高等数学重点难点100讲 第2讲函教概念(2) 、函数的基本性质 奇偶性 奇函数:f(-x)=-f(x),对任意的x∈D,图形对称于原点 偶函数:f(-x)=f(x),对任意的x∈D,图形对称于y轴 例如:绝对值函数f(x)=|x|是偶函数,符号函数∫(x)=sgnx是奇函数,对任意函 数,易证,f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.注意到以下几点,对于判别 函数的奇偶性是有益的: (1)由定义知,具有奇偶性的函数的定义域关于原点是对称的,所以,若函数的定义域 不关于原点对称,则可肯定该函数不具有奇偶性; (2)若f(x)是奇函数,则∫(0)=0; (3)存在既是奇函数又是偶函数的函数,f(x)=0就是而且是惟一的,事实上,这时 (x)同时满足:f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x),即对一切x∈D,恒有f(x)= f(x),所以f(x)≡0,x∈D(这里,D=( (4)奇偶函数的运算性质:①奇函数的代数和仍是奇函数;偶函数的代数和仍是偶函 数;②偶数个奇函数(或偶函数)之积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数;③一奇一偶的 乘积为奇函数 (5)常见的偶函数:|x|,cosx,x2(n∈N),e',e,… 常见的奇函数:sinx,tanx,rn+, arcsin.I, arctan r;… 例1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2-x+1; (2)f(x)=log(x+√x+1) ≤0 (3)f(x)= (4)f(x)= 解(1)f(x)=x2-x+1, f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1, ∴∫(x)=x2-x+1是非奇非偶函数 (2)f(r)=log(r2+1+x) ∫(-x)=logn[√(-x)2+1+(-x)]=logn(√x+1-x) (√x+1-x)(√x2+1+x) 1 vr+1+r g。√x+1+ =-log(√x2+1+x) f(x)=log(√x2+1+x)是奇函数 (3)∵∫(x)的定义域为x≠1的全体实数不关于原点对称, ∴∫(x)= 是非奇非偶函数
第2讲函数概念(2) (4)∫(-x)= -x≤0 1+(-x) x>0 x0≈f(x), . f(a) ≤0 是偶函数 1+x,x>0 例2判别y=F(x)( +2)的奇偶性(其中a>0,a≠1,F(x)为奇函数) 解令g 十 1+2=1=a a-1+2 a2-1+1 2 (x) 所以E()为奇函数又F(x)为奇函数从而y=F(x(a21-2)为偶函数 例3讨论f(x)=f(x2)称∫(x)在(ab)内是单调减少的图形沿x 轴的正向下降 同样可定义在无限区间上单调增加(减少)函数 在整个区间上单调增加(减少)函数称为单调函数,这个区间称为单调区间 例4判断函数y=x+lnx的单调增减性 解设y=∫(x)=x+lnx,00,>1,ln>0, ∴f(x2)-f(x1)>0,即∫(x2)>f(x1) y=x+Inx在(0,+∞)上为增函数 定义告诉我们,函数的单调性与区间有关,例如,y=x2在(-∞,0]上是单调减少的, 在(0,+∞)上是单调增加的因而在(一∞,0或在(0,+∞)上是单调的,但在(-。, )上不是单调的 例5设f(x)在(0,+∞)上有定义,x1>0,x2>0,求证:
6 高等数学重点难点100讲 1)若(红2单调增则∫(x1+x2)≥f(x)+f(x2) )若单调减则∫(x1+x2)≤∫(x1)+f(x2) 证只证(1)(请读者仿(1)的证法证(2)设x1>0,x2>0,且x10,对任意的x∈(a,b),使f(x)≤M则称f(x)在(a,b)内是有界的,其 图形介于直线y=M与y=-M之间 若不存在M>0使|f(x)|≤M永远成立,则称f(x)为无界函数,其图象向上或向下 无限伸展 如三角函数f(x)=sinx,g(x)=cosx在整个数轴上是有界的因为对一切实数x恒 有:| sinx≤1, I cost≤1,x∈(-∞,+∞) 又如:arnx≤2, arccos I≤x,x∈[-1,1 l arctan|<a,larccotxl ∈( 函数y=x2在(一∞,+∞)内仅有下界,因为对任何实数x,都有x2≥0即y≥0,函数y =x23在(-∞,+∞)内无上界,也无下界, 例7求证函数y=x2+1在它的定义域内是有界的 证函数的定义域是(-∞,+∞) ±2x+1 ±1)2≥0 ∴x2+1≥±2x,由x2+1≥2x得 x2+12 由x2+1≥-2x,得 2x2+1 所以-≤ +1 ≤ 2 即有 ≤,所 以函数在整个定义域上是有界的 注意①定义中的正数M不是惟一的,但也不是任意的,如上例中的M=1,也可取
