第16讲函数的连续性概念 第16讲函教的逄縯性概念 函数的连续性是一个很重要的基本概念·我们分三部分内容进行讨论,一是函数在 点连续的几个常用的定义,二是间断点的定义,三是函数连续性的讨论 、函数在一点连续的定义 定义1当自变量的改变量△x趋于零时,函数的改变量△y也趋于零,即 imAy= lim [f(o+ Ax)-f(ro)]=0, △r→0 则称f(x)在点x处连续, 定义2如果f(xo+0)=f(x-0)=f(x0),则称f(x)在点x。处连续 定义3如果limf(x)=f(x),则称f(x)在点x处连续 以上三种形式的表达式是等价的.使用时,要根据具体情况,看哪一种比较方便就用哪 种 例1证明y=cosx在(-∞,+∞)内处处连续 证使用定义1比较方便,设x是(-∞,+∞)内任一指定的点,在r处给自变量 一个改变量△x,则函数y相应地获得改变量 Ay= y(ro Ar)-y(xo)=cos(Io 4r)- cosIo =-2sin 2x.+Ar 对|△y进行放缩得不等式 0≤4 2sin To+ sin ≤2·1 令4x→0,由两边夹法则得|△y|→0,进而得lim4y=0.即y=cosr在点x处连续.由 于x是(-∞,+∞)内的任一点,所以函数y在(-∞,+∞)内处处连续 In(1+ r) 例2设 f(r) 0 问f(x)在x=0处是否连续? 解这是一个分段函数,在分界点x=0的两侧,函数的对应规则由不同的式子表示, 因此研究在x=0处的连续性需要从左右极限入手,用定义2比较方便 lim f()= lim 1+I-vi-I=lim x f(0-0) mx(√1+x+√1-x lim +√1 fco+0)= lim f(r)=lim In(1+r) 上0 可见,∫(0-0)=∫(0+0)=∫(0)=1.由定义2知∫(x)在x=0处连续 在定义2中,若仅有 ∫(x。-0)=limf(x)=f(xo) 成立,则称f(x)在点x处左连续.若仅有
52 高等数学重点难点100讲 f(xo+0)= lim f(x)=f(o) 成立,则称f(x)在点x处右连续.当考察分段函数在分段点处的连续性时常用定义2 关于定义3,因为lmx=x,所以imf(x)=f(x),即是 lim f(r)=f(limx). 该式表明:连续函数∫(x)具有极限运算符号lim和函数符号f可以交换次序的特性 利用连续函数的这个性质和复合函数求极限的法则,对求某些函数的极限往往会带来方便 例3求ime= 解 初等函数f(x)=e=在x=0处连续, ∴lime 例4求lim√a·va……va ∵指数函数y=a在x=1处连续, ∴原式=limd- a 连续的对立面就是间断,所以由函数在一点处连续的定义就可以得出函数在一点处间 断的定义 间断点的定义 定义使等式imf(x)=f(x)不成立的点x称为f(x)的间断点 函数f(x)在x处连续的表达式limf(x)=f(x)包含着三个内容: (1)f(x)在x处有定义,定义值为f(x0); (2)f(x)当x→x时有极限极限值为imf(x); (3)极限值等于函数值,即limf(x)=f(xo) 在x。处,若其中一条不满足,则f(x)在x处就不连续,x即为f(x)的间断点·根据不 满足这三条的情况,可以把间断点分为两类 (1)第一类间断点 如果f(x)的左、右极限f(x-0)、f(xo+0)都存在,但等式∫(xo-0)=f(x。+0) f(x)不成立,这种间断点x。称为第一类间断点 在第一类间断点中,如果间断是由f(x-0)=f(x+0)≠f(x)或imf(x)存在但 f(x)在x处没定义而引起的,则称x。点为f(x)的可去间断点;如果间断是由于f(x。-0) ≠∫(x+0)而引起的则称x。为f(x)的跳跃间断点 (2)第二类间断点 如果f(x)的左、右极限∫(x。-0)、f(x+0)中至少有一个不存在称x。为f(x)的第 二类间断点 在第二类间断点中,如果间断的起因是由于左右极限中至少有一个是无穷大,则称x 为f(x)的无穷间断点;如果间断的起因是由于f(x)的无限次的振荡而使得极限不存在,则 称x为∫(x)的振荡间断点 例5设∫(x)=(1+x)(x>-1),问何处是间断点,是哪一类间断点?
