高等数学作业7系别班级 姓名学号 第七节方向导数与梯度 判断题: 1.若x=f(x,y)的两个偏导数存在,则x=f(x,y)沿任一方向4的方向导数都存 在( 2若=f(x,y)在P(x0,y)点沿任意方向的导数都存在,则f(x,y)在P(xo y)对x,y的两个偏导数都存在( af dF 8F 3.若a=F(x,y,z),则方向xy'5}是a在(x,y,z)点变化率最大的方向 二、填空题: 1.函数u=xz-2yz-3在点(1,1,1)处沿向量a=2i+2j+k的方向导数等于 2.函数u=2x2+y2在点(1,1)处沿y=x的垂线方向的方向导数等于 3.数量场∫(x,y,z)=hn(1+x2+2y2+3z2)在点(2,-1,1)处的梯度等于 4.设r=√x2+y2+z2,则 grads= d 1 三、计算题: 1.求函数u=xy2z3在点M(3,2,1)处沿从点M(3,2,1)到N(5,4,2)的方向的方 向导数; 25
2求函数x=1-(+)在点(,)处沿曲线互2+=1在这点的内法线 方向的方向导数; 3.求函数z=ln(x2+y2)在点M(1,1)沿与x轴正向成60方向的方向导数; 4.判别函数f(x,y)=x2+axy在点(1,2)处沿什么方向增加得最快?其最大变 化率是多少?
5.求函数∫(x,y,z)=2x3y-3y2z在点M(1,2,-1)处的梯度及模; 6.设数量场u(x,y,)=x3+y3+x3-3xy,试问: (1)在哪些点的梯度垂直于z轴; (2)在哪些点的梯度等于0 7.函数u=xy2z在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求此方向导数 的最大值
四、设a,v都是x,y,z的函数,u,v的各阶偏导数都存在且连续,证明 (1)grad(uv)=gradu +ugradv; (2) gradf(u)=f(n)gadu,其中f(n)为可微函数 +y2≠0, 五选作题:设f(x,y)={x+y 证明:f(x,y)在点(0,0)处 沿任何方向的方向的导数都存在,但不可微 28一