第19讲导数定义(1) 61 第19讲导教定义(1) 与连续性概念一样,导数也是高等数学中的一个很重要的基本概念.这一讲与下一讲 我们讨论三个方面的内容:一是函数在一点处可导的定义,以及极限、连续、可导三者之间的 关系;二是导数的几何意义和物理意义;三是定义的应用 、函数在一点处可导的定义 定义1如果函数y=f(x)在点x的增量△y=f(x0+△x)-f(x)与自变量的增 量Ax之比,当4x→0时的极限 A0ax{im∫(x+△x)-f(xo) lim ay △x 存在,则称函数f(x)在点x可导,并称此极限值为f(x)在x。点处的导数,记为f(x0)或 y|,,即 f(ro)=lim o+ Ar)-f(ro △一·0 ▲ 定义2在定义1中,令x+4x=x,则在点x的导数可以写成: f(r)=Ii f(r)-f(Io) 以上两个定义是等价的.在讨论函数在某点处的可导性时,它们各有所长 例1以初速v上抛的物体,其上升的距离S和时间t的关系是 s()=-2g 求:(1)上抛物体的速度v(t);(2)经过多少时间,它的速度为零? 解(1)定义1指出,求导数的步骤是:(i)求增量4y,(i)算比值,i)取极限.我 们就按定义1求υ(t) (i)在某一指定的时刻t,给自变量以增量A,相应地,函数增量为 △s=S(+4)-S()=(+4)-2g(+4)-w+2g =·a-g4-2g·(4) (i)比值 (i)取极限,得在时刻t的速度v(t)=lim Vo- gt 4-0 (2)由v()=v-g=0,得t=,所以经过时间,它的速度为零 g 例2设gx)在x=a点连续,试问f(x)=(x-a)g(x)在x=a是否可导? 解用定义2较为简便 imnf(x)-f(a)=im(x=a)x)=(a=a)ga)=limg(x)=ga)
62 高等数学重点难点100讲 f(x在x=a可导,导数值为f(a)=g(a) 例3设∫(x)=x(x-1)…(x-100),求f(0) 解由定义2,得f(0)=lim f(x)-f(0)=limx(x=1)…(x=1002 r-0 x→0 lim(x-1)(x-2)…(x-100)=100! 在讨论分段函数在分界点处的导数时,常用到定理:函数y=f(x)在点x有导数的充 分必要条件是在该点的左导数和右导数都存在且相等,即f(x)存在台-(x0)=f+ (x) 例4设F(x)=mx{x,x2),x∈(0,2),试问F(x)在x=1处是否可导? 0<x≤1 解 F(x)= 1<x<2 左导数F(1)=lm(2=h(=lmx-1=1 右导数F+(1)=lim(x)-F(1)=i,x-1=2 由于F-(1)≠F+(1),所以F(x)在x=1处不可导(这时,F(1)不存在) 例5已知 f(x) aT+b 为使f(x)在点x=x0处连续且可导,应当如何选取系数a和b? 解(1)在x=x处, 左极限f(x0-0)=limf(x)=limx2=x, 右极限f(x+0)=limf(x)=lim(ax+b)=axo+b, 由f(x)在x=x0点的连续性有x3=ax+b (2)在x=x处, 左导数-(x。)=lim f(x)一f(x0) lim 2x0 一x 右导数f+(x)=linf(x)-f(x)=imax+b)-式 0 lim (ar+b)-(aro+6)= lim a(r- Io) 由f(x)在x=x处的可导性知,f-(x。)=f+(x).即2x。=a, xo=axo+ b a=2 由 解出 0=a ∴当a=2x,b=-x时,f(x)在x点连续且可导 注意由导数定义与函数的连续性定义可以推知两者之间的联系与区别:①联系:若 f(x)在x点可导,则必在x0点连续,即一旦根据导数定义验证了函数导数存在则它一定 在该点连续若f(x)在x点连续,但在该点却不一定可导;若函数在x间断,则函数必不可 导.②区别在讨论连续性时要求左极限f(x0-0),右极限f(x+0)存在相等且等于函数 值f(x0),才能说f(x)在x处连续;即使f(x)在x处不连续,但f(x)在x处仍可有定义 即f(x)仍可存在)而对导数而言,只要f+(x0),f(x)有一者不存在,或者二者存在 但不相等,f(x)在x0处总是没有定义的
