48 高等数学重点难点100讲 第15讲利用无穷小代换法则求极限 在求两个无穷小之商的极限时,其中的变量可以用等价的无穷小来代换·它的理论根 据是下面的无穷小代换法则: 如果在某一个无限变化的过程中,无穷小量a1,A1,a2,2满足 (1)a1~a2,R1~2;(2)ima2=A(或∞); 则有Ima=im2=A(或∞) 这个法则告诉我们:当计算imd.较为困难时,可以设法寻求分别与a11等价的无穷 小a2,B2,以代替a,B1,从而把lima的计算转化为对im的计算,这种方法称为无穷小代 换法,它是解决“”型不定式极限计算问题的一种有效方法 例1求 t lim yost= COSnr 解原式=li sinx~x(x→0), sin 2, sin x(x→0), 2 原式=-2lm当22.当 2 li -2 2 例2求 a 解原式=lin 1)x-a= e lim 一a 1~t(t→0) 原式=e 从例1、例2的计算过程可见,为了使用代换法,应该熟记一些常见的等价无穷小.常用 的等价无穷小有 当x→0时,sinx~x,tanx~x, arcsinE~x, arctan~x, 1- cosToN, x,n(1+x)~x,(1+x)y-1~gx,y+x-1~1x 例3求lmn√1+x x01 解第10讲用分子分母有理化的方法曾计算过该极限,这里,用无穷小代换法则更简 便
第15讲利用无穷小代换法则求极限 x→0时,√1+x y1+x-1 原式=li x 2 COST 例4求li ro sIn. 解∵x→0时,sinx~x,sinx2~x2,x2sinx2~x, 1-cos"2r,- cosx"2I, ∴原式=lim 例5求lim Im in(sinc ne+In(1+ sin r n1+ sin 解原式=lim li Ine2r +In 1+ 了 2x 1+ 当x→0时,n(1+x)~x,lm/1 sInT sin?,n1+西e SinI ∴原式=lim 例6指出下列各题解法中的错误,并写出正确解法 (1)lir tan sIn"T ∵x→0时 nx~x,∴原式=li (2)lim n(1+e")(a>B>0) r+oo In(1 In(1 +e)e; In (1 +er)e li li lime-P)x=+∞o 中 解(1)代换法则告诉我们在用代换法计算“。”型的极限时,一定要对整个分子(或 分母)用等价无穷小代换,而不能对其中的一部分用等价无穷小代替,否则可能得到错误的 结果.(1)中,虽然tanx~x,sinx~x,但tanx-sinx并不等价于x-x.这从下面正确的 解答过程中可以看出 原式= lim cosx sin sInT sinx 1-cosI 1×1 r-o cosII (2)注意,代换法是对等价无穷小而言的.而(2)中的分子分母都不是无穷小量,因此 根本就不能用该法则,正确的解法是 +ln1+ +ln1+ 原式=lin lim +ln1+ Br +In 1+
50 高等数学重点难点100讲 +1ln(1+ B+- eAr 例7已知lim atan+6(1-cosx) =2,其中a2+c2≠0,问下面哪一个关 cln(1-2x)+d·(1 系式是正确的? (A)b=4d;(B)b=-4d;(C)a=4c;(D)a=-4c. tan T 十b 1-cosT a 解原式=lim ln(1-2x) (-2)-d a=-4c.即D是正确的 1+x-x2-1) arctan 例8求 lim2x,(1-c0x) 解当x→0时 +x-x-1~1(x-x2), arctan~x,∴:分子~1(x-x2)·x 又 arcsin2x~2x;1 1 cos了 分母~2x·x2 x-)·工 ∴原式=limn (1 1 例9设lm2二(m=1)=200,求a,B的值 n2-(n-1) m lim ∵(1+x)"-1~kx(x→0),1 1 ), ∴原式=lim n∞n°-+1=2003. lim 欲使上式成立,必须有 -B+1=0, =2003 即=2002 β=2003
