高等数学作业参考答案 作业1 、(1)不相同,定义域不同.(2)相同.(3)不相同,定义域不同.(4)不相同,对 应法则不同 二、(1)x≥-2,x≠±1.(2)(-1,0)U(0,4).(3)[-1,2].(4)[-1,2];[0, ((0,+0-1(612:()ykg1+x∈(1,1.(8)奇 原点;偶;y轴.(⑨9)(-∞,0);(0,+∞).(10)-2a2+a.(1)-3 8沁0;-cs2xsn2 0.(12) (13)[-,kx,kx+x]k∈2.(14)x (15)y=e, u= arctan, v=Vt, t =x2-1 、(1)C.(2)B.(3)D.(4)C.(5)A.(6)C 四、略 五、(1)()=,g(4)=当,g(-a)=,g(-2)=0 x0. 1>1. (3)v= 2r,定义域h>2r 作业2 (2)xn=(-1)~2n+ 2n+3 (3)x 2n-1(4)100.(5)100 .(6)1 二、(1)C.(2)D.(3)A.(4)A.(5)D 三、(1)vc>0取N=[]+1当n>N时,有√n+1-√n1=√m+1+√n
0.取N=(当m>N时,有12m+1-号=2an+ 2n+10,取N=[a],当n>N时,有yn2+a-1|= n(√n2+a2+n) 0,取N=[g1],当n>N时,有10.99-11=10,取N=[],当n>N时2n2+122(2n2+1) 0,存在N,当n>N时, lyn10,取N=N,当n>N时,|xynl≤|xnly,0,取8=5,当00,取δ=E,当00,取 8=2,当00,取x 当1x1>X时,有1+x从/x0,取X= 当x> 0≤0,限制49, X时,有 于是取b=m10,,.当00,当00时,彐8>0,当0<1x-x1<δ时,有|f(x)
A|0,彐81>0,当00,当00.取8=e,当00.彐N,当n>N时,xn1N1时,x,|>M,又yn→ ∞,3N2,当n>N2时,1yn1>M,取N=maxN,N2,当n>N时,xyn|>M> M成立.故x (2)e>0,x2n→a3N1,当2n>N1时,x2n-a|N2时 N=maxN1,N2}.当n>N时,总有|xna|<c.所以xn→a
五、(1)不存在.(2)不一定.(3)不一定 六、(1)-1.(2)号.(3)1.(4)0.(5)犭.(6) 七、(1)令x,=—1 2nt* mint, =1; liming',=-1两个子列极限不同 2 (2)a=5,b=6 作业6 、(1)v.(2)3.(3)2.(4)e2.(5)x.(6)e (1)D.(2)D.(3)C.(4)C.(5)B. 略 7 四、(1)m(2){1 n =m i (3)2.(4)
八、f(x)在x0连续,所以Ⅴε>0,彐∪(xo),当x∈U(x0)时,有 lf(x)-∫(xo)0 时,可适当选取ε,使∫(xo)-ε>0,从而f(x)>0,当f(x0)0,所以由介值定理, 在(0,a+b)上存在氏,使f(E)=0即证 由介值定理反证. 四、记M=maxf(x1),f(x2),…,f(xn)m=minf(x1),f(x2),,f(xn)},则 ≤[f(x1)+f(x2)+…+f(x)]≤M,由介值定理即得 五、因为imf(x)=A,取E=1,N,当|x|>N时,A-1an,an≤3),且iman=3 八、因为 lim sina2ax-2snaE=1,所以( sinar -2sinar)--(ar)3(x-0) 九、连续区间(-∞,0)∪(0,1)U(1,+∞) 间断点:x=0无穷间断点;x=1,跳跃间断点 、(1)lim(x2+2x+3-x)=1,而im(x2+2x+3-x)=∞ 所以lm(x2+2x+3-x)不存在 (2)lim COST 而lin 1-cosx n ,所以lm √1-s不存在 5
√2 ,b=1 作业9 一、全错 二、1.(1)f(x),(2)-f(xo),(3)2f(xo),(4)-2f(x0),(5)f(x), (6)(a+b)f∫(x0).2 3. 1x-3.6.n!.7.4米/ 秒.8. √3 2 √3r=0 f(x0).10.0 三由定义吗)2D=0),=b)=r0), 两式相加2f(0)=limf(h)-f(-h) 0,所以f(0)=0 四、连续可导 五 b=-1.六、略 七1.f(1)=1m(x)-/(1)=lm(x-1)g(x)=199.2.A=a+b 3.切线方程:2x+y-4=0或6x+y-12=0 作业10 、(ctx)'= 06x)= sin文-cosx -csc I, SInT sIn T sin t CScT) )=_cosr cscx·cotx SIn T 二、(1) +2x (2) y(1m0+13).(3)e(1-sex+tnx).(4) sinr.(5)(r-6)(x-c)+(r-a(r-c)+(x-a(r-6).(6)e(sinr ISin t cosr (7)rInz( 2cosr-rsinx)+roost.(8)8=i+878 、(1)y= 1+2x 1+x+x2) .(2)y (1-1).(3)y=2(2x (4)y=2sin2x.(5)y 2secx·tanx·(1+ -2secr·2x (6)y sinx·ln2+cosx 10′lnl0(1+e)+(1-10) (1+e) .(8)y sinr
