第1讲函数概念(1) 第1讲函教概念(1) 第1讲至第4讲讨论的是同一个主题:函数 高等数学研究的对象是函数;研究函数所采用的方法是极限因此在讨论求函数极限的 各种方法之前,务必下功夫对函数概念及其性质有一个充分的理解与掌握. 、函数的定义 设有两个变量x和y,如果对于x的变化范围内的每一个值,y按一定规则∫有一个确定 的值与之对应则称y是x的函数记作y=f(x)x称为自变量.自变量x的变化范围D 叫做这个函数的定义域.当x遍取D(也记作D)上各个数值时,对应的函数值全体组成的 数集2r={y|y=f(x),x∈D}称为函数的值域 函数概念的两要素:①定义域:自变量x的变化范围(若函数是解析式表示的则使运算 有意义的实自变量值的集合即为定义域):②对应关系:给定x值,求y值的方法 注意当且仅当给定的两个函数,其定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数, 否则表示不同的函数 例1下列各题中f(x),g(x)是否相同?为什么? (1)f(x)=1nx2,g(x)=2lnx;(2)f(x)=x,g(x)= (3)f(x)=x+1,g(x)x2 解(1)不相同,因为定义域不同,f(x)的定义域为x≠0,而g(x)的定义域为x>0. (2)不相同因为对应法则不同,g(x)=√x2=|x|≥0,g(x)=√x与y=1x为 相同的函数. (3)不相同,因为定义域不相同,g(x)的定义域为x≠1,但若补充定义g(1)=2,则 f(x)=x+1与g(x)={x-1 x≠1; 相同. 图1-1是上述三对函数的图象,从生动直观的几何图象上,我们更能感受到它们的异同 之处 注意函数的表示法只与定义域和对应关系有关,而与用什么字母表示无关,即f(x) f(t)=f(a)=…,简称函数表示法的“无关特性”,这是由∫[g(x)]的表达式求解f(x)表 达式的有效方法, 例2(1)已知2f(x)+f(1-x)=x2,求f(x);(2)已知f(x+1)=x2+1,求 ∫(x);(3)已知∫(sin)=1+cosx,求∫(x) 解(1)利用函数表示法的无关特性,令t=1-x,即x=1-t,代人原方程得 2f(1-以)+f(t)=(1-t)2,即2f(1-x)+f(x)=(1-x):, 解联立方程组 2f(x)+f(1-x)=x2 2/(1-x)+f()=(1-x)得:(x)=3x2+ (2)根据原函数左边的形状对右边配方变形为:f(x+)=(x+)2-
高等数学重点难点100讲 利用函数表示法的无关特性,令t=x+士,得f(t)=(2-2)2-2=4-42+2, 即f(x)=x4-4x2+2. Ax)Inr g(r)=2In 条曲线 关于y轴对称的两条曲线 (f(x)=ln的一攴 g(r) f(r)=x 过原点的直线 过点的折浅 f(x)=x+1 两条卞自线 条直线 (C) 图1-1 (3)由于cox=1-2i3,从而f(s,)=2-、出,所以,令n,= 得:f()=2-212,即f(x)=2-2x(|x|≤1). 例3设∫(x)+∫(-l)=2x,其中x≠0,x≠1,求f(x). 解利用函数表示法的无关特性,令!= 即x 代入原方程得: +∫(t) 即f(x)+f( 再令 即 代入上式,得 )+f("-1)=2(=1).即f(1)+f(=1=2(x=1 ∫(x)+f( (1.1) 解联立方程组:{f(x)+f( 1.2) )+f 2( x
第1讲函数概念(1) 3 消去∫(-1),∫(;1),得f(x)=x+1+ 函数定义城的求法 注意求复杂函数的定义域,就是求解由简单函数的定义域所构所的不等式组的解 在实际问题中,函数的定义域是由所研究问题的实际意义来确定的:一般数学式子给出 的抽象函数y=f(x),如果没有指明自变量与因变量的具体意义(如物理意义,几何意义 等)或其他声明,则认为这个函数的定义域是使得这个数学式子有意义的自变量的一切实 数值的集合;如果表示一个函数的解析式是由几个数学式子组合而成的,则这个函数的定义 域就必须取这几个数学式子允许值范图的公共部分 在求定义域时应注意到:①分式函数的分母不能为零;②偶次根式内的量不能取负值; ③对数的真数必须取正值:④y=tanx中的x≠k+n,y=cotx中的x≠k,k是整数; ⑤函数y= arcsin,y= arccos r的定义域为-1≤x≤1. 例4求函数y=ln -+arcsin 2 5的定义域 解设y=1n2。,y2= arcsin3二1.对于y2 >0,即x(x-2)>0 0 由此,得 或2或x2或x0);(3)f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义 域 解(1)为使f(sinx)有意义,必须使0≤sinx≤1,即f(sinx)的定义域为[2kx,(2k +1)r](k=0,±1,±2,…) (2)为使f(x+a)(a>0)有意义,必须使0≤x+a≤1,所以∫(x+a)(a>0)的 定义域为[一a,1一a] (3)为使f(x+a)+f(x-a)(a>0)有意义,必须使0≤x+a≤1与0≤x-a ≤1同时成立即-a≤x≤1-a与a≤x≤1+a同时成立若00)的定义域为[a,1-a];若a>时,f(x+a)+f(x-a)(a> 0)的定义域为空集
