域例如函数x=ln(y2-2x5()k*x2x-1} 3.几何意义 设函数x=f(x,y)的定义域为D,对于任意取定的点P(x, y)∈D,对应的函数值为z=f(x,y),于是,M(x,y,z)为空间一 个确定的点,当(xy)遍取D上的一切点时,即得到一个空间点 P(v)D 集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D},它通常表示空间中一张 图74-1 曲面S,曲面S称为二元函数z=f(x,y)的图形 注意我们今后只讨论单值函数,对于多值函数,可以找出它的单值分支,然后加以讨 论 例2求下列函数的定义域,并画出其图形 (1) (2)z= √y; (3)z=ln(y-x)+ (4)x= arcsin -2+hn1-√y) 解求多元函数的定义域也和一元函数一样,先写出构成部分的各简单函数的定义 域,再解联立不等式组即得所求定义域 (1)对偶次根式必须满足x+y≥0与x-y≥0,又分母不能为零故x+y≠0,x
288 高等数学重点难点100讲 y≠0.所以—1 的定义域Dr:x+y>0 的定义域Dr:x-y>0,从而z的 x+ y 定义域D1={(x,y)|x+y>0,x-y>0},如图74-2 (2)D2={(x,y)|x≥0,y≥0,x2≥y},如图74-3 (3)D3={(x,y)y-x>0,x≥0,x2+y20,且y≥0},当x≥0时,y2≥x,且 00 图74-2 图74-3 图74-4 图74-5 例3画出下列函数的图形 (1)z=1-x-y;(2)z=x2+y2;(3)z=√1-(x2+y2) 解(1)图形为一平面,在三坐标轴上的截距均为1,定义域为整个xOy面,如图74-6 (2)图形是一个开口向上的旋转抛物面,定义域为xOy平面,如图74-7 (3)由方程变形得x2+y2+z2=1,这是一个以O(0,0,0)为中心,半径为1的球面,由 方程知,z≥0故为上半球面定义域为x2+y2≤1,即单位圆内部及其边界,如图74-8 二元函数的极跟 设函数z=f(x,y)在P(x,y)的某一邻域内有定义(在P点可以没有定义),若动点 P(xy)沿任意路径趋向于定点P(x0y)(即|PP=√(x-x2)2+(y-y)2→0)时, 函数值∫(x,y)都趋近于一个确定数A,则称A为函数∫(x,y)当P→P0(即x→x。,y→y) 时的极限,记作lmf(x,y)=A或lmf(x,y)=A,也可记作f(x,y)→A (P=|PP。|→0) 为了与一元函数的极限区别,把二元函数的极限称为二重极限
第74讲多元函数的概念、极限与连续性 289 图74-6 图74-7 图74-8 从二元函数极限的定义可以看出,二元函数的极限要比一元函数的极限复杂得多.对于 元函数y=f(x),若x从右侧趋近于x与x从左侧趋近于x时的极限都存在且相等,则 imf(x)存在,其逆也真,但对于二元函数z=f(x,y),极限linf(x,y)=A,是指点P(x y)以任意方式趋近于P(x,y)时,函数值都无限接近于常数A.因此,若P(x,y)以某些特 殊方式,例如沿一条或几条直线或曲线趋近于P0(x,y)时,函数f(x,y)都无限接近于某 一确定值,仍不能断定函数的极限存在,但是,当P(x,y)沿两条不同路径趋近于P(x0,y) 时,函数值趋近于不同的数值,则可断定函数在P0(x0,y)点的极限不存在 例4用“e一δ”定义证明im 证令x=Cs6,y=i,其中P=√(x-0)+(y-0)=√xx+y2,从而 0= lpcosBsin8| = plcos8sin8 0,要使 0<e,只要P<e,取8=c,则当0<0= 0)2+(y-0)2<♂时, y x2+y2 0<e,所以im-xy x0√x2+y2 、多元函数的连续性 1.连续性的定义 设函数f(x,y)在区域D内有定义,P(xo,y0)是D的内点或边界点,且P。∈D.