高等数学作业23系别班级姓名 学号 第七节斯托克斯公式环流量与旋度 填空题: 1.平面向量场A={-y,x}沿圆周x2+y2=a2正向的环流量为 2.向量场A={xy,yz,x}在点M(-1,2,-3)处的旋度otA= 3.设u(x,y,z)具有二阶连续偏导数则ro( gradu)= 、利用斯托克斯公式计算: 1dydx+xdy+dz,其中r为圆周x2+y2+x2=a2,x+y+z=0,若从z轴正 向看去,这圆周取逆时针方向; 2(y-=)d+(2-x2+(x-y)d,其中厂为椭圆y=a,a+b= 1(a>0,b>0),若从x轴正向看去,这椭圆取逆时针方向;
3.小2yxx+3zy-z2d,r是圆周x2+y2+x2=9,z=0,若从z轴正向看去,这 圆周取逆时针方向; 4cd女+ ydzdx t ruddy,其∑是上半球面x=√1-x2-y的上侧 5(y-x)aydx+ yazd-xdy,其中Σ为立方体0≤x≤2,0≤y≤2,0≤ z≤2的表面外侧去掉xoy面上的底面; 90
三、求下列向量场沿闭曲线r(从z轴正向看r依逆时针方向)的环流量 1.A={-y,x,cl(c为常数),r为圆周x2+y2=1,z=0; 2A=(x-z)i+(x3+yz)-3xy2k,其中r为圆周z=2-√x2+y2,z=0. 四、设厂是平面Σ:xcsa+yco+zcsy=p上一条简单闭曲线,对着平面的法线 向量n=1csa,csB,sy|看r成逆时针方向,厂在∑上所围成的面积记为S,求证 dx dy d COSa COs cos 91
五、设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都是连续函数光滑曲面Σ的面积为A √P2+Q2+R2在∑上的最大值是M,求证 Pydz+Qddx+ Tardy≤MA 六、一刚体以常角速度a绕定轴0={csa,osβ,cosy}旋转,求某时刻刚体上点 P(x,y,z)处速度v的旋度