第16讲函数的连续性概念 53 解x=0是间断点,因为f(x)在x=0处没定义,但lim(1+x)=e ∴x=0是可去间断点,属于第一类;补充定义f(0)=e,则f(x)在(-1,+∞)上 连续 例6设∫(x)=1+1+1,问f(x)在何处间断是哪一类间断点? 解x=-1是间断点 f(-1-0)=limf(x)=lim1+~(x+1 x+1 f(-1+0)=im,(x)=1m.(1+2+1)=2 ∵左右极限存在但不相等,x=-1是跳跃间断点,属第一类 例7设f(x)=e2,问何处是间断点,是哪一类间断点? 解x=0是间断点,左极限lme=0,右极限lime=+∞ ∴x=0是无穷间断点属第二类 例8设f(x)=c0s1,问在何处间断,是哪一类间断点? 解在x=0处间断 当取数列(4=士1,士2…趋于0时函数恒取值(2如=(2y=1当 x取数列 ,k=士1,士2 2k+ ¨趋于0时,函数恒取值f2kx+工 cos 2k =0,可见,函数在最小值0与最大值1之间变动无限多次.所以x=0是 振荡间断点,属第二类 、函数连续性的讨论 有关函数连续性的讨论要综合地用到函数、极限、连续等概念性质和求极限的各种方 法.在讨论这类问题时最容易犯的错误是:思考问题不全面,计算极限不正确·下面我们通 过例题探讨、总结考察函数连续性的基本方法 例9设f(x)=,求f(x)的间断点并判断其类型 解(1)当x=nx时,函数f(x)没有定义,所以∫(x)在x=nx(n=0,±1,±2 )处间断 (2)考察当x→n丌时的极限 (i)当n=0时,lim →0S1nx ∴x=0是可去间断点,若补充定义f(0)=1,则f(x)在x=0处连续 Gi)当x=nr(n=±1,±2,…)时,lmx=∞ → KSIn. x=nx(n=土1,土2,…)是无穷间断点 ∴x=0是f(x)的第一类间断点,x=n丌(n=士1,士2,…)是f(x)的第二类间断 点
高等数学重点难点100讲 (1+ax)x, 例10设f(x)= x=0;(a≠0,b≠0) sIna工 问a和b各取何值时,f(x)在x=0处连续? 解由连续性定义,f(x)在x=0处连续指的是!limf(x)=f(0)=e 般说来,在分界点x处,不论函数是否有定义,求分界点处的极限都要通过左、右极 限去考察 lim f(x)=lim(1+ar)i= lim [1 +ax)4]=e@; lim f(r)=lim ina lim sina 2.T ·0 a. 6 b 由limf(x)=e,即f(0+0)=f(0-0)=e,得esa ∴a=1,b=1 +2 例11讨论f(x)=lim (x≥0)的连续性 解(1)取极限,求出f(x) 由于 √2xn+x22 x 0≤x2时,f(x)=lim 0 0≤x<2; f(x)={2√2 2; (2)讨论∫(x)在定义域[0,+∞)上的连续性 (i)在x∈(0,2)内,f(x)=0,是初等函数,所以连续.又显然f(x)在端点x=0处 右连续,所以f(x)在[0,2)上连续; (i)在x=2处,f(2-0)=limf(x)=0,f(2+0)=limf(x)=4, ∴x=2是f(x)的间断点,是跳跃间断点,属于第一类 (i)在x∈(2,+∞)时,f(x)=x2是初等函数,所以连续 总之,f(x)在区间[0,2)∪(2,+∞)上连续,在x=2处有跳跃间断, 例12设y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意的x,y有f(x+y)=f(x)
第16讲函数的连续性概念 55 +∫(y).试证明:如果∫(x)在x=0处连续则f(x)在(一∞,+∞)内连续 证明设x为(-∞,+∞)内任意指定的一点 由f(x+y)=f(x)+f(y),得: (1)∫(x+0)=f(x)+f(0),故f(0)=0; (2)4y=f(x+4x)-f(x)=f(x)+f(x)-f(x)=f(△) 注意到∫(x)在x=0处连续, ∴ lim Ay=limf(4 lim f(r)=f(0)=0 ∴f(x)在x点处连续,又x是(一∞,+∞)内任意一点,故f(x)在(-∞,+∞) 内连续 例13研究复合函数的连续性 设y=f(x ≤1 x>1.K( x≤1研究∫g(x)的连 +4 续性 解首先求出f[g(x)]的表达式:fg(x)]= g g 2-g(x),g(x)>1. 考虑第一段: fg(x)]=g2(x),g(x)≤1,g(x)= x≤1使g(x)≤1,即使 的表达式为’。z>1的自变量x的变化范固为/≤1 ≤1 x≤1 x+4≤1 x≤-3,x>1(子盾,所以第一段 fg(x)]=g:(x)=x2,x≤1. 同理可得第二段的表达式为fg(x)]=2-g(x)=-x-2 ftg(x)] ≤1; 其次,考察在分段点处的连续性 lim fCg(r)]= lim x'=l: lim fg(r)]= lim (-r-2)=-3 rl ∴x=1为∫g(x)]的第一类间断点(跳跃间断点) 小结函数在一点x处有定义、存在极限连续三个概念之间的关系:①函数f(x)在 x处有定义,不一定在该点存在极限,更不一定在该点连续;②f(x)在x。处存在极限,不 定在该点有定义,也不一定连续③若f(x)在x处连续,则f(x)在x处既有定义又有极 限,且极限值等于函数值