第38讲函数的单调性判别法(2) 121 第38讲函数的单调性判别法(2) 、利用判别法证明不等式 这是证明不等式的最常用的方法之一 1.辅助函数法 例1试证:当x>1时,2√x>3-1 证选取辅助函数f(x)=2√x-(3-1),x∈[1,+∞),我们的目标是证明 当x>1时,f(x)>0 显然f(x)在[1,+∞)连续,可导,且f(x)= 1=1(x√x-1) 在(1,+∞)内,f(x)>0,所以在[1,+∞)上f(x)单调增加.从而当x>1时, f(x)>f(1) 特别注意到条件f(1)=0,则有f(x)>f(1)=0(x>1), 即p2√x-(3-1)>0,或2Jx>3-1,(x>1) 例2设b>a>e,试证a2>b In6 证欲证a>b,即为证bna>lnb,或a>b 由此,考虑辅助函数∫(x) nx,x∈[a,+∞)(a>e) 显然,f(x)在[a,+∞)上连续、可导且f(x)=[1-lnx]e) ∴f(x)在[a,+∞)上单调减少,∴当b>a时,ma>mb, 即a°>b, 综上两例,可以将利用函数的单调性证明不等式的方法归纳为以下三步: 第一步:对所要证明的不等式,作必要的变形,然后选取适当的函数f(x)及对应区间 第二步:利用导数判断函数f(x)在区间(a,b)内的单调性; 第三步:与函数∫(x)在区间端点处的值作比较,确定所给函数在某点处的不等关系,从 而使欲证不等式得证 上述三步中,第一步构造辅助函数是关键的一步.如何构造出适当的辅助函数,必须具 体问题具体分析 例3设x>0,y>0,0(x”+y2) 证(1)选函数选区间把不等式变形为 +(2)]>[1+(2)] 记兰4>9则欲证的不等式为(+a)>(1+a)
122 高等数学重点难点100讲 故需考虑函数f(t)=(1+a)(a≤t≤). (2)求导数得P()=(1+a)1-n( (1+ q)1+。 当0f(B),即 [1+(y)>[1+(y)门b,亦即(x+y)>(x2+y2) 例4设f(x)在[0,+∞)上连续可导,且f(0)=1,|f(x)0) 证注意到条件|f(x)0 欲证之式f(x)0. 因此,考虑辅助函数F(x)=x-lnf(x),x∈[0,+∞), F"(x)=1 f(x) (x) f(x) f(r) ∴F(x)在[0,+∞)上单调增加,故当x>0时,F(x)>F(0)=0 即x>lnf(x),或e'>f(x)(x>0). 以上几例都是利用一阶导数判定函数的单调性.如果一阶导数不能判定函数的单调性 时,可利用高阶导数判定函数的单调性与不变号性,进而证明不等式,如下例 例5试证:当x>0时,e-(1+x)>1-cosx 证设F(x)=e-(1+x)-(1-cosx)=e+cox-x-2(x≥0), 求导数得,F(x)=e-sinx-1,尚不易判断出正、负性,再求导数 F"(x)=ef-cosx 因为当x>0时,e>1,cosx≤1,所以当x∈(0,+∞)时,F"(x)>0,故由判别法 知:一阶导数F(x)单调增加,又端点x=0处的值F'(0)=0,所以当x>0时,F'(x)> F(0)=0.再利用判别法知:函数F(x)在[0,+∞)单调增加,注意端点x=0处的值F(0) U,所以当x>0时,F(x)>F(0)=0 即当x>0时,e-(1+x)>1-cosx 例6试证不等式e20,于是,不等式可变为(1-x)e-(1+x)a>e,试证a3>b 证首先将两边取对数,变形成等价形式bna-anmb>0,然后将常数b改为变量x
第38讲函数的单调性判别法(2) 123 考察∫(x)=xlna-alnx(x>a>e)的单调性. f(x)=lna-a>lne-a=0(ea时,f(b)>f(a)=0,即有blna>alnb,或a>b 例8设b>a>0,试证:hb、2(b a+ b 证当b>a>0时,na>2a+b等价于(mb-na)(a+b)>2(b-a), 把常数b改为变量x,令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(x≥a) f(x)=1(a+x)+(nx-lna)-2,(x)=-+1=x=4≥0(x≥a) 由∫(x)恒正知f(x)单调增,又端点值∫(a)=0,于是f(x)≥0(x≥a); 由∫(x)恒正知f(x)单调增,又端点值f(a)=0,于是f(x)>f(a)=0(x>a). 特别有f(b)>f(a)=0,即(mb-hna)(a+b)-2(b-a)>0,或lnb>2(b-a) 小结常数变易法就是将数字不等式的证明化为函数不等式,通过函数的单调性来得 出结果 3.利用不等式定理 定理如果(1)f(x)与g(x)在[a,+∞)上都是n阶可导函数; (2)f6(a)=g*(a)(k=0,1,2,…,n-1); (3)当x>a时,f(x)>g(x); 则当x>a时,f(x)>g(x) 证只要反复应用函数的单调性判别法就可证明该定理.令(x)=f(x)-g(x),由 条件(3)知:l")=f"(x)-g"(x)>0,故u"-)(x)单调增.又由条件(2)知端点值 -1)(a)=f(n-(a)-g(n-1)(a)=0,所以当x>a时,(x)>0,…,这样的过程进行 n-1次后,可推知当x>a时,(x)>0,故a(x)单调增;而端点值n(a)=f(a)-g(a) 0,所以当x>a时,(x)>0,即f(x)>g(x arctanr 例9试证:当x>0时,n(x+1)> x+1 证因x>0,故不等式可改成等价的不等式(1+x)n(x+1)> arctan i f(x)=(r+1)In(x+ 1),g(r)=arctan, f(x)=1+ln(x+1),g'(x) 1+x,P(x) g"(x) 1+ 显见f(0)=g(0),f(0)=g(0),当x>0时,"(x)>g"(x) 由不等式定理知:当x>0时,f(x)>g(x),即 (x 1)In(x+1)>arctan, ge In(x+1)>arctan x+1 注意利用不等式定理比较两个函数值的大小时,必须考虑起点处的函数值及导数值 的大小.当条件(2):f((a),(k=0,1,2,…,n-1)不是完全具备的时候,该定理未必成立 如f(x)=x2,g(2=2x2+2,我们有f(x)=2x,g(x)=x,当x>0时,P(x)>g(x) 但是当02时,才有f(x) g(