56 高等数学重点难点100讲 第17讲连续函数的几个重要定狸(1) 第17,18两讲集中讨论连续函数常用的几个定理 定理1若f(x)在点x处连续,g(x)也在x点处连续,则f(x)±g(x),f(x)g(x)在 o点处连续,当g(x)≠0时,了(x) 8(x)在xo处连续 例1若f(x)在x0点连续,g(x)在x点不连续,问f(x)+g(x)在x点是否连续? 解f(x)+g(x)在x必不连续,若不然,设F(x)=f(x)+g(x)在x点连续,则由 定理1知g(x)=F(x)-f(x)在x点也连续,矛盾.故∫(x)+g(x)在x点必不连续 例2(单选题)设f(x),g(x)在(-∞,+∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠ 0,g(x)有间断点,则() (A)gf(x)]必有间断点;(B)[y(x)]2必有间断点; (C)g(x)]必有间断点;(D)) 必有间断点 解假设F(x)= 处处连续,则由定理1知,g(x)=F(x)f(x)处处连续,矛盾, 故F(x)=f(x)必有间断点,从而选D 定理2基本初等函数在定义域上连续. 定理3初等函数在其定义域的区间内连续 注意基本初等函数在定义域上是连续的,但初等函数在定义域的某些点上不一定连 续如f(x)=√cosx-1,它的定义域D={x|x=2kx,k为整数}中的每一个点都是孤立 点.由于函数在定义域的孤立点的邻近无定义,因而不能讨论函数在该点的连续性,即不能 说函数在该点连续.由于初等函数的定义域可能包含孤立点,因此根据函数在一点连续的定 义,不能笼统地说初等函数在其定义域上连续 定理4(复合函数的连续性)设函数u=g(x)在x→x时的极限存在且等于a,即 limg(x)=a,而函数y=f()在点u=a连续,则复合函数y=fg(x)]当x→x。时的极 限也存在,且等于f(a),即 limfLo(x)]=f(a) lim fLo(r)]=f[lim(x)] 即:在定理条件下,求复合函数f[g(x)]的极限时,函数符号f与极限号可以交换次序 例3求imn[ sinIn(n+1)- sinian] n sinn (n+ 1)-sinlnn= 2cos In(n +1)+Inn, In(n + 1)-Inn 2+n[号(1+12n+ 设g(x)=sinn√x,由定理3知g(x)在(0,+∞)连续.当n→∞时,sinn 的里层函数的极限存在其值为m(1+)-1,外层函数即初等函数s√F在x=1 处连续故由定理4,交换函数符号与极限号得
第17讲连续函数的几个重要定理(1) 57 limsinIn4/1+i=sinIn A/lim 1+i=sinIn 1=sino=0 又|2 osIn n2+n|≤2,故原极限=0 定理5(反函数的连续性)如果函数y=f(x)在区间Ⅰ上单调增加(或单调减少)且 连续,则它的反函数x=g(y)也在对应的区间I,={yy=f(x),x∈l,}上单调增加(或 单调减少)且连续 1-2x 例4设 f(x)= 1≤x≤2; 12 x>2. (1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式;(2)讨论反函数g(x)的连续性 解(1)分段求出反函数. (i)当x2时,y=12x-16单调地从lm(12x-16)=8增加至im(12x-16) =+∞.由y=12x-16解出x=y+16,交换x,y得y=120,x>8. x+16 12 √2,x<-1 综上,得 g 1≤x≤8 +16 12 (2)由定理2,定理3知g(x)在(-∞,-1)U(-1,8)U(8,+∞)内连续,所以只 需讨论在分段点x=-1,x=8处的连续性,分别考虑左,右连续性 g(-1-0)=lim 由定理4 -1 2 g(-1+0)= lim Vx=y-1=-1=g(-1) 所以g(x)在x=-1处连续 g(8-0)=8=2=g(8),g(8+0)=8+16=2=g(8) 所以g(x)在x=8处连续. 总之,g(x)在(-∞,+∞)连续(事实上,g(x)的连续性依定理5,也可直接由f(x)的 连续性得到)