第2讲函数概念(2) M=1这时p+1≤1,也满足面数有界的定义,但取M-3就不对了因为当x=士1 ∈D时+1->M=函数/()是否有界与所讨论区间有关例如,() 1,在[1,+∞)上有界但在(0,+∞)内无界,事实上,对于任意指定的足够大的正数 M,总有=2∈(0,+∞),使得12M>M. 例8试证函数f(x)= sInZ是无界函数 证在f(x)的定义域(-∞,+∞)内考虑数列xn=2nr+(n∈N).显然,f(x,) f(2nx+n)=(2nm+石)sin(2n+丌)=2nx+>2nx>n(n=1,2…).对于任 意指定的足够大的正数M,总有正整数N:N≥M,(x)在rN处的值f(xN)=2Nr+ N≥M.故f(x)= ISIn无界. 例9设函数f(x)在X上有定义,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在Ⅹ上 既有上界,又有下界 证必要性:设∫(x)在X上有界,即存在M>0,使得对于任给x∈X,有f(x)K2,f(x)k2取M=max{k1|,|k2|}(表示取k,,}k2中大的一个数),则f(x)>k M,且∫(x)<k1≤M,即有-M<f(x)<M,或|f(x)<M,故∫(x)有界 4.周期性 对于函数f(x),如果存在一个不为零的数l,使得关系式∫(x+1)=f(x)对于定义域 内的任何x都成立,则称∫(x)为周期函数,称为∫(x)的周期.通常我们说周期函数的周 期是指最小正周期. 例10求下列函数的周期: (1)f(x)=|sinr+| cosr;(2)f(x)=[x2-x;(3)f(x)=[x1-33 解(1)由于f(x+2)=sin(x+y)+cos(x+2 lcosr!+I-sinx= sinx|+cosz 所以f(x)=|sinx+ icos的周期为x (2)f(x+1)=[x+1]-(x+1)=[x]+1-x-1=[x]-x=f(x) 所以f(x)=[x]-x的周期为1 (3)f(x)=[x]-x+ 其中f1(x)=[x]-x以1为周期,f2(x) 3]以3为周期所以f(x)=f(m)-3/{x)以3为周期 注意判别给定函数的周期性,可以根据周期性的定义(如例10的(1),(2));也可用 其运算性质:若f(x),g(x)分别是以l1,l2,l1≠l2为周期的函数,则f(x)±g(x)是以l1l2 的最小公倍数为周期的函数(如例10(3))
8 高等数学重点难点100讲 例Ⅱ设对-切实数x有(x+)=2+()-鬥(试证f(x)是周期函 数 (x+1)+2」-2+√(x+2)-(x+ xv2+√G)-(a-门+√f(x)-f(x f(x)+尸2(x) √(2-f(x) 1+2 由已知条件知对一切实数x有f(x+3)≥,(x∈R).所以f(x+1)=y+f(x) 1=f(x)(x∈R),故f(x)是周期为1的函数 如何判断一个函数y=f(x)是否为周期函数呢?若l为函数y=f(x)的周期,则对任 何x(定义域内的)都应有f(x+l)-f(x)=0.在上式中,将l看成未知量求解,若解出的 l依赖于自变量x或为零,则f(x)不是周期函数;若可以求出不依赖于x的非零数解(一般 地都不惟一),则f(x)是周期函数 例12f(x)=sin是否为周期函数? 解f(x+l)-f(x)=sin 2r+l +i sin=-2sin 2r(x +7) 2r(2r+l) 若l为周期,则应有 In 2x(2x+ 0,或cos x+l (2x+=0 显然,满足上述两式的非零常数4是不存在的.例如,若 sIn 2r(x+D=0,则 2x(x+D=k(=0,±1,±2…) 即有l=2xkx(x+l).解出l 2k 2k丌x ,这表明l随x而改变·若c os prlr +)=0,同 理可得出l依赖于x的结论.所以,函数f(x)=sin不是周期函数 例13讨论f(x)=sinx2是不是周期函数 解f(x)的零点为x2=kr,即x=±√kr,相邻两零点的距离 d=√(k+1)元一√kr= √k+1+√k 可见:零点分布随k的不同而不同,没有周期性,因此∫(x)不是周期函数 由定义判断函数是否是周期函数或求周期函数的周期比较困难,有时利用“若f(x)的 最小正周期为,则f(ax+b)(a>0)的最小正周期为”的结论求周期函数的周期比较方 便.例如,因为sinx的周期为2x,故Asin(ax+q)(A、v9均为常数,且A≠0,a>0)的周 期为.所以,记住sinx,cosx(周期为2x),tanx,cotx,| sinr,|cosx|(周期为)等周期函 数的周期,用它们求其他有关周期函数的周期就比较方便了