如果 limf(x,y)=f(x0,y),则称函数f(x,y)在点P(xy)连续 如果f(x,y)在区域D内每一点都连续,则称函数f(x,y)在D内连续,或称f(x,y)是 D内的连续函数 注意与一元函数类似,二元函数∫(x,y)在点P(x,y)连续的定义,仍然包含三个 条件:①f(x,y)在P(x0,y0)点有定义;②极限limf(x,y)存在;③极限值等于f(x,y)在 P0(x0,y)点的函数值,三者缺一不可 以上二元函数连续性概念,可相应地推广到n元函数 2.间断点 若函数∫(x,y)在P0(x,y)点不连续则P(x,y)称为函数f(xy)的间断点 若在区域D内的某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数f(x,y)没有定义但在D内 其余部分,f(x,y)都有定义,则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数∫(x,y)的间断点
290 高等数学重点难点100讲 例如函数(x,)-{=+y,+y≠0当x0,-0时的极限不存在,故 (0,0)是该函数的一个间断点.又函数x=y+2在抛物线y2=2x上无定义,所以抛物 线上的点都是该函数的间断点可见,二元函数的间断点可以形成一条曲线 3.多元初等函数 多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合所得的函数仍是连续函数由多元 多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的函数叫做多元初等函 数,即可以用一个式子表示的多元函数称为多元初等函数.一切 多元初等函数在其定义区域内是连续的 若P0(x,y)是二元初等函数∫(x,y)定义区域内的点,则 imf(x,y)=f(x,y),即求二元初等函数f(x,y)在其定义区 yao 域内的点P(x,y)处的极限,只需把P(x,y)的坐标值代人 f(x,y)即可 例5求函数f(x,y)= 4r- In(1 的定义域,并求 图74-9 limf(x, y) 解当4x-y2≥0,1-x2-y2>0且1-x2-y2≠1时,函数才有定义,解此方 程组,得D={(x,y)|y2≤4x,0<x2+y2<1},如图74-9.由于(,0)是f(x,y)定义域 D的内点,所以,f(x,y)在(,0)处连续,故 4 0 imf(x,y)=f(,0)= n(1-1-0)1n3 四、多元函数求极限方法小结 在一元函数的极限limf(x)与二元函数的极限limf(x,y)中,动点趋向于定点的方式 yAo 虽然都是任意的,但前者由于动点x和定点x0都是x轴上的点,所以点x趋向x0的方式只 有三种:左趋向(x→x),右趋向(x→x)和左右跳动趋向;后者由于动点(x,y)是平面上 的点,所以点(x,y)趋向于定点(x0,y)的方式有无穷多种.因而,当动点M(x,y)以特定的 方式趋近于定点M6(x,y)时,f(x,y)能趋近于一个确定的常数A,还不能说M(x,y)→ M(x。,y)时,f(x,y)的极限是A.正由于此,在一元函数条件下推导出来的结论未必适合 于二元函数.如,当二元函数的极限遇到不定式时,不能使用罗比塔法则,这是因为多元函数 的导数是偏导数,它对各个自变量是单独而言的,而二重极限imf(x,y)中x→x是同时进 行的.下面,我们举例讨论求lmf(x,y)的常用方法 1·利用函数的连缤性(见本讲例5) 2.利用两边夹法则
第74讲多元函数的概念、极限与连续性 291 在多元极限运算中常用到一元函数中的两边夹法则即f(x,y)≤g(x,y)≤h(x,y), 若lmf(x,y)=limh(x,y)=A,那么lmg(x,y)=A. Yo 例6求lm 解因21以y≤x2+y2,故x2+y2/s 而l1-=0从而四Fy|=0于是四Fy=0 例7求lin +oo 解因x>0,y>0,2xy≤x2+y2,故0≤ 1 又因为lim ( =0,所以imn(xy 3.