第33讲泰勒中值定理(1) 103 第33讲泰勒中值定理(1) 泰勒中值公式有着十分广泛的应用,第33讲至第35讲我们首先讨论求函数的泰勒公 式的基本方法,然后讨论它的一些简单应用 设函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,则当x∈(a,b) 时有 f(r)=f(ro)+f(ro)(r-To)+ f(x0) (x-x0)"+Rn(x) n I 该公式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,其中多项式pn(x)=f(x)+ P(x)(x-xn)+…+f"(x)(x-x,y称为f(x)按(x-x,)的幂展开的n次近似多 项式.R,(x)称为余项,泰勒公式中的余项常用的有两种形式: (1) () R,(x)=(+1)1(x-x)y+(在x与x之间) [x+0(x=x) (n+1)! (x-x0)1(0<0<1), 称为拉格朗日型余项 (2)Rn(x)=o[(x-x0)]称为皮亚诺型余项. 在泰勒公式中,若展开点x0=0,则称为麦克劳林公式: f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0) fn)(0) fn+1)(0x) n (n+1)! (0<0<1),或 f(x)=f(0)+f(0)x+ m"(x) +…+ fm(0) 2 n!x”+o(x”) 、求函数的泰勒展开式的基本方法 求一个函数的泰勒展开式有两种方法 1直接法 求出所给函数在x=x0处的各阶导数值f(x),f(x),…,/(x0)以及∫”()的表 达式,代入f(x)(具有拉格朗日型或皮亚诺型余项)的泰勒展开式 例1求函数f(x)=x=1在x=2附近的三阶泰勒展开式 解第一步:首先求出f,f,m,f的表达式 1 1 f(x)= ,f"(x 2! (x-1)4 f4(x) 1) 第二步:求出f(x)、f(x)、f(x)、f(x)在x=2处及f()在=x0+6(x-x0)= 2+6(x-2)处的值 f(2)=2,f(2)=-1,m(2)=2,f(2)=-3!, f[2+6(x-2)]= [1+(x-2)] 第三步:写出∫(x)的泰勒展开式
104 高等数学重点难点100讲 把上面各值代入泰勒公式: f(x)=f(x)+尸(x0)(x-x)+ m"(x) 2! (x-x0)2+ 6( 41 (x-xo)4,得 =f(2)+f(2(x-2)+P(2)(x-2)2+m(2) (x-2) +f[2+6(x-2)](x-2) 2-(x-2)+(x-2)2-(x-2)3 [1+(x-2)(x-2)(<1) 例2求函数f(x)=ln1-x的n阶麦克劳林公式 解(1)求f(x)(=1,2,…,n+1); f(x)-11+x=ln(1+x)-ln(1-x); r 「"(x) 2 2 +x)3(1-x) fn+(r) 1 n! (2)求f"(0)(i=0,1,2,…,n)及f(x) f(0)=0,f(0)=2,f"(0)=0 f"(0)=2·2!,…,fn(0)=(n-1)
第33讲泰勒中值定理(1) 10 (1)e=1+x+a,x2+…+x 1 或c=1+x+2:x2+…+nx+a(x) (2)sinx=x31+…+(-1)(2n-1)!(2n+1sin+(2n+1)r 或sinx=x-1x2+…+(-1) (2n-1);+o(x); 或Csx=1_1x2+4,x4+…+(-1)-1x2:x(-1)2ra cosT x4+…+(-1)-、n-2) cos$+2n (2n)! 1)! (4)la+2)=x-5+3-…+(-1y +(-1) (n+1)(1+3)”1 或ln(1+x) ) s)(1+x)=1+ax+(n1x+…+ a(a-1)…(a-n+1) a(a-1) 1(1+)°n1, (n+1)! 或(1+x)=1+ax+2!x2+…+9(a-1)…(a=n+/”) a(a-1) 例3求f(x)=√1+ sinr的三阶麦克劳林公式 解只需利用(1+x)°与sinx的两个麦克劳林公式,很方便地可求出 1/1 f(r)=(1+ x)sinr 22 1+2x+ 2! 22 -x3+o(x3) 3 + 其中两个麦克劳林公式相乘时,所有高于3次的部分,当x→0都是比x更 小,因而用o(x3)表示(关于高阶无穷小的运算,参看第14讲) 注意①不是任何函数都能在它的定义域内的任一点展开为n阶泰勒公式.例如, f(x)=x在x=0处只存在一阶和二阶导数,因此,f(x)=x只能在x。=0处展开为0 阶、一阶、至多二阶泰勒公式;又例如,f(x)=lnx在x=0处无定义,所以在x=0处不能 展开为泰勒公式;②带拉格朗日余项和皮亚诺余项的泰勒公式中对∫(x)的条件是有差异 的,后者只要求f+1(x)存在;③读者牢记上面的五个展开式对以后的学习与研究是非常 必要的, 、利用泰勦公式求近似值 泰勒公式在近似计算中可以使函数的近似值更精确如果|八+(x)|≤M则∫(x)≈
106 高等数学重点难点100讲 ∫(x。)+f(x)(x …+1f(xa)(x-x)",其误差|R(x) 1) n+1(x-x)1≤a+1 x-x|∵它是用微分代替增量的近似公式(参看第29 讲)的进一步推广 例4计算√e的近似值,使误差小于0.01 解第一步:选函数选展开点 √c=e=e|-2与0较接近,且C在x=0处的各阶导数值显而易见; ∴取函数f(x)=e',取展开点xo=0. 第二步:求当xo=0时,f(x)=e“的泰勒展开式即麦克劳林公式 e=1+x++÷,+…++Rn(x) 其中Rn(x)= m+1):x”(0<6<1) 当 时, 2+2 +… 7 (n+1)!2 (0<6<1) 第三步:利用拉格朗日余项估计误差 根据误差要求确定n,当x=时 AR,|=an+1):(2)<2,(n+1)<2+(7n+1):=2(n+1) 令四(7+D)1010可用代入检验法求n,当n=3时, R3|< 3+1)!192 5.21×10-3<10 即取前四项的和作为e的近似值,其误差(称为截断误差)R2<10 第四步:由泰勒展开式计算出近似值 计算前四项时还要产生由于四舍五人引起的误差(称为舍入误差),为了使截断误差与 舍入误差的和小于10-2,计算时应取三位小数(第四位小数四舍五入),于是 1+÷ ≈1.000+0.500+0.125+0.021 1.646≈1.65 √e亠165 从上例可以看出:在选择函数f(x)和确定展开点x写出∫(x)在x。处的n阶泰勒公式 的过程中,选择f(x)和x的原则是:①使f(x)|xx等于所要计算的数值A(例如上例中的 数√e);②f(x)在含有x0的某个区间内(x1也在这区间内)具有直到(n+1)阶导数 f(x)(n=1,2,…)容易算出;③|x1-x|即x1与x两点间的距离应尽量小