94 高等数学重点难点100讲 第30讲微分中值定狸(1) 第30讲至第32讲集中讨论微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西 中值定理.这些定理都显示了函数在一定条件下与区间内某点的导数之间的密切关系.这些 定理是微分学的理论基础,由它们可以导出一系列的重要命题和定理,从而使得微分学在更 广的范围内起着极其重要的作用 、利用罗尔中值定理证明方程根的存在性 1直接法 如果函数∫(x)本身就已具备定理的三个条件,我们可以直接使用定理进行证明 例1已知f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),不求f(x)的导数,试证f(x) 0有三个实根,并指出它们所在的区间 证f(x)是一个四次多项式,在以它的任何两个相邻零点(f(x)=0的根)为端点的 区间上,满足罗尔定理的条件,故在这个区间内至少有一点,使得f()=0,即至少存在 尸(x)=0的一个根.∫(x)=0是三次方程,最多有三个实根.由以上分析证明如下: f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0,∴x=1,2,3,4是∫(x)的四个零点 又在[1,2]上f(x)满足罗尔定理的条件,故在(1,2)内至少存在一点,使f()=0,即至 少存在f(x)=0的一个实根. 同理,在(2,3)、(3,4)内各至少存在f(x)=0的一个实根.由此推知f(x)=0至少有 三个实根 又因f(x)=0是一元三次方程,至多有三个实根故方程f(x)=0有且仅有三个实 根,它们分别位于(1,2),(2,3),(3,4)三个区间内 例2已知f(x)在a,b]上二阶可导,f(a)=f(b)=0,F(x)=(x-a)f(x).试证 方程F"(x)=0在(a,b)内有根 证∵f(a)=f(b)=0,∴F(a)=F(b)=0 又因为f(x)在[a,b]上二阶可导,所以F(x)在[a,b]上二阶可导 由罗尔定理,在(a,b)内至少存在一点7,使F()=0,又因为F(x)=2(x-a)f(x) +(x-a)2f(x),所以F(a)=0. 对函数F(x)在[a,刀上使用罗尔定理,得知至少有∈(a,7)C(ab),使F"()=0 即F"(x)=0在(a,b)内至少有一个根 例3设函数f(x)在[ab上连续,(x)在(a,b)内存在,且f(a)0,f(b) 0,f(b)<0”推出罗尔定理的条件(3) 由于f(x)在[a,c和[c,b上连续,分别在[a,c],[,b上利用零点定理,由f(a)f(c) <0,f(c)f(b)<0,故存在∈(a,c),使f(61)=0,存在2∈(c,b),使f(2)=0.考虑[ 52],f(x)在[61,2]上连续,可导,且f(句1)=f(2),罗尔定理条件成立,所以存在∈(1 2)c(a,b),使户()=0. 2.反证法 例4设多项式的导函数P(x)无零点,试证多项式P(x)最多只有一个零点
第30讲微分中值定理(1) 证直接证明该命题—多项式P(x)至多只有一个零点—比较困难,我们用反证 法 假设P(x)至少有两个零点x1,x2(不妨设x2>x1),P(x1)=P(x2)= 对P(x)在[x1,x2]上使用罗尔定理,可知存在∈(x1,x2),使P()=0.这与已知条 件矛盾,故P(x)最多只有一个零点 例5设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f(x)≠0f(a)=f(b)=0,则方程f(x)=0 在(a,b)内根的个数是()个 (A)0;(B)1;(C)2;(D)3. 解若有c∈(a,b),使f(c)=0,则对f(x)分别在[a,c],[c,b]上使用罗尔定理得: 有1∈(a,c),使f(1)=0,有2∈(c,b),使f(2)=0,由于f(x)在[,]上连续、可 导且f(1)=f(2).所以由罗尔定理知有∈(1,与2),使(f(x)'|:=:=f()=0.与已 知条件邝(x)≠0(a0,x∈(-∞,+c).故f"(x)=0 无实根,产生矛盾 这一矛盾说明,方程f(x)=0至多有三个实根 综合(1)与(2)得知,f(x)=0有且仅有三个实根 3.辅助函数法 辅助函数法就是先构造一个与所证结果有关的辅助函数,然后再运用已知条件及有关 概念、定理、公式或法则,推理得出所要证明的结果.其基本思路是从一个愿望出发,联想到 某种曾经看到过的方法、手段,而后借助于这些方法、手段去接近目标,或者再从这些方法和 手段出发,又去联想到别的通向目标的方法或手段,这样继续下去,直到证明结论为止 如果我们希望用罗尔定理讨论方程f(x)=0根的存在性,那么构造的辅助函数F(x) 就应满足关系式:F(x)=f(x),并要求F(x)满足罗尔定理的条件.在具体构造F(x)时, 往往要借鉴求导的经验 例7已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且f(0)=1,f(1)=0,求证: 存在c∈(0,1),使f(c)+ 0. 证先构造一个与所证结果有关的辅助函数欲证户()+f(c)=0,即要证eP()+
96 高等数学重点难点100讲 f(c)=0,也就是要证方程xf(x)+f(x)=0在(0,1)内有根x=c,即 (xf(x)+f(x))|-=0. 而xf(x)+∫(x)是函数xf(x)的导数:(xf(x))=xf(x)+f(x).由此,考察辅助 函数g(x)=xf(x),下面依上面的分析进行证明 因为g(x)=xf(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且g(0)=y(1)=0, 由罗尔定理知存在c∈(0,1)使(c)=0,即[xf(x)y|=0,或f(c)+f(c)=0 例8设f(x)在[0,+∞)上可导,且0≤f(x)≤1+x2,试证:存在>0,使 f()= 分析欲证f(4)= (1+)2,即要证 f'(x)a-e ),所以欲证之式即为[f(x 也就是要证函数f(x) 的导函数在(0,+∞)内有零点 证作辅助函数x)=1+x2-f(x),x∈[0,+∞) ∵0≤f(x)≤1+x(x≥0)…f(0)=0 显而易见g(x)有三个特点: (1)g(0)=0;(2)g(x)≥0(x≥0);(3)limg(x)=0 r.. 若在[0,+∞)上,(x)≡0,则处处g(x)=0,即f(x)=a1-)2处处成立 若在[0,+∞)上,gx)≠0,则必有一点x∈(0.+∞)使g(x0)>0 ∵g(x)在[xo,+∞)连续,且limq(x)=0, ∴必有b>x,使g(x)>9(b)>0. 又g(x)在[0,x]连续,(0)=0,所以必有a∈(0,x0),使g(a)=g(b) 在[a,b]上对g(x)使用罗尔定理知,存在∈(a,b)C(0,+∞),使φ()=0. 即 f(4) 2)2