第21讲运用四则运算法则和公式求导数 第丛1讲运用四则运算法则和公式求导数 要正确迅速地求出函数的导数我们首先应该牢记基本初等函数的导数公式,并熟练运 用导数运算的基本法则还应该根据函数的特性先化简(如果能化简的话)再求导 例1y ,求y 解法1用商的求导法则求导,得 2x (x2+1)√x-(x2+1)(√x 2 解法2用积的求导法则求导,得 y=[(x+1)xy=(x2+1)x+(x2+1)(x+y 2x·xz+(x2+1) 解法3先化简再用和的求导法则求导,得 r2+x2 .y=(x2+x)=(x)+(x1)=2 显然,解法3简便 例2设y= 求 解不要直接用商的求导法则应先化成幂函数y=x2+手-号=x,再用幂函数的求导 公式得y=2x 例3设y ,求y. 1 解先化简为y=1=x,再求导得y=2 2 例4 cos 2 求y sInT CosT 解先化简后求导,y9os2x-sin2x cosT sInT SInT cos T y=(-- sinr)'= sinx -cosx 例5设y= SIn"T in2. +cotr 1+tan 2 ,求y 解若对函数直接求导,不但计算过程繁琐,而且容易出错,我们可以先化简得 SIn T CoS T sinx sinx+ cosx sin2Jr inr+ cosr sinx+cosx sinr + cosI sin2x-sinxcosx+ cos2x sinzcosx=1 y=0. 例6已知y=x(2x-1)(x+2),求y
70 高等数学重点难点100讲 解化积成和再求导,y=2x3+3x2-2x,所以y=6x2+6x-2 例7已知y=4+52-10x,求y 解化商成和再求导,y=4x+5-10x,所以y=4+15x1=4+15 例8设y=x°·a(a>0),求y 解利用积的求导法则得 y=(x")·a+x·(a")"=ax-1a+alma·x=x"a+lna. 注意本题易犯下面的错误 ax"-a2+x°·xa-或y=ax""a+x°a 前者是把指数函数a误认为幂函数,后者是把a与e的求导公式混淆起来了,可见, 牢记基本初等函数的求导公式并且在求导前认清函数的类型是很重要的 例9设∫(x)= e.r,求f(0).指出下面解题中的错误,并写出正确解法 ∵f(0)=ecos0=1,∴f(0)=[f(0)]=(1)=0. 解上面的错误是把f(0)写成了[f(0)],这里要注意f(x)与[f(x0)]是不同的, f(x)是函数f(x)在x=x处的导数,即导函数f(x)在x=x处的函数值f(x)|,-; 而[f(x0)y是函数f(x)在x=x处的函数值f(x)|-,=f(x)的导数,f(x)是常数所 以其导数总是零·因此,本题的正确解法是,第一步先求导函数: f(x)=(e'cosr)=(e)cosx+e.(cosx)=e(cosx-sinr 第二步,求导函数在x=0处的值,得 f(o)=f(x)l.o=e(cosr -sinr)1g-o=1. 例10设f(x)=(x+1)(x+2(x+35,求f(1) 解由于(x-1)在x=1处的值等于0,所以把∫(x)看成(x-1)与 (x+1)(x+2)(x+3的积,按积的求导法则求导,得 f(x)=(x-1) (x-2)(x-3) (x-1) 2)(x-3) (x+1)(x+2)(x+3) (x+1)(x+2)(x+3) ∴P(1)=f(x)|x-1= (x-2)(x-3) x+1)(x+2)(x+3)|x-1 例11已知f(x)=(x-1)g(x),g(x)在x=1处连续,g(1)=1,求f(1) 有人仿照如上例10的解法,给出如下的解法: f(x)=[(x-1)g(x)]=g(x)+(x-1)g'(x), ∴f(1)=f(x)|-1=g(1)+(1-1)g(x)=g(1)=1 请回答,这样解对吗?如果错了,请给出正确解法 解上述解法是错的.因为题中未假设函数g(x)可导,所以不能使用积的求导法则对 1)g(x)进行求导运算我们只能按导数定义求出导数 f(1)=lmf(x)-f(1)≠lm(x-1)g(x)=0=1g(x)=g(1)=1. x-1