92 高等数学重点难点100讲 第29讲微分在近似计算中的应用 微分定义的直接应用有两个:-是求函数的近似值,另一是估计误差,这一讲只讨论利 用微分求函数近似值的基本方法 设函数y=f(x),当自变量x在x处获得一增量Δx=x-x时,y也获得相应增量, △y=f(xo+△x)-f(x。),△y一般是4x的很复杂的函数,这就为计算y带来了一定困难 于是,希望以△x的一次齐次函数AAx(A与△x无关)来代替△y,从而使对△y的计算得以 简化: f(x+△x)-f(xo)≈A△ 同时,又要使产生的误差Δy-AΔx与函数增量y相比之下可以忽略不计.即 △y A△x 0,从而有lim △r-0 y △x f(xo)-A 当f(x)≠0时,由极限运算法则得f(x)=0,即A=f(x,) 于是得出求函数增量的近似值的基本公式 4y≈dy=f”(x。)4x(f(x)≠0,|△x很小时) (29.1) 及求函数在某点的近似值的基本公式 f(x。)+f(x。)x, 或f(x)≈f(x0)+f(x)(x-x)(f(x)≠0,x-x很小时) (29.2) 上述近似等式的左端是曲线y=f(x),右端是直线y= f(x0)+f(x)(x-x)(即f(x)在(x,f(x)点处的切线) 所以,上述近似代替的几何解释是:在x的局部范围(如图 29-1,x0的δ邻域(x-0,x+0)内以直线(即曲线在x0处的 =fx)+f(r… 切线)代替该曲线因此微分的基本思想是以直代曲 例1利用微分求下列近似值 (1)tan46°; (2)√100 O t 解(1)本题在于利用公式:f(x+4x)≈f( 图2 f(Io)4r. 关键是选好f(x),使∫(x)及∫(x。)能够便于计算 这里,选取f(x)=tanx,取xo=45=4,4x=1=180 易计算出f(x)=fx)=mnx=1,f(x)=(tanx)1-4= seca-=2 把这些数值代人公式得 tan46°≈1+2·10≈1+0.0349=1.0349 (2)解法1Ⅵ100=v64+36=41+ 9 选取∫(x)= ,x=1,4x=16,易得f(1)=1,f(1)=3由公式得
第29讲微分在近似计算中的应用 93 -4+是≈(+)4=41+3× 4.750 解法2y100=y125-25= 选取f(x)=yx,x0=1,4x ,由公式得 051-}~/)+r(41=6(1-1+408 而100的前5位精确数值为4.6416 由解法1产生的误差为|4.6416-47500=0.1084; 由解法2产生的误差为|46416-4.66671=0.0251 (解法2为什么比解法1更为理想?请读者思考.) 小结由例1知用微分法做近似计算的原则是:①选函数f(x),使f(x),f(x)易算 ②使|4x|<1,且尽可能地小 例2试计算√(2037)的近似值 2 解设 4r f'(x (x2+1) x2+1 由f(x+4x)≈f(x0)+f(x)4x,又设x。=2,山x=0.037 (2.037)2-1 √(2.037)2+1=f(2+0.037) 2 0.037 N5+、3·25·0.037=0.7746-4×0. 0.7746 0.7746+0.0076=0.7822 在基本公式∫(x)≈f(x0)+(x)(x-x)中令x=0,便得求函数近似值的常用公 式 f(x)≈f(0)+f(0)x(|x|很小时) (29.3) 由(29.3)式,当分别取∫(x)=e,ln(1+x),(1+x)°,sinx,tanx, arcsin.r, arctan.l,cosx 可相应地得下列重要的近似计算公式: (1)e≈1+x;(2)ln(1+x)≈x;(3)(1+x)°≈1+ax;(4)sinx≈x; (5)tanx≈x;(6) arcsinx≈x;(7) arctanx≈x;(8)cosx≈1-2(当x很小时 (这些公式的证明留给读者.)