174 高等数学盒点难点100讲 第54讲不定积分一题多解 有人认为只要能将(x)d积分就行,又何必要考虑那么多呢? 数学是思维的体操”.通过多角度,全方位的观察问题,分析问题,可以使我们的思维更 加敏獎,解决问题的方法更加灵活.从而使我们从众多方法中找到最简便的方法,而选用最 简便的方法解题的过程,正是创造性思维得到训练的过程 例1求 d / m secr 解法1原式 sect·tanr dr =t +C=arccos +( sect·tnnt x2-1 解法2原式 t(1 +r)arctan+C= arctan vr-1+C tdt 解法3原式 Idr=- arcsin +C=-aresin I +( d(-) 解法4原式= d、x arcsin -+( 例2求 1 解法1分子加e减e,得 原式= ∫1+rcdr=j r-「1dr=x-「 ln(1+e‘)+C 解法2分子、分母同乘以e,得 原式= d(1+e) -In(1+e)+( 1 1+e 解法3分子、分母同乘以e,得 原式= e der [d(l +er Ine'-In(1+e)+O e(1+e) 1 (1+e)+C. 解法4设e=t,则x=lnr,dr≈dr 原式= 1+t I t)dr=lnt-In(1 +r)+C=r-In(I +e)+( 解法5设1+e=t,则x=ln(-1),dx= 原式=」a~/1_1)d=m-1)-m+c=x-hmt+e)+ dt 例3求 rtanrsec3dx 解法1从被积表达式中分离出 secada凑成 dean.x,再分别积分 原式= rtanrd (tanr)=|ad(tan2x)=tan3x tan'rd x
第54讲不定积分一题多解 175 xtan2'x-t(sec'r-1)dx =oxtan'x 2tanx +x+C =tr(tanx+1)-stanr+c (xsec'x - tanx)+c 解法2从被积表达式中分离出secx· tandy凑成 secr,再分部积分. 原式=」ed(ex)=xd(2r)=2xse-2edx csec tanx +c (xsec2x - tanx)+C 解法3被积函数先恒等变形再分别积分 原式一(=m2(-x)-∫ cosr COS 2r -dx =rsecx-ttanx+C 2(rsec'I- tanr)+C. 例4求 √+ 解法1用凑微分法 原式= d√x=2ln(√x+√1+x)+C 1+(√x)2 ln(√x+√1+x)2+C1=ln(x+2√x+x2+1+x)+C1 +√x+x2)+C(C=C1+ln2 解法2用变量替换,令x=t2,则dx=2tdt, 原式= dt=2n(t+√1+t2)+C1=2n(√x+√1+x)+C √1+t In(x+i+r+x)+C(C=C,+In2) 解法3用变量替换法,令√1+x=t,则x=t2-1,dx=2tdt, 原式-m21.出=2=1=2m(+=+c 2n(√1+x+√x)+C1=ln(x+1+√x+x2)+C(c=C1+1n2) 解法4分母配方,得 原式= dx r2+x =1ln(x+1+√x+x2)+C (x+2)2-() 例5求I= sinr +3 COST 解法1被积函数的特点是:分子、分母及分母的导数都是形如 Asin+ Bcos x的函数 因此,设分子4snx+3cosx=A(2sinx-cosx)+B(2sinx-cosx),即4sinx+3osx= (2A+ B)sinz+(2B-A)cosx 比较两端同类项的系数,得 2A+B=4 A=1 2B-A=3 解得 B=2. 于是I=「2sinx=0sx)+2(2inx=cox)dx= d(2sin.x -cosx) sinr coST jar+2 g sinr -cost
176 高等数学重点难点100讲 x 2ln 2sin - cosx +C. 8 解法2用万能代换令tan=,则原式=-6 +1)(2+4-1dt,接着用有 理函数的积分法求解,留给读者完成 解法3令I sinx In C dx, I2 3 dx,则I=I1+I z与h:分别乘以常数2,-3,使它们的代数和成为一个被积函数为1的积分,即有 12=ldx=x+C1 h与2分别乘以常数4,3,使它们的代数和成为一个被积函数的分子是分母的导数的 积分,即有 I1+2l2 d(2sinr-cosx)= In 2sinx -cosx +C2: 2sin -cosr 从而有 