高等数学作业36系别 班级 姓名学号 第五节全微分方程 一指出下列方程是否为全微分方程: 1.(x-y+1)dx+(y-x+1)dy=0;() 2(3x2y+y3)dx+(x3+3y2x)dy=0;() y(casy-sina sinr )cosy =(cosr-sina siny ) cosI 4.(x-y2)dx-4xydy=0.() 二、选择题 1.下列全微分式中不成立的是() (A)yr rdy= d(ry); (B) (C)亟 d(ln y);(D) rdy yx x'+a2= d (arctan 2) 2若g(x)是连续可微函数,且g(0)=1,并设曲线积分I=g(x) tando g(x)dy与路径无关,则I=(); (A)亏兀; (B)-π; (C)r; (D)√2 8 3.若f(x)可导,且f(0)=1,pyf(x)dx+[f(x)-x2]d与积分路径无关则 xf(x)dx的值为() (A)2(e+1); (B )4 C)3;(D)2(1-e) 三、利用微分公式,写出下列各方程的解: 1.(x+y)(dx-dy)=dx+dy的通解是 2.zdx+yy=(x2+y2)dx的通解是 3. rdr ydy 0的通解是 4.(2x-y)dx+(2y-x)dy=0的通解是 5(x-y2)dx+2xydy=0的通解是 141
四、用两种方法求全微分方程的通解: 1.(1+x)y+(y+x2+x3)dx=0; 2.(r+ siny)dx+(xoosy-2y)dy =0 一142
五、指出下列方程的积分因子,并给出方程的通解: 1.方程(x2+y2+2x)dx+2yy=0的积分因子是,其通解为 2.方程a(dy+2ydx)=xyxy的积分因子是 其通解为 3.方程y(2xy+e)dx-edy=0的积分因子是 其通解为 4.ydx-xdy+y2xdx=0的积分因子是 ,其通解是 六、已知f(0)=试确定f(x),使[e+f(x)]x+f(x)dy=0为全微分方程, 并求此全微分方程的通解 七证明f(2)是微分方程xy-ydrx=0的一个积分因子 143
八、在通过原点及点(2,3)的简单光滑曲线上任取一点,过该点作两坐标轴的平行 线其中一条平行线与x轴和曲线所围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线所围成面 积的两倍,求此曲线方程 九、求一个二元可微函数P(x,y),适合P(0,1)=1,且使曲线积分I1=.(3xy2+ x)ld+P及h=「Pz+(32+)2都与积分路径无关 144
