58 高等数学重点难点100讲 第18讲连殃函数的几个重要定理(2) 定理1最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数必有最大值与最小值 也就是说如果f(x)是闭区间[ab上的连续函数,则 (1)在闭区间[a,b]上至少存在一点c1,对闭区间[a,b]上的一切x值,恒有 f(x)≤f(c1) (2)在闭区间[a,b]上至少存在一点c2,对闭区间[a,b]上的一切x值,恒有 f(x)≥f(c2) 上述的f(c1)、f(c2)分别称作函数f(x)在闭区间[a,b上的最大值与最小值,即 f(c1)≤f(x)≤f(c2),x∈[a,b 注意函数有没有最大值或最小值的问题在理论上或实用上都很重要定理1指出 闭区间上的连续函数有最大最小值,定理的两个条件—闭区间,连续函数——缺一不可 如y=x在(0,1)内连续,但既无最大值也无最小值.又如定义在闭区间[0,2]上的函数: x+1,0≤x0,当x∈(a,a+81)时,f(x)0,当x∈(b 62,b)时,f(x)f(x), x∈(a,a+δ1)∪(b-2,b) 总之,f(x0)≥f(x),x∈(a,b),即f(x)在开区间(a,b)内有最大值f(x) 读者可仿例1证下例 例2设f(x)在(a,b)内连续,且limf(x)=+∞,limf(x)=+∞,证明f(x)在(a b)内有最小值 由最值定理立即可推知定理2 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界. 例3设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且limf(x)=A,试证:f(x)在(-∞,+∞) 内有界. 证∴1imf(x)=A,对∈=1,有x>0,当|>x时,恒有|(x)-A|0,使1/(x)<M. 总之,对(一∞,+∞)上的一切x,有|f(x)|<M=mx{A|+1,M1},即f(x)在
第18讲连续函数的几个重要定理(2) 59 (-∞,+∞)有界 定理3(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间的端点取不同的 函数值f(a)=A,f(b)=B,则不论C是A与B之间的怎样的一个数,在开区间(a,b)内至 少有一点,使f()=C.这个结果叫做连续函数的介值定理 例4设f(x)在[ab]上连续,且a0,即f(0)·f(1)0,f(1)<1,故 F(0)·F(1)<0, 由根的存在定理,存在c∈(0,1),使F(c)=0,即f(c)=c (i)若f(0)=0,则取c=0∈[0,1] (i)若f(1)=1,则取c=1∈[0,1] 总之,存在c∈[0,1],使f(c)=c. 例7试证:一元三次方程x3+a1x2+a2x+a3=0至少有一个实根 证设∫(x)=x3+a1 +a,x
60 高等数学重点难点100讲 因limf(x)=-∞,故必存在一点A(A0),使f(B)>0 因为f(x)是闭区间[A,B]上的连续函数,且在端点A,B处的值f(A)与f(B)异号,所 以至少存在一点∈(A,B),使f()=0,即一元三次方程f(x)=0至少有一个实根 一般地,同理可证,当n为奇数时,方程 +a1x”-1+…+ 0 至少有一个实根 例8设f(x)为连续函数,x=a,x=b是f(x)的两个相邻的根.试证:如果在(a,b) 内存在一点c,使f(c)>0,则f(x)在(a,b)内必处处为正 证用反证法,设d为(a,b)内一点,且f(d)0,x∈(a,b) 例9设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),试证:存在x。∈[0,1],使f(x。)= 证即要证函数()-(x+在01有个零点f()-(x+ Jer 考虑F()=()-八(x+),x∈[0,3]F()是[0.]上的连函数若对任何 x∈[o]均有F()≠0则由介值定理知在[,]上必有F()>0或F(x)0,当x分别取0,1,1,3时,则有 f(0) 4 F(0)>0 1()-1( 0 4 3 3 相加得f(0)-f(1)>0,即f(0)>f(1),这与∫(0)=f(1)矛盾.故存在x。∈ 0,使F(x)=0.即有x∈[0,1],使f(x)