r=h1+l=(2h1-3)+2(41+312)=x+2n2sinx-cosx|+C (C=C1+2C2为任意常数) 例6求积分I= dx x(1-x) d 解法1原式= =arcsin x+c(00)从而得 原式=21+2=2ctan+C=2 arctan v +C 解法4用特殊的换元法,令x=sin2(0<t<),则1-x=cos2t 原式=2dt=2t+C=2 arcsin√x+C 注意三个原函数之间必有如下联系:2ri√x=2rany1x+C arcsin(2x-1)+C2令x=2,可确定C1=0,C2=2,从而得到反三角函数恒等式: Arcsin Arctan arcsin (2 x-1)+a 例7求 1) 解法1原式= dx d( m(+x=-101+ n1+-5+C
第54讲不定积分一题多解 177 解法2原式==#+订=8#部+C 例8求1+x d 解法1原式一∫++1-2+4yx ∫c+xe+)dx=(xe+) + c 解法2设(1+x-+=+C,其中%)待定 两边求导得(1+x-1+=9Ga)+以1-“ 即有 1+x y(x)+g(x)1 或 1+x1-=y(x)+g(x)1- 比较两边知:g(x)=x,所以原积分=xe+h+C. 例9求 (arcsinx)dx 解法1原积分=z(rinx)2-x·2 arcsinx.-1dx arcsinx)'+2arcsinad(Vi-r) r(arcsin)2+2v1-x2arcsinx /-x2 x(arcsinx)2+2V1-xarcsinx -2x+C 解法2直接令 arcsin=t,得 RR ==t2d(sint)=t2sint-2tsintdt=t'sint +2 td(cost) t'sint + 2tcost costdt t'sint 2tcost-2sint + C r(arcsinx)2+2V1-xarcsinr -2x+C 注含有反三角函数的积分可以考虑直接令反三角函数为新变量求解 例10计算=∫ √1+e2+√1-e 解法1r。1 √1+e-√1-e)edx √1+e dr 2 1 1+e+√1-e +er= 而 √1+e2 d[lhn(t2-1)]= 1+ t +C=l √1+e2+1 √-c dx x-2ln(√1-e2+1)+C
178 高等数学重点难点100讲 所以I= √①+e+√ +2x-2叫(1+c+1)(小1-e+1)+C 解法2直楼令小++小1=-4则x=(-共) dt t +c n+e+y1--2|+c +ef+ 1+e+√1-e+2 注意被积函数中有多个根式时,有两个处理方法:①通过变量代换同时消去根式;② 通过代数方法使不同的根式分处不同的积分中,然后逐个计算 例11计算Ⅰ=[hn(x+√1+x)]dx 解法1作变换ln(x+Ⅵ1+x2)=t,即Ⅵ1+x2+x=e,则√1+x2 从而 e t2(e'-e-)-t(e'-e-)da 2(e-e-)-d(e+e-) 1r(e-e-)-t(e+e-")+[(e+e-)dt =bt(e-e-)-t(e+e-)+(e-e-)+C x[n(x+Ⅵ+x)]-2√+xn(x+1+x)+2z+C 解法2用分部积分法. =za(x+Ⅵ+2)y-2(x+Ⅵ+2)m+=d n(x+Ⅵ+2]-j(x++(21+习 n(xⅥ+2)]-2Ⅵ+叫(x+Ⅵ+x)+」2+x dr 1+ [(x++x]-2Ⅵ1+ln(x+1+x2)+2x+C 注意对形如[f(x)]d且f(x)不便于分拆的积分如 (arcsine)dx,(nx)dx [nx+√a+x]ox等通常有两种积分方法:①直接作变换令f(x)=t;②分部积分法 选=[f(x)]",U=x. 例12求I=「2dx 解法1I dr dx (+当==[1+1一]+e 解法2I=zx_2 d(x2)
第54讲不定积分一题多解 179 1-(1 (1 2J1 +ln1-x21+C +ln|1 + C 解法31===x=√ tdt (1 2(1-t (1-n2d 2 +-ln(1-t)+C +ln(1-x2)|+ 解法4I ∫1=(-3--2- 「lnt+11+c =2L1-x2 +ln(1-x2)1+ 解法5I ∫2- =Int+2 2+C=lnv1-r2t21-x+c +ln(1 t, rdx 解法6 x了d了 Zt 11-1d=1(-lm)+C=21-x-1n1 2 2[ 1-x+n(1-)]+c 解法7I dt - dt t(t2-1) (t2-1/dt dt 721dt+ 1) +ln(1
