第3讲函数概念(3) 第3讲函教概念(3) 、反函数 设函数y=f(x)的值域为Zr,如果对于Z/中的任一y值,从关系式y=f(x)中可确 定惟一的一个x值,则称变量x为变量y的函数,记为 Py) g(y)称为函数y=f(x)的反函数,习惯上y=f(x)的反函数记为y=f(x) 从上述定义可知求反函数的步骤为:①把x从方程y=f(x)中解出;②把刚才所得到 的表达式中的x与y对换,即得所求函数的反函数f-1(x) 例1求下列函数的反函数 (1) +1’ (2)y=ln(x+√1+x2). 解(1)由原式中解出2,得2=1+y y作因变量就得反函数:y=g1取对数解出x,x=1og21+用x作自变量 (2)由y=ln(x+√1+x)得x+√1+x2=e,或ey=√x+1-x 解联立方程组 √x2+1+x=ey, √x2+1-x=e- 消去√x2+1,得x= 对换x与y,得反函数y= hr 2 例2求y 1-√1+4x 1+√1+4x 的反函数 解令u=√+4,则y=1+a,解出=1-2,即√1+4x=1+y 解出x=1 y (x+1) 注意①y=f(x)的图象与其反函数x=g(y)的图象重合;y=f(x)的图象与其反 函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称;②只有一一对应的函数才有反函数 二、基本初等函数 这些函数都是最基本最重要的函数,我们务必记住下面表格中各基本初等函数的定义 式及性质,熟练地画出它们的图象,以方便今后学习 表3.1 基本初等函数 名称定义式 性质 要 图形 a>0时 定义域可为 本 (a为常数) 函数单调增;(一∞,+∞),如 等|定义城一般 a<0时,y=x2;也可为 aI 为(0,+∞) 函数单调减|[o,+∞), 数 过(1,1)点如y=x
10 高等数学重点难点100讲 当a>1时 lim 十∞ a>1时,函数 指数(a>0,4≠1)|单调增 lim a=0 函数 定义域为a1时 对数(a>0.a≠1)|函数单调增 互为反函数, 函数 定义域为 a<1时, log r Inr, lim Inx=+∞, (0,+∞) 函数单调减 过(1,0)点 正弦函数 奇函数,周期 y 函数T=2x、值域为 定义域为 有界函数 本 ∞)| Sinr|≤1 余弦函数 偶函数,周期 初 y=cos.r 函数T=2x,值域为 定义域为 有界函数 [-1,1] 等 (-∞.+∞)| Icos|≤1 正切函数 y=tan.r 定义域为 奇函数,周期 Im tan.r 函数T=丌, 2单调增函数 lim tanr=-", 数 ±2, 余切函数 数 y= cotr 周期函数 lim cotx=+∞ 定义域为 lim cot r=-∞ x≠k丌,=0,单调减函数 士1,士2,… 正割函数 周期函数 T=2r,在 y= sec5 人.飞 cosT 无界 余割函数 周期函数 r=2丌,在 y=cscI (0,)上 sInT 无界
第3讲函数概念(3) 反正弦函数 奇函数, 值域为 y = arcsin 定义域为 单调增函数 [-1,1] 反余弦函数 本反 y=acx单调减函数 定义域为 值域为[0,x] 初 值域为 角 奇函数,有界函 丌r 等 反正切函数数 y=arctan larctanrl lim arctan 定义域为 函数 lim arctan 单调增函数 数 反余切函数 有界函数 值域为(0,π) y= arccot lim arccot=π 定义域为 0 <arccot<m I 6,+)单调减函数| m arccot=0 、复合函数 设函数y=f(a)的定义域为Dr,而函数u=g(x)的值域为Z若D∩Z,≠φ,则称 函数y=兀y(x)]为x的复合函数 这里,三个变量x,,y之间的关系是:y(函数)-(中间变量)-x(自变量) 注意若里层函数g(x)的值域。不含在外层函数f(u)的定义域D内,则不能复合 如:y=√a2-2,=sinx就不能复合成y=√sinx-2 构成复合函数的方法,通常有代入法与分析法两种 1.代入法 将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代,这种构成复合函数的方法,称之 为代人法该法适用于初等函数的复合 例3∫(x)=x2+1,求∫(x2-1). 解f(x2-1)是由y=f(u)与u=x2-1复合而成的复合函数 ∵f(x)=x2+1,;,f(a)=u2+1,将u=x2-1代入前式,得 f(x2-1)=(x2-1)2+1=x4-2x2+2 例4f(x) 求f[f(x)] 解由f(x)=x-1,知x≠1,(x)≠1 所以 J(x)]=x) =x(x≠1)
12 高等数学重点难点100讲 例5复合函数y= +是由哪些基本初等函数或多项式复合成的? 解从最外层看是幂函数y=a2;再看次外层是正弦函数a=sinu;从外向里第三层是 幂函数U=0-,最里层是多项式如=x2+1,a是由幂函数与常数函数经过加法运算得到 的 所以y=sini +是由y=2,l=si0,=a-÷,0=x2+1复合而成的 2.分析法 所谓分析法就是抓住最外层函数定义域的各区间段结合中间变量的表达式及中间变 量的定义域进行分析,从而得出复合函数的方法该法适用于初等函数与分段函数或分段函 数之间的复合. <1 x+2,x< 例6设f(x)= p(or) x2-1,x≥0,求∫g(x)] 解第一步:以g(x)替换∫(x)中的x,由函数的“无关特性”得 f[g(x)]= ex),g(x)<1…分段函数的第一段; g(x),y(x)≥1……分段函数的第二段 第二步:分段求出∫[yx)]的表达式 (1)考虑第一段:f[g(x)]=e),g(x)<1,g(x)= 十2,x<0; 1,x≥0. 由上述表达式可知:使g(x)<1,即使g(x) 2<1,x<0; x2-1<1,x≥ 的自变量的变化 范圈为{2<-1 x2<2 或 即x<-1,或0≤x<√2. <0 0 故第一段的表达式为f[g(x)]=ew(g(x)<1)= 0≤x<√2 (2)考虑第二段:f[y(x)]=g(x),y(x)≥1,gx)= 2,x<0; 可见使g(x) 1,x≥0. ≥1,即使x)= +2≥1,x<0; 的自变量x的取值范围为 x≥-1,x3≥2 x<0 即 1≥1,x≥ 1≤x<0,或x≥√2 故第二段的表达式为∫[gx)]=g(x)(y(x)≥1) 1≤x<0; x2-1,x≥√2 第三步:综上,写出f[y(x)]的完整表达式 x+2 1≤x<0 f[(x)] 0≤x<√
