44 高等数学重点难点100讲 第14讲元穷小与无穷大阶的比较 a与P是同一极限过程中的两个无穷小量(无穷大量),但趋于零(趋于∞)的“快慢”却 有程度上的差异.无论是在实际应用还是在理论研究中,都需要我们搞清楚趋于零(趋于 ∞)究竟“孰快孰慢”为此,引进建立“无穷小(无穷大)的阶”的概念 、无穷小阶的比较 1.高阶无穷小(o(a) 设a,B均为无穷小,若imB=0,则称P是a的高阶无穷小,记作:=(a),或称a为 B的低阶无穷小 例1当x→0时,sinx2与tanx相比,哪一个是高阶无穷小? 的无穷小:sinx2=0(anx)(x→0anx·x=0,因,当x→0时,inx2是比tanx高阶 解由于lm SInJ inT co tanT 例2(单项选择题)当x→0时,下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小?() (A)x2:(B)1-cosx: (C)tanx- sinx; (D)In(l+r2) cosT 解i 1, lim In(1+ r2=limIn(1+ )=lne=1. r-o SIn- 从 lim, im sin x anx一sinx 一Slnx 1 sinr (-cos.r )sinr cosT cosT tanr- SI 及 =1,知:im lim tanr- sinI lim 1-cos.I tanr -- sinx tanx一sinx 所以 0ln(1+x2) 故按定义知tanx-sinx是其他三个函数的高阶无穷小,选C 2同阶无穷小(O(a)) 设a,B均为无穷小,若mB=C(C≠0),则称B为a的同阶无穷小,记作:P=O(a) 例3证明:当n→∞时,sin(2r√mn+1)与是同阶无穷小 证首先注意到sin(2r√n2+1)是当n→∞时的无穷小,事实上 sin(2TVn2+1)=sin2n -(2nT-2r n2+1)]=sin[(Vn+I-n)2T] 2 sIn n2+1+n in sin(2πvn n2+1+n ·2π=丌, 1+ √n2+1+ 按定义,当n→∞时,sin2x√n2+1是1的同阶无穷小 例4证明2x-x2=O(x)(x→0)
第14讲无穷小与无穷大阶的比较 45 证:im丝x 2,·2 =O(x)(x→0) 上0 3.等价无穷小(B~a) 设a,}均为无穷小,若1mB=1,则称为a的等价无穷小,记作:B~a.如果B~a,则a 例5证明1+x-1~x(n为正整数,x→0) 如1-2m [(t+1)-1] lim t-o [r+nn-1+…+Cn-2+C] =1mr+nr2=+…+c:t+n=1 按定义知,当x→0时,1+x-1为的等价无穷小 4.k阶无穷小 如果B(x)与[a(x)](k为正实数)是当x→x0(或∞)时的同阶无穷小,即 lim ralr)r C(C≠0),则称R(x)是关于a(x)当x→x(或x→∞)时的k阶无穷小 特别如果当x→x时Rx)是关于x-x的A阶无穷小即m乙22,=CC≠ 0),那么就简称B(x)是当x→x时的k阶无穷小;如果当x→∞时,(x)是关于的k阶 无穷小,即inB马=CC≠0),那么就简称(x)是当x→∞时的k阶无穷小 1 例6确定下列无穷小在指定极限过程下的阶 (1) sin 3r,x→0;(2)tan +x2x→∞;(3)1 +In'r 4)x√x,x→0+及x→0-;(5)Vx+√x+√x,x→0 解(1)由lm-1知s∨当x→0时是阶无穷小; tan tan (2)由lim Im 2·#==1知1mn1+=当x→时是2 阶无穷小; (3)由Im+ln2 m+1nx=1知1+1mz当x→+∞时是关于mn的2 阶无穷小
46 高等数学重点难点100讲 (4)由lim =lim f=l, lim 1(t=-x)知: x√x当x→0+时是关于x的阶无穷小,当x→0的是关于(一x)的2阶无穷小 5曲V++-√+√x+1~xa-0)知 √x+√x+√x是x的阶无穷小 在求极限及近似计算等方面涉及高阶无穷小之间的运算,下面讨论其运算规律 5高阶无穷小的运算律 当x→0时,(1)o(x")土0(x")=0(x"); (2)当m>n时,0(x)土0(x")=0(x”) (3)o(x")·o(x") oCrm+R 4)设g(x)有界,则g(x)·0(x”)=0(x"). 证(只证(2),(3),其余请读者仿证) (2)因为o(xm)与o(x”)分别表示:lim 0=0,lin0(x") =0,所以 lio(x")+0(x") xmn+0(x”) =0(m-n>0) 故o(xm)+0(x")=o(x"),同理有:o(x)-0(x")=o(x)(m>n>0) 可见,作加减的极限运算时可以去掉高阶的无穷小部分 (3)因lm(x”):0(x)=im(x).0(x) xm)·O(x")=0(x-”) ·0 + (x")=0,所以o( 注意高阶无穷小的运算属于极限运算的范畴,与普通代数中的四则运算有着本质上 的不同!如果认为o(x")一0(x")=0(数零)那就错了!如x2=0(x),x3=0(x),但x2-x ≠0,认为a(x2)=0(x”)(m>n),也是不对的如x2=0(x),x=0(x),但亡却是无穷 大(x→0). 6元穷小的阶的运算律 设当x→x0(或x→∞)时,a(x)是m阶无穷小,R(x)是n阶无穷小,则 (1)当m>n时,a(x)士B(x)为n阶无穷小; (2)当m=n时,a(x)±B(x)为不低于n阶的无穷小(如sinx,tanx都是关于x的1阶 无穷小,但tanx-sinx是关于x的3阶无穷小(x→x),参考本讲例2) (3)a(x)(x)为m+n阶无穷小; (4)当m>n时,a(x为m-n阶无穷小 二、无穷大阶的比较 设im(x)=∞,lima(x)=∞,则 如果imn B(x) a(r) 0,称R(x)为关于a(x)的低阶无穷大,记(x) o (a) 2)叫 a(x) ∞,称R(x)为关于a(x)的高阶无穷大 β(x) 如果Ⅲa(x)C≠0称B(x)和a(x)是同阶无穷大;
第14讲无穷小与无穷大阶的比较 47 如果imna(2)=1,称R(x)和a(x)是等价无穷大 如果imnB(x)=C≠0,称B(x)是a(x)的k阶无穷大 x 不难证明imnm=0(>0),lim2=0(a>0,a>1),m2=0(a> 1).即当x→+∞时,nx是x2的低阶无穷大,x是a2的低阶无穷大,a2是x的低阶无穷大 所以有: 当x→+∞时以下各函数趋于+∞的速度 当n→∞时 lnx,x"(a>0),a(a>1),x ln,n"a>0),a"( 由慢到快 由慢到快 当x→∞时,P(x)=a0x”+a1x”2+…+an-1x+an~a0x"(a0≠0),这就是说求 极限时,分子或分母中的无穷大因式可用与之等价的无穷大代替,从而易得: …+an-1x+ boxm十b1x-1+…十bm-1x+b bc =m,分子与分母是同阶无穷大 0 分子关于分母为低阶无穷大 分子关于分母为高阶无穷大 例7求limn(10x+a)(20x+b)-.a,b,为常数 (30x+c)30 解:原式=lm(10x)0·(20x)210、?9公 (30x)30
