第41讲极值与最值(3) 131 第41讲极值与最值(3) 、极值应用题 对于求函数最值的应用问题,可根据实际意义判定最值的存在性,如果合理的驻点只有 一个,则该点即为函数的最值点,该点对应的函数值即为函数的最值 例1已知半径为R的圆铁片,剪去一个扇形,把剩下的部 分围成一个圆锥形容器,问剪去扇形的中心角应该多大,才能使 圆锥形容器有最大容积. 解设剪去扇形后所剩铁片的圆心角为x,则它所围成的 B 圆锥底面的周长为Rx,圆锥底面半径为r R ,高 R h 4x2-x2. 2 因此,圆锥的体积 图41-1 V==rh= k·公√一2=2 24r√4n2-x2 R38x2x-3x3 v=24x2√4x-,令V(x)=0,得x1=-23,x=0,x=23 其中x1 2x3,x2=0对实际问题没有意义由题意知x3必使Vx)取最大值于是, 当剪去扇形的中心角为2x-2x./2 3时,取最大值v(2x√3)=27rR 例2在椭圆+点=1的第一象限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标 所围成图形的面积为最小(其中a>0,b>0). 解设P(x,y)为所求的切点,因为过(x0,y)点椭圆的切线方程为 x+2 所以它的x截距为,y截距为.于是切线、椭圆及两坐标轴所围面积 S(x0) 1a2b2 丌ab 由于在0<x<a内求S(x)的最小值,等价于在0<x<a内,求函数f(x)=xy 的最大值在0<x<a内解方程f(x)=a·Q2-2x2=0,得惟一驻点x b ,又P(x)在x0的左侧为正,右侧为负故x=%是∫(x)的最大值点,从而(xa,y b )为所求的点 2"√2 例3一重量为W的物体放在一粗糙平面上,加力使它恰能移动,问作用力应与平面成
132 高等数学重点难点100讲 多大角度最为省力?(提示:摩擦力与物体对于平面的压力成正比,方向与运动方向相反,比 例因子就是摩擦系数μ,是可以测定的) 解设作用力F与水平面形成一角度6沿水平方向及垂直 F -Sing 方向分解力F,得出分力Fcos90,Fsin0.物体对于平面的压力是 W-Fy=W-Fsin0,依库伦定理,摩擦力f=(W-Fsin), 作用力F的水平分力Fcos日应该刚好平衡于这摩擦力. F.-Fcos6 Fcos8= A(W- Sine), 或F=F(6 c0十psin,6∈[0, 图41-2 现在问题归结为求F=F(6)(0≤0≤7)的最小值一或函 数y=cos6+psin的最大值 y=-sin+pos,由y=0,得驻点61= arctan. 由题意知,y在=61时取最大值: y(e,)=cos0, Asine,= cos0,.(1 utan,) 1+ utan secB, 1+an6=1+=√1+. √1 tan"01 1+ 进而知作用力F在6= arctan时最小,这时最省力 小结求最值的应用题的方法是: (1)建立函数关系式:①首先画出草图,搞清题意,明确要求哪一个量的最值;②确定 自变量和因变量,一般是把要求最值的量作为因变量,自变量要选择适当,以便计算简单;③ 根据几何、物理、力学、经济学等知识建立自变量与因变量之间的函数关系式,并由实际问题 确定函数的定义区间 2)求上述函数的最值若该函数在其定义区间内部只有一个驻点,而由实际问题的性 质又能确定最值一定在该区间内部取得时,则该驻点处的函数值就是要求的最值 例4某种商品的需求量Q是单价P(单位:元)的函数:Q=12000-80p;商品的总成 本c是需求量Q的函数:c=25000+50Q;每单位商品需要纳税2元.试求使销售利润最大 的商品单价和最大利润额 解利润L(p)=收益R(p)一成本c(P) (12000-801)(p-2)一[25000+50(12000-80P) 80p2+16160p-649000, L'(P) 160十16160.令L(p)=0,得p=101. 依题意知:当p=101时,取到最大利润额为L(p)|-101=167080(元) 例5设某种商品的单价为户时,售出的商品数量Q可以表示成: p十b (其中a,b,c均为正数,且a>b (1)求P在何范围变化时,相应销售额增加或减少; (2)要使销售额最大,商品单价P应取何值?最大销售额是多少? 解(1)设售出商品的销售额为R,则 R=PQ=P(-c R (p+b)2 十 b (p+b)
第41讲极值与最值(3) 133 令R=0得P= b (√a-√b)>0 当00,所以随单价P的增加相应的销售额也 将增加当p>√(√a-√)时有R0时,方程kx+x2=1有且仅有一个解,求k的取值范围 解设f(x)=kx+x-1,显然f(x)在定义域(0,+∞)内连续,可导, k0. 可见f(x)有铅直渐近线x=0 求一阶、二阶导数得f(x)=k一2,門"(x)=0,可见当k≤0时,(x)0时只有一个零点, 即原方程在x>0内仅有一个解 当k>0时,由f(x)=0得惟一驻点x=√k 又因(x)>0,x∈(0,+∞),故x0是f(x)的极小值也是最小值,这时点(x0,f(x0) 是曲线f(x)的最低点 (1)若f(x)>0,这时f(x)在x>0内无零点; (2)若(x)=0,即k,+是=-1,解出k=3√3这时(x)在x>。内 有惟一零点; (3)若f(x)0内有两个零点 综上所述,当k≤0或k=√3时方程有且仅有一个根