利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质 一般是将函数分成两部分的乘积,使其一部分为有界函数,另一部分为无穷小 例8求lm +Ity 解∵当x>0,y>0时,0<<1,lm√xy=0 故 ry x 例9求im(x+y) )sin -cos 解因|=1911m+y)-m+1my=,所以原式0 4.利用分子或分母有理化 对于含有根式的分式函数,一般采用先将分子或分母有理化的方法 例10求 lim yy+1-1 解原式=m(x+y√xy+1+1 -0×2=0(这里利用了例8的结果 5通过适当的变量代换,化成一元函数的极限 有些二元函数极限可以转换成一元函数极限问题,例如∫(x,y)=g[g(x,y)]、可把 g(x,y)=t,则f(x,y)=g(t),用一元函数极限来讨论g(t) 例11求lm s A-ok tan 解因 sinay tan(x an(x +
292 高等数学重点难点100讲 lim sindy◆x lim sIr te0 N-o+ tan(r ty= lin lim A-o+ tant l,lim r+y 0(见例8) 所以,原式=1×1×0=0. 例12求im(+1)(a≠0). 解a+2-[+2m(+y=m+1y- lim gx t y lim lim )y1+yy产1+y ∴原式=e 6.利用极坐标(参看本讲例4) 例13下面求极限的方法是否正确,为什么? 因为m2y=lim0y=0,且lmxy=limx·0=0,所以im-xy 解上述解法是不对的,解题过程说明未能正确理解极限定义中的“动点(x,y)→(0, 0)是指(x,y)沿任何路径任何方式趋向于(0,0)”的含义,事实上,当(x,y)沿直线y=x趋 于(0,0)时,函数在(,0)点的任一邻域内无意义,故mxy不存在,原极限亦不存 在 注意极限limf(x,y)存在的必要条件是f(x,y)在(x,y)的某去心邻域内有定义 例14求 lim limf(x,y), lim limf(x,y),limf(x,y),其中f(x,y)= r-y+x2+ y2 解对于任意固定的x≠0,有lmf(x,y=1imx=y+x2+x2=x+x2=1+x, y 所以, lim limf(x,y)=lim(1+x)=1. 对于任意固定的y≠0,有lmf(x,y)=lmx=y+x2+y==+y2=-1+y, 0 所以, lim limf(x,y)=lim(-1+y)=-1 由于当动点(x,y)沿直线y=-x趋向于(0,0)时,原式无意义,故lmf(x,y)不存在 注意limf(x,y)称为二重极限(或全面极限),这里的x,y是独立地同时变化; im(limf(x,y)及lm(limf(x,y)称为二次极限或累次极限)这里的x→x,y→y是 - o yao 有先后次序的,二者是不同的,二次极限实质上是一元函数的极限.该例题说明两点:①在 求二次极限的过程中,对哪一个变量先求极限而对另一个变量后求极限这一先后次序非常 重要,必须在一定的条件下才能把两个极限运算的次序进行交换(得到的结果相等);②两 个二次极限存在,二重极限不一定存在
第74讲多元函数的概念极限与连续性 29 93 另一方面可以举例说明:二重极限存在,二次极限也不一定存在.例如, ,y EsIn 因为|(x,y)=|znk≤x1,所以m(x,y)=0 但在lm| limonin]中,对于任意固定的x≠0,由于 limousin不存在,故 lim limrsin 1也不存在,可以证明:当f(x,y)在点(x,y0)处连续时,二重极限与二次极限(两个)均存 在且相等, ap limf(r, y)=lim limf(r, y)= lim limf(r, y). yo o y 例15求证回mxy不存在 证当动点(x,y)沿直线y=0即x轴趋于(0,0)时,m2=1imx0=0; 当动点(x,y)沿抛物线y=x2趋于点(0,0)时, lim -y,=lim x2)2=2 由此知,当点(x,y)以不同方式趋于点(0,0)时,极限值不相等,所以原极限不存在 由此可知证明二量极限不存在的方法是:只要找到有一种方式极限不存在,或有两种方 式极限虽存在但不相等,就可以肯定原极限不存在