四、(1) a+5)(1 五、切线方程:y=2(x-1)或y=2(x+1) 法线方程y=-1(x-1)或y=-( 六()y=3+2x(2)y=(x 2x+1 +x +1)ln (3)y= (4)y= 3(arcsinx) (5)y=-10xe32.(6)y=-12=.sc21.hm2 (7)y= csc-. In2·.(8)y= (9)y=-(4-9x2)sn(4x-3x3) (10)y=-e5(5e3x+3si3x).(1)y=∞x.(12)y=nsin1xos(n+1)z (13) 2a+1=(4)y= luzin lnt(12 Inx+1 3x2+2 (16)y=zhnx(nx+ln(hx万·(17)y=2 +2x(1+2x+x3) (18)y'= (1+2x)(2 4√( 七 2xoosx", d 三cos 八、2=sn2x[f(in2x)-f(ox2x)] 九、g2=(f(x)f(x)+g(x)g(x)√f(x)+g(x)·(1+f(x)+g(x) 作业11 、(1)√.(2)√.(3)√.(4)×.(5)√ ch(1+thr)-shr 二、(1)y=sh(shx)chx.(2)y= .(3) ch (1 +thr (4)y=e(chr shx).(5)y=c2r.(6)y=th'r 三、()y=6(-x2+4x-5).(2)y=3sin2e-
(3)y y (5) y= arcsIn 2 ar (6)y=e(1+2x).(7)y arctan 1+ 四、(1)y=2xe'(3+2x2).(2)y=2 arctan+、2x (3)y (4)y=4co2x a 五、(1)y=2f(x2)+4x2f(x2).(2)y=[f(x)f(x)-(f(x))2]/(x) (3)y=[p(x)+xp(x)]f(xg(x)+f(xq(x)·[2(x)+x?(x) 七、()y=(-1)x2n-3)(m≥2), (2)y)=e[x2+2(1+n)x+n2+n+2] 八、(1)y)=xshx+50hx(2)y0=5!32·5 作业12 2y-2.(2):￥ =-ycosI sin(r (3) sinr +sin (x dr t-e 二、(1) (2)2=-2sc2(x+y)ot'(x+y) 、切线方程:x+y-2a=0,法线方程:x-y=0 四、y(0)=0 五、(1)y +2(3 4 10 (2x+1)2lx(x+2)-3-x-2x+1 SIn 2+cott- (1-e2) )y=2(+2)b Inr-hn(1+r2)+ 2+ +x2) (4)y=( CosT r)nr[(oosr)Incosx-sinr tanr ] 2sec'2Ir 2sin't + sin2t 六、(1) int toost t- cost dr 2cos -sin2t 七、切线方程4x+3y-12a=0,法线方程:3x-4y+6a=0 8
人、①39∞,(2:=+,(2= 九、速率为:5≈0.204米/分 十、a)-0.875(米/秒).b)下端距墙脚号√2米 作业13 、(1)2·(2)f(x0)-x0f(x0).(3)img(x)存在 二、(1)B.(2)C.(3)C.(4)A (1)=zhnhCmx)(2)y=x(x+2zlnx) (3)y=-sn2xcs(2x).(4)y=n0x+x1++√xe(ax≠0) csx,x≤0; 四、f(x) x>0 五、(1)f(0)=-1.(2)f(1)=-22·3;f(3)=0.(3)f)(r)=0 (4)y(1)=-2(1+ln2).(5)y(0)=e 六=f(x)sf(x) f[sinf(x)]·asl/finf(x) 七、(1) 4t (2) sint 八、1x=(-1)n(x-2)(x-1)」 (2)p(y)=-4x2+2x,x.(3)a=b=-1 作业14 一、(1)C.(2)A.(3)D 二、△y=(3x2-1)△x+3x(△x)2,dy=(3x2-1)△x 在x=2处,当Δx=1时,4y=17,dy=11;当Δx=0.1时,4y=1.16,dy=1; 当4x=0.01时,△y=0.1106,dy=0.1l 三、(1)12x2+C.(2)-1∞m+c.(3)√+x+C.(4)m+x)+c (5)sin2r +2oos2x.(6)tan3x+C
四、(1)dy dx.(2)dy -dx. (3)dy =e[sin(3-x) +1 1+ oos(3-x)]dr.(4)dy=8xtan(1 +2x2)sec2(1+2x2)dr. (5)dy=[sinInr cos(Inx )]dx. (6)dy= 2x(2sinx +roost)dx 五1.dy=enx2 f(lnx)f(r)]dr. 2. dy SInT CosT sIn.C d2( sInT dx. 4 sinr sinr Iny+ SInT ③d( sInT cosT SInT ④“ SInr d(x2)-2 CosT d( sn、2 iing dr 22s2sin x 作业15 、R不变,a减少30,△S≈-43.63(cm2);a不变,R增加1cm,△S≈10472(cm2) △V=4πR2△R 三、(1)f(x)=ln(1+x)≈f(0)+f(0)x=x,(2)f(x)41+xN(0)+f(0)x 四、(1)0.5751.(2)0.9933 五、0.0067 / 六、(1) (3)x(1 (5)-1.(6)2x+3y-6=0.(7)dy=()()()h号 (8)0 七切线方程y-e=(e-e2)x.法线方程:y-e= +2y-4=0,2x 3=0 九因为f(xa+△x)亠f(x0)+f(x0)△x,令f(x)=Y,取x。=1,Ax=b 则√a”+b 十、(1) COsT (2) 10