第19讲导数定义(1) 63 、导数的几何意义及应用举例 函数f(x)在点x处的导数f(x)等于曲线y=f(x)上点M(x0,f(x)处切线的斜 率,即 f(x)=tana(a≠n), 其中a为切线的倾角因此,过点(xo,f(x0)的切线方程可写为 f(x)=f(x0)( 法线方程为 严(xn(x-x)((xn)≠0) 例6在抛物线y=x2上依次取横坐标为x1=1,x2=3两点,作过这两点的割线,问 抛物线上哪一点的切线平行于这条割线? 解对应于x1=1得y1=1,对应于x2=3得y2=9,过A(1,1)、B(3,9)两点的割 线斜率 K 抛物线上点C(x,y)处的切线斜率为 lm=lin(x+△x)2-x lin 2x·4x+(△x)2 △0 Ar 令2x=4,得x=2,对应于y=22=4 ∴抛物线上C(2,4)点处的切线平行于割线AB.C(2,4)点处的切线方程为 y-4=4(x-2)或y-4x+4=0. 例7试证:曲线xy=1上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为一常 数 证曲线y=1在其上任一点C(x,y)处的切线斜率为 1 y(x)=limy(x+△x)y(x) △x lim Ar0 lim x0x(x+△x) ox(x+ Ar) 过C(x,y)的切线方程为 (X-x)(X,Y是切线上点的流动坐标) 令X=0,得截距Y=y+ 12 令Y=0,得截距X=x+x2y=x(1+xy)=2x 所以切线与坐标轴所围成的面积为S=·2·2x=2.可见此面积与切点C(x,y)无 关,故本题得证 例8试证:抛物线√x+√y=√a上任一点处的切线截两坐标轴的截距之和等 证由√x+√y=√a,得y=a+x-2√a√x,曲线上点(x,y)处的切线斜
64 高等数学重点难点100讲 率为 y(x)=lim (a+x+4x-2√a√x+4)-(a+x-2√a√ △x lin4x-2√a(√x+Ax L √x+Ax+ 过切点(x,y)的切线方程为 Y X-x 把上面的方程化为截距式方程得 z+√x+y+√z 截距之和为 (x+√xy)+(+√xy)=x+2√xy+y=(√x+√y)2 导数的物理意义及应用举例 路程是时间t的函数s=s(t),则s(t)在t=t处的导数s(t0)表示在时刻t0时的瞬 时速度 长度为x的线段的质量为m=m(x),则m(x)在点x处的导数m(x)表示该线段在x 处的线密度. 例9设物体绕定轴旋转,在时间间隔[0,]内转过角度8,从而转角是t的函数:0 (),如果旋转是匀速的,那么称如=为该物体旋转的角速度,如果旋转是非匀速的,应怎 样确定该物体在时刻t0的角速度? 解如果旋转是非匀速的首先求出角速度在时间区间[tl,t+4]M>0)或[t+ 4,10](4<0)上的平均变化率:a(t0) A(to At)-e(to) 然后令→0,求出角速度平均变化率a(t)的极限即是物体在时刻t的角速度a(t) lim A(to +At)-e(t) d0 dt =6"(t0) 例10设在零点时甲船以每小时6km向东行驶,乙船在甲船以北16km,以每小时8km 向南行驶,问一小时后两船相离的速度是多少? 解速度是路程函数的导数,故关键在于求出两船相距的路程关系式 设t小时后,两船相距s=s(t)km,依题知 6t)2+(16-8t 4t+64. 按定义知:一小时后两船相离速度为 s(1) m3(2=12=m242 li 2(252-64+39) (t-1)(√25t2-64+64+5) in(=1)(25t-39) √252-64+64+51 1 102539)=-28(km/h)(速度中负号表示两船距离在减少)