高等数学重点难点100讲 第23讲反函教的导数、双曲函教和 反双曲函数的导数 、反函数的导数 反函数求导主要依据的是定理:设函数x=9(y)在(c,d)上单调可导且y(y)≠0,则它 的反函数y=f(x)在y)的值域(a,b)上也可导,且f()=d(y(反函数导数公式 例1试证:(1)( arsh.x) ;(2)(arche √1+ ,(x>1); (3)(artha)' 证(1)设x=shy为直接函数,则y= ashe是它的反函数,函数x=shy在区间I, =(-∞,+∞)内单调可导,且x,=chy=>0.因此由反函数求导公式知在 对应区间I2=(-∞,+∞)内有 但由x=e e 2得(e”)2-2xe-1=0,解出e=x士√x2+1,因e>0,所以ey √x+1+x(舍去x-√x+1),从而e”=√x+1-x,进而得:y1=-2 即( 1 arcs.C (2)设x=chy是直接函数,则y= archa是它的反函数,函数x=chy在区间I,=(0, +∞)内单调地从 limch=1增加至 lim chy=+∞,可导,且xy=(chy)= 2 =shy>0.因此,由反函数求导公式知:在对应区间I=(1,+∞)内 2y,由x=chy,有x=七,由此得e=x士√x-1,当y∈(0,+ ∞)时,e”>1,故ey=x+√x2-1(舍去e=x-√x2-1),从而ey=x-√x2-1, 进而得yx 2√x2-1 ,即( archs) 1(x>1) (3)设x=thy为直接函数则y= arthr是它的反函数,函数x=thy在l=(-∞, +∞)单调地从 lim thy=lims-e1增加到mthy=1,可导且x,chy>0. y-ooe+e-y 因此由反函数求导公式知在对应区间I=(-1,1)内y4=1=chy=(e+e-12 2 e2+e-z+2 x 由x=ey+ey 即 得 +x,从而y 设++H+2+211 ,即( artha)= (|x|<1)
第23讲反函数的导数、双曲函数和反双曲函数的导数 75 例2设y=x+e,求它的反函数的定义域和反函数的导函数 解因为x在(-∞,+∞)上单调增,e在(-∞,+∞)上单调增,所以y=x+e 在(一∞,十∞)单调增,又yx=1+e>0,所以必存在单调连续反函数x=x(y)且在 (-∞,+∞)上可导,导数为 yr 1+ 例3证明由方程y+3y=x定义的单值函数y=y(x)存在,并求其导函数y(x) 解利用反函数与直接函数的关系先证明由方程y2+3y=x定义的单值函数y y(x)存在再用反函数求导法求解 设x=f(y)=3+y,其定义域为(-,+∞),值域为(-∞,+∞),且dy=3+ 3y2>0,可见x=f(y)在-∞<y<+∞内单调增加且可导,从而在-∞<x<∞内 存在单值的反函数y=y(x)且y(x)=1 3(1+y,其中y是由方程y+3y=x确 定的隐函数. 例4已知f(x)=3x2+e,在x=1处f(1)=6+e,f(x)有反函数y(x),求y(3 +e). 解利用反函数导数公式y4|。 y I yeyo 由于当x0=1时对应y=f(1)=3+e,若记y=3x2+e的反函数为x=y(y),从 而y(3+e)=x f(1)6+ 例5若y=f(x)存在单值反函数x=g(y),且yx≠0,y"≠0,求x"y 有人这样解:由x,=六得 上述解法对吗?若不对,请指出错误,并给出正确解答 解上述二阶导数解法错误,下面给出正确解法 BBRe(<4, ), &ARR 4&( ), 3. 8 8 53281361*81819 BRR9 y,x,线一兴 同理可得 (2 、双曲函数与反双曲函数的性质 首先要指出的是:不少初学者往往只重视对三角函数、反三角函数等基本初等函数的学 习,而忽视了对双曲函数反双曲函数的研究.这种认识是不妥的,因为在实际问题中常常涉 及在后继课程中常常要用到、在科技文献中常常出现有双曲函数、反双曲函数因此,我们 应该了解并掌握这两类函数的性质(见下面的表23-1)
76 高等数学重点难点100讲 三、双曲函数、反双曲函数求导公式 1.(shx)=chr 2.(chr)=shz 3. (thz)=ch 4. arsha)Vi+2 5.(arche)' (x>1) 6.(arthr (|x|<1) 牢记这些公式对于积分运第会带来很大方便如立即可知积分 arson √1+ +C=ln(x+√x2+1)+C, dr arch +C=In(x+x-1)+C 表23-1 双曲函数、反双曲函数 名称 定义式 性质 要点 图形 双曲正弦 奇函数, 单调增函数 双曲余弦 双曲函数 偶函数 hr= 双曲正切 奇函数, lim thx s 单调增函数, lim thr= chr 有界函数 反双曲正弦 arche 奇函数 ln(x+√z+1)单调增函数 <x<+∞) 反双曲余弦 archa 反双曲函数 单调增函数 y≥0 ln(x+√x2-1) (1≤x<+∞) 反双曲正切 earth lim artha=-∞, arth 奇函数, 单调增函数iahx=+∞ (-1<x<1)