第0讲利用极限四则运算法则求极限 31 第10讲利用极限四则运算法则求极限 极限的四则运算法则是: (1)如果imf(x)=A,limg(x)=B,则lim[f(x)+g(x)]也存在,且 lim[f(x)+g(r)]=A+b=limf(r)+ling(r). 即,函数和的极限等于极限的和 (2)如果limf(x)=A,lmg(x)=B,则im[f(x)-g(x)]也存在,且 lim[f(x)-g(r)]=A-B=limf(r)-limg(x). 即,函数差的极限等于极限的差 (3)如果limf(x)=A,limg(x)=B,则limf(x)g(x)也存在,且 g AB=limf(x)·limg(x) 即,函数积的极限等于极限的积 (4)如果lmf(x)=A,lmng(x)=B,且B≠0,则imn(存在,且 fc 1m(r Im g(r b lit 即,函数商的极限等于极限的商, 务必充分注意上述四个法则成立的条件是limf(x)与lmg(x)都存在(对于(4),还 要求B≠0).如果这些条件不具备,不要贸然使用这些法则 在求函数的和、差积商的极限时,可能会出现“∞-”型、“0·∞”型、“。”型或” 型的不定式.要确定这些不定式的极限,必须先对数学式子f(x)±g(x)、f(x)·g(x)或 8()本身进行适当的变形与化简然后用四则运算法则求出极限.下面讨论几种常用的方 法 、无穷小分离法 例1求极限imx-5x+6 9 解∵分子的极限lim(x2-9)=0,分母的极限im(x2-5x+6)=0. ∴这是一个“。”型的不定式·显然分子分母都含有非零无穷小因子x-3(x-3) 通过分解因式的方法把它分离出来,得:原式=li x→3时,x≠23,即x-3≠0,故可约去因子x-3得原式=lim3 这时,分子的极限为lm(x+3)=6,分母的极限为im(x-2)=1≠0,由商的法则得 上3 lim(x+3) 原式= 6 m(r 例1这种将无穷小量分离出来并约去的方法称为无穷小分离法 例2求四(1x-13
32 高等数学重点难点100讲 解因为lm、l oO.llm =∞,所以这是一个“∞一∞”型的不定式,不能直 接使用法则我们的方法和步骤是:先通分、再分解因式、然后约去非零无穷小、最后使用商的法 则求极限 原式=lm1+x+x2-3 x1(1-x)(1+x+z)=lim(x+2) lin (x-1)(x+2) x lim -(x +2) lim(1+x+ rl 二、无穷大分离法 例3求lim x+√x+2 解因为分子的极限为lm(√5x-1)=∞,分母的极限为lim√x+2=∝ 所以这是一个“”型的不定式.分子分母都含有无穷大因子√x(x→+∞),把它分离出 来,约去.这时分子分母的极限都存在且分母的极限不为零,可用商的法则得: √5 原式=lim li 2 2 1+ lim 4/1+ 2 例3这样将无穷大因子分离出来并约去的方法称为无穷大分离法 例4求m二去=2 +1 1 解原式=lim 例5求lmyx2++ Wn+ 1+ 1+ √ 解原式=lim li 、分子或分母有理化 例6求lim(√(x+1)(x+2)-x) 解这是一个“∞-∞”型的不定式,对其进行有理化,得 原式=lim [√(x+1(x+2)-x][√(x+1)(x+2+x (x+1)(x+2)+x lim_3I+ 2 +c√(x+1)(x+2)+x
第10讲利用极限四则运算法则求极限 33 这时,原式转化成“一”型的不定式,使用无穷大分离法,得 3+ 原式=lim 1 1+2+1x 3 2 2 v(1+1(1+2+1 例7求lm+z-1 解这是一个“0”型的不定式,分子的有理化因式为√+x+1,分母的有理化因 式为(1+x)2+Ⅵ1+x+1,分母分子同乘以(1+x+1)((1+x)2+Ⅵ1+x +1),并约去非零无穷小因子x,得 原式=lim y(1+x)2+1+x+13 √1+x+1 四、变量代换法 例8求lm 解这是一个“0”型的不定式.为了分离出无穷小因子,我们可以用有理化的方法; 但令t=x,引人新变量则更为简便 原式=1m2-1=i(-1)(2+t+1)simr+t+1-3 (t-1)(t+1) 1 2 1 例9求lm+Nzyx√z 解这是一个“∞-∞”型的不定式,令t=注意:x→0对应于t 原式=Iim[+√-√2-]= 这时原式变成“”型的不定式,分离出无穷大因子√t,并约去得 原式=lim 2 ∞ 121 1 +./1 五、利用有关公式及常用的基本极限求极跟 例10求lm+的+…+ 解原式=m+22+…+"=lw+1)(2n+1) 6
34 高等数学重点难点100讲 (1+)(2+)=3(公式1+2+“+n n(n+1)(2n+1)) 例11求lim(1+a)(1+a2)(1+a2)…(1+a2)(a|<1) 解原式=lmn1·(1-a)(1+a)(1+a2)(1+a2)…(1+a im(1-a2)(1+a2)(1+a2)…(1+a2) lim(1-a2) (公式(x-y)(x+y)=x2-y2) 六、常见错误分析 例12指出下列各题解法中的错误并写出正确解法 (1)lim(2x3-x+1)=lim2x2-limx+1=∞-∞+1=1; (2)lm与+“+…+ n im+lim2+…+lim =0+0+…+0=0; (3) lm[7+1 nn+)· limsinn!=0; sinn!= lim (4)lim lima. - 5)如果 limx,=a就有imx=a,则必有ima= lima.=1. 解(1)的错误是因im2x3=∞,limx=∞,极限都不存在,不能用函数代数和的极限 运算法则.“∞”是一个记号,不能进行四则运算,正确的解法是利用无穷小与无穷大的关 系来求 mx2-x+1m2-1+1=2=0,im(2x3-x+1)=∞ 事实上,当x→∞时2x3与x虽然都趋于∞,但趋于∞的速度不同,前者较后者快得多 所以当x 时,(2x3-x+1)→∞ (2)中的错误是因为当n无限增大时(2)中的项数无限增多,不是有限项,故不能用和 的极限运算法则.正确的解法见例10 (3)中的错误是因为 limsinn!不存在,所以不能用极限乘法法则.正确的解法是:用无 穷小与有界函数的乘积是无穷小的定理来求 n→∞时,1是无穷小s!1,;lm[分+sm]=0 4)中的错误在于:没有注意到x 包含两种情况,即x→+∞与x→-∞;也没有 注意到基本初等函数y=2的基本特性,即当x→+∞时,它严格单调增加至+∞,当x ∞时,它严格单调减少至0.正确解法是:
第10讲利用极限四则运算法则求极限 35 , lim lim x+22+1 1,m2 1+ lim 2-1 不存在 r2+ (5)错!产生问题的原因在于忽视了商的法则的一个条件:分母的极限不能为零,所 以,当a≠0时,结论正确,当a=0时,极限im可能存在,也可能不存在,且存在的话, 也不一定等于1如数列{x}={2+(-1)),有limx=0,而极限lmnx+=lim-n 2+(-1),并不存在,又如)-12°}、有mx=0,而im2=1 2+(-1)”+1
