第8讲极限的几个重要定理(2) 25 第8讲极限的几个重要定理(2) 定理1(无穷小与函数极限的关系)在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中, 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之 和,则该常数就是这函数的极限,即 imf(x)=Af(x)=A+a(x),其中lima(x)=0. ·工 (x∞) 例1下列函数当x→∞时均有极限.试把下列函数表示为它的极限值与一个无穷小 的和的形式:(1)y=x2-1(2)y=2x+ 1+1 解(1) y=x-1=-x3-1 由于mx-1=0,由定理1知imy=1 (2)y=-3x2 3 x2+12 22 x2+ 由于lir 2·2x41=0,所以limy 3 例2若limf(x)=A,limg(x)=B,试证lim[f(x)·g(x)]=AB 证∵limf(x)=A,∴.f(x)=A+a(x)(a(x)→0,当x→x时 ∵img(x)=B,∵g(x)=B+B(x)(B(x)→0,当x→x。时) f(x)·g(x)=(A+a(x)(B+B(x)) AB+ AB(r)+ Ba(x)+a(x).B(r) 由无穷小的性质知:imAa(x)=0,imBB(x)=0,lima(x)B(x)=0,从而 v(x)=Aa(x)+B(x)+a(x)(x)→0(x→x), ∴f(x)g(x)=AB+V(x),由定理1知:limf(x)g(x)存在,且其值为AB 例3(单项选择题)设数列{xn}与{yn}满足 limx, y=0,则下列结论正确的是( (A)若{xn}发散,则y必发散;(B)若{xn}无界则yn必有界; (C)若{x}有界则y必为无穷小;(D)若为无穷小,则y必为无穷小 解由定理1知:xnyn=an(an→0,当n→∞时),当x≠0时,可以写成y 1·a,若1为无穷小,则y是无穷小1与无穷小a之积,故也为无穷小所以选D 注意定理1说明下列三个陈述是等价的: (1)limf(x)=A(极限定义); (2)lim(f(x)-A)=0(无穷小定义); (3)∫(x)=A+a(x)(极限与无穷小关系定理)(a是无穷小) 在求极限时,究竟用上述三个中的哪一个,视具体问题而定,例2例3用上述(3)式最
26 高等数学重点难点100讲 为方便 在上一讲与这一讲已讨论的10个定理中,前5个是关于数列极限的,后5个是关于函数 极限的那么,函数极限与数列极限有什么联系? 提到函数极限与数列极限的关系,最简单的情形,要算函数极限limf(x)与数列极限 limf(n)的关系,一般是指函数极限limf(x)与数列极限limf(x)的关系,其中{xn}在 f(x)的定义域内,xn→x0,xn≠x0(xn→∞).我们有下列定理: 定理2(函数极限与数列极限的关系)limf(x)存在的充要条件是对任何数列{xn}, (x→∞) xn≠x0,xn→x0(或xn→∞),所对应的数列{f(xn)}有同一极限,即imf(x)=A(或∞)台 limf(xn)=A(或∞). 注意定理2所说的充要条件是任何满足xn→x0x,≠x的{xn都有limf(xn)=A, 如果只是某个{xn}满足xn→x0,xn≠x0,且limf(xn)=A,那么lmf(x)并不一定存在 定理2指出了如下两个方面的应用 1.数列极限在讨论函数极限时的应用 (1)证明函数极限limf(x)不存在,依定理2,只要找出一个数列xn→x,x,≠x,使 f(xn)}为无穷大数列;或者找出两个收敛于x。又不等于x的数列rnyn使{f(xn)}与 f(yn)}有不同的极限 例4讨论极限 limos±的存在性 解f(x)=cos的定义域为D=(-∞,0)U(0,+∞),取x,=∈D ∈Drxn≠0,y,≠0,xn→0,cos=cos2n=1→1;yn→0,cos= 2n cos(2nx+n)=0→0.所以原极限不存在 同理可证 limin1不存在 (2)证明f(x)在D/上无界,只要找出数列{xn}D,而{f(x,)}为无穷大数列 例5讨论函数f(x)=sin的有界性 解取 ∈Dr,xn≠x=0(n=1,2,…).当n→∞时,x,→0 2n丌 f(x,)=(2nx+x)sin(2nπ+丌)=2nr+丌→+∞, 所以f(x)无界. (3)证明limf(x)≠∞,只要找出一个数列x→x,x,≠x而{f(x,)}收敛 例6证明 lim--cos不是无穷大 证取xn=-1 ∈Dr,x,≠0,(n=1, 2…).当 +
第8讲极限的几个重要定理(2) 27 f(xn)=(2n+ 2cos(2nx+x)=0→0 所以Im1cs1不是无穷大 r0 2.函极限在讨论数列极限时的应用 例7求(1)1nn,(2)myn 月· 解(1)定理2指出:子序列的极限与函数的极限等值,所以,只要能够求出lin 的 值,则lm=h(注意,x是连续变化的量,而n是离散量) 、lmhx利用∫(x)=lnx,(x)=x的可导性 由罗比塔法则 了 特别有lim n li =0 2)先求lmyx=limx2(“”型不定式)=lime曲c=1,故 lim limx冫=1 注意我们已先后用两种方法求出极限lmyn=1,这是一个重要的结论,以后多次 用到·顺便指出,本书中许多例题的结果都很重要,望读者不要轻易放过