高等数学作业8系别班级姓名学号 第八节多元函数的极值及其求法 判断题 1.设P0(xo,y)为函数z=f(x,y)的驻点,则P0(xo,y)为函数z=f(x,y)的 极值点( 2.设P0(xo,y)为函数z=f(x,y)的极值点,则Po为f(x,y)的驻点 3.设z=f(x,y)在P(xo,y)的一阶偏导数存在,则P0(x0,y0)是z=f(x,y) 的极值点的充分必要条件是:fx(x0,y)=0,f、(x0,y0)=0(); 4.设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数,则fx(x0,yo) =0,f、(x0,y0)=0,[f(x0,y)]2-f"2(x,y)·fy2(x0,y)<0是函数x=f(x, y)在(x0,yo)取得极值的充分必要条件( 二、填空题: 1.若f(x,y)=2x2-ax-xy2-2y在点(1,-1)取得极值,则a= 2.函数z=x3+y3-3xy的驻点为 极 值为 3.z=e2(x+y2+2y)的极值点是 极 值是 4.方程2x2+2y2+x2+8xz-x+8=0确定的函数z=z(x,y)的极大值点为 ,极小值点为 三、计算题: 1.求函数∫(x,y)=x2+x+y2+x-y+1的极值; 29
2求函数f(x,y)=zy+2+y(a>0)的极值 3.在把正数a分成三个正数之和,使它们的乘积最大,并用此结果证明:yxy≤ (x>0,y>0,z>0) 4.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0及x+2y-16=0的距离平 方之和为最小;
5.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体,当矩形的边长各为多少时 圆柱体的体积最大? 6.在椭圆x2+4y2=4上求一点使其到直线2x+3y-6=0的距离最短,并求最 短距离; 7抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一个椭圆,求原点到这椭圆的最 长与最短距离; 31
四、选作题 1.求函数x=sinx+siny+sn(x+y)在闭域0≤x≤5,0≤y≤芬上的最大 值及最小值; 2.已知两平面曲线f(x,y)=0,9(x,y)=0,(a,)和(,n)分别为两曲线上的 点证明:若这两点是曲线上相距最近和最远的点,则有=f,(a,) P (2 (E 并利用上面结果求椭圆x2+2xy+5y2-16y=0和直线x+y-8=0间的最短 矩离
