第32讲微分中值定理(3) 101 第32讲微分中值定狸(3) 、利用拉格朗日中值定理求极限 例1设函数f(x)在点a的某个邻域内可导,且导函数f(x)在点a处连续,求极限 lim f(a+ r)-f(a-r 解对∫(t)在以a-x,a+x为端点的区间使用拉格朗日中值定理,得 f(a+x)-f(a-x) f(a +x)-f(a-x) f() 2x (在a-x与a+x之间) 当x→0时,a-x→a,a+x→a,由两边夹法则知→a.又因∫(x)在点a连续,所 以lim fca+r)-f(a-x) limf(s)=f(a) 例2求lmn( )( 解a、a是f(x)=a在x=n·n处的值对f(x)=a在区间、(n>1) 上使用定理得11=(a)=a1ma(10时,f(t)在[x,x+1]上满足拉格朗日中值定理的 条件,于是有 Inarctan(x+1)-lnarctanx=-1 actant 1+t2- arctan 1+(xx时,函数f(x)的每一点的增长速 度|f(x)小于函数g(x)的增长速度中(x),则f(x)的增量|f(x)-f(x)必然小于yx) 的增量yx)-g(x).其实,用柯西中值定理很容易证明这个事实
102 高等数学重点难点100讲 任意指定x>x,在[x,x上对f(x),g(x)使用柯西中值定理(注意到g(x)>0),得 f(x)-f(x)|_|尸( px)-(xo) y() KIo). 利用柯西中值定理证题的方法步骤与拉格朗日中值定理类似,第一步“选函数、选区间” 是至关重要的 例5设x1x2>0,试证:在x1与x2之间存在一点5,使得 , (1-)e( 证把欲证之式变形为 r, l (1-5)e,或 11=(1-)e 等式左边表明:分子是函数f(x)=在[x1,x2](不妨设x2>x1)上的增量,分母是函 数F(x)=在[x1,x2]上的增量因此对函数f(x)=与 在[x1,x2]上使用 柯西中值定理注意到条件x1x2>0保证了区间[x1,x2]不含原点,所以F(x)总存在且不 为零. (1-:)e°, 1 化简整理,得x1e2-x2e=(1-5)e(x1-x2)(x10. (1)对f()与F()=口在[0,x]上使用柯西中值定理,得 f(x)_f(x)-f(0)_f() f(s;)(0<5<x) (2)对f(t)与F'(t)=nt-1,在[0,1]上使用定理,得 f1)f(1)-f(0)f"(t) (2) 1n年1 n·O (n-1) (n)对f-()与=F(o-(t)=n!t在[0,n-1]上使用定理,得 -n(n-1)f-(,-)-f-(0)f() 5) n!4 !, (0<§<-1<…<<x) 综合(1)(2),…,(m,得〖(x)=f( n!(0<§<x)