第20讲导数定义(2) 65 第20讲导数定义(2) 、利用定义讨论函数的可导性 例1设f( 0≤x≤1;求(x) 2-x 1<x< 解f(x)在(-∞,+∞)内有定义,并且在(一∞,+∞)内处处连续 用定义1求出在各开区间内的导数 对x∈( ),有 P(x)=imf(+ax)-(=1m(+4x)-C=3x, 对x∈(0,1),有 lir (4x) x L △x 对x∈(1,+∞),有 p(x)=lm2-=(x+an)-(2=x=im=x=-1 考察点x=0与x=1处的可导性 在x=0处 f.(0)= lim (2 )-f(0) im f'+(0)= lim )-f(0) =lim一= 0 ∴f-(0)=f+(0)=0.∴f(0)=0 在x=1处 .)-=lm1(2=1(2-lmn2=1-2 尸+(1)=lim li lim 尸-(1)≠尸+(1),∴∫(x)在x=1处不可导 x<0 于是,f(x)={2x, 0≤x<1; 在x=1处∫(x)不可导 1<x<十 例2设函数∫(x)与g(x)的定义域为(-∞,+∞),且在x=0处可导,又 f(x+h)=f(x)g(h)+f(h)g(x) 试证:f(x)在(-∞,+∞)处处可导 证对任意指定的x∈(-∞,+∞), f()=lim f(x+ Ar)-f(z2 Ar0 =imf(x)g(4x)+f(△x)g(x)-f(x)(0)-f(0)(x)
66 高等数学重点难点100讲 dim f(x).&(4x)-g(0) +g(r) f(△x)-f(0 △x f(x)g'(0)+g(x)f(0) 由x的任意性知,f(x)在(-∞,+∞)处处可导,且导数f(x)=f(x)g(0)+g(x)f(0) 例3设函数f(x)对(-∞,+∞)内任意两点x,y都有f(x+y)≈f(x)+f(y) f(r)f(y) 且f(0)=a,试证:f(x)处处可导 证像上例一样,充分利用函数f(x)的特性,注意到在计算导数 f'(o)= lim f(4x)-f(0) △x 时,涉及到f(0),我们首先确定这个值 令已给关系式中的x=y=0,得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) 1-4f(0)·f(0) ∴f(0)1-4f2(0)]=2f(0),由此得f(0)[1+4f2(0)]=0, 又∵1+4尸2(0)≠0,∴f(0)=0. 对任意指定的x∈(-∞,+∞),有 f(x)=lim f(+Ax)-f(r2=lim f(x)+f(4x) Aro 4f(r)f(Ar)"f(r f(4x)[1+4尸2(x)] 4r 1-4f(r)f(Ar) f(4x)-f(0)1+4f Ar-o I-4f(f(A 4f2(x) f(0)‘1-4f(x)·f(a(1+4f2(x) ∴∫(x)处处可导,且尸(x)=a(1+4f尸2(x) ≤0 例4设f(x)=15nz,x>0讨论f(x)的连续性 解本题要我们做如下三件事: (1)考察f(x)在(-∞,+∞)的连续性; (2)考察f(x)在(-∞,+∞)的可导性,并求出f(x)的表达式; (3)讨论导函数f(x)的连续性 下面逐条讨论 (1)在(一∞,0)∩(0,+∞)内,f(x)是初等函数,所以连续,在x=0处,左极限 imf(x)=imx2=0,右极限lmf(x)= lim resin1=0,故 0 f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0, f(x)在(-∞,+∞)内连续. (2)用定义1容易计算出 当x0时,(x)=2 rain cos 在x=0处,考虑左右导数 户-(0)=imJ(x)-f(o)≠lim 0
第20讲导数定义(2) 67 r 'sin 1 f+(0)=lim f(0) lim lim xsin l f(0)=0 3x2 ≤0; ∴导函 数 f'(r) COS (3)讨论f(x)的连续性 在(-∞,0)U(0,+∞)内,f(x)是初等函数,所以连续; 在x=0处,考虑左右极限 lim f(x)=lim 3x2=0, lim f"(x)=lim 2xsin I I 由于im2zi=0存在,而 j lim cos 4不存在,所以m厂(x)不存在, f(x)在x=0处不连续,属第二类间断(振荡间断点) 、利用导数定义讨论函数的特性 例5试证:(1)若f(x)是可导的偶函数,则f(x)是奇函数; (2)若f(x)是可导的奇函数,则f(x)是偶函数. 证(1)((2)的证明留给读者)注意在利用导数定义的同时,要利用函数自身的性质: 设x是定义域中任指定的一点,由定义知 f(-x)=linf(-x+△x) lin (x-4x)-f(x) △·0 △℃ li (-1) 即f(x)是奇函数 例6试证:若f(x)是可导的周期为l的函数,则f(x)也是以l为周期的周期函数 证设x是定义域中任指定的一点,由定义知 f(x+l)= lim f(x+l+ Ar)-f(r+l) △x f(r+1)=f(r) lim f(x+△x)-f(x) f'(r) 周期特性 即f(x)也是以l为周期的周期函数 例7试证:(1)若f(x)是单调增加的可导函数则导函数非负,即f(x)≥0; (2)若f(x)是单调减少的可导函数,则导函数非正,即f(x)≤0 证(1)((2)的证明留给读者)设x0是定义域内任一指定的点,由于f(x)单调增,所 以f(x)-f(x)与x-2(x≠x)同号,从而差商(x)=f(x)>0,由极限的保号定理 (参看第8讲)得 f'(xo)=lim f(x)一f(x。) 由x0的任意性知在整个定义域内f(x)≥0. 例8设f(x)在[a,b连续,f(a)=f(b)=0,且f(a)·f(b)>0,证明:在区间(a
68 高等数学重点难点100讲 b)内方程f(x)=0至少有一根 证总的思路是:欲证的问题就是证明函数∫(x)零点存在的问题,即f()=0,5∈ (a,b),下面由导数定义、极限性质等推出零点定理所需的条件 因f(a)·f(b)>0,即f(a)与f(b)同号,故不妨设f(a)>0,f(b)>0,因f+(a) imf)=fa)>0,由极限的保号定理知在a的某个右邻域(,a+)(8>0内, 必有f()-fa)>0从而特别有x;∈(a,a+),使(21)=fa>0,因x1-a> 0,故∫(x1)-∫(a)>0,即f(x1)>f(a)=0 因f-(b)=imf(x)-f(b) 0,所以在b的某个左邻域(b-,b)(>0)内恒有 f(x)-f6)>0,从而特别有x2∈(b-6,b)使f(2)=f6)>0. 因x2-b<0,所以∫(x2)一f(b)<0,即f(x2)<f(b)=0 于是在闭区间[x1,x]上,由零点定理知,必有5∈[x1,x2]c(a,b),使f()=0. 、利用导数定义求极跟 例9求hnf(x+ah)-f(x-bh) h-0 h,已知f(x)存在,且ab≠0 解注意在导数定义式f(x0)=linf(x+△x)-f(x △x 中,Ax只是无穷小量,与它 △r0 的具体形式无关,因此 fco+aAr)-f(xo) f(xo-6h)-f(o 6h (ab≠0) 当Ax→0时(或h→0时)的极限均是∫(xo) 通过“加项减项”把原式配成导数定义中所要求的形式,再用定义,得 原式=lin [(r +ah)-f(x)]-[f(x -bh)-f(r h = lim f(r+ah)-f(r) h +bim(x=)-(x)=(a+b)/(x) 注意在利用导数定义求极限时,作为自变量增量的ah和b的符号应与f(x+ah) 与f(x-bh)中ah,b的符号一致,否则会出错