80 高等数学重点难点100讲 第25讲高阶导数 函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是x的函数,我们把y=f(x)的导数叫做y f(x)的二阶导数,记为y”或2,即y"=(y),或 ≈d2y.二阶导数的导数叫做 dr 三阶导数,以此类推,n-1阶导数的导数叫做函数y的n阶导数,记为y”或 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.可见,函数y=f(x)的高阶导数是由关系式 fn)(x)={fn-")(x)},n=1,2,… 顺次定义出来的(假定对应的运算都有意义)因此求高阶导数时,一般地只须一阶一阶地 求就可以了 例1验证y=c1e+c2e(c1、C2,λ是常数)满足关系式:y-2y=0. 解先求一阶导数,得 acer- xce 再求二阶导数,得y"=(y)=(kc,e"-l2e-) 22c,e+22c2e-=x2(ce +c2e -)=22y 把y及y代入关系式,得y"-k2y=0 例2设y=f(1-cosx),f(x)存在,求 解首先注意到y=f(1-cosx)是以u=1-cosx为中间变量,以x为自变量的复 合函数,即y=f(x),u=g(x)=1-cosx,y--x,由复合函数的求导法则,得 阶导数 f(u)·(1-cosx)=f(1-cosx)·sinx 再利用积及复合函数的求导法则对上式求导,要记住导函数f(1-cosx)同样是以t=1 cosx为中间变量,以x为自变量的复合函数,即 于是有y"=(y)′=[f(1-cosx)]sinx+f(1-cosx)·(sinx) f(u)·(1-cosx)·sinx+f(u)cosx f(- cosr)sin2x+f(1-cosx)cosx. 求抽象函数y=fg(x)]的二阶导数y"的关键是搞清f(u)的复合关系,它仍是以x为 自变量=g(x)为中间变量的复合函数 例3已知y=1+xe,求y|,y 解由已给的隐函数方程知y|=0=1.将原方程两边对x求导,得 y=e+xe(y+xy),∴yl-。=e|x-。=1. 将一阶导数表示式两边关于x求导(记住y与y同样都是x的函数)得 y=[e(1+xy+x2y)] (ey)(1+ry+x2y)+ey(l +ry +x'y) =ey( ry)(1+ ry +x'y)+e y(y +ry+ 2xy +x'y") ∴y 2
第25讲高阶导数 81 求隐函数y的二阶导数y有两种方法: (1)解出y后再求导得y" (2)在原方程两边先后两次对自变量x求导求出y”(记住y与y都是x的函数) 例4设∫(x)=3x3+x2|x,问使f”(0)存在的最高阶数n=? ≤ 4x 是一个分段函数,x=0恰好是分界点在分界点处的可导性要用定义来讨论 (1)考察尸(0)的存在性: (O)=lim (2 )-f(0) 0 (0)=1imf(x2)=ro ∴f(0)=0. 容易求得f(x)=/0x, ≤0 12x2, x>0 (2)考察m"(0)的存在性: fm(0)= lim P(r)-fco) f+(0)=lim (r f(0) li 12x 0 0 容易求得門(x)≈/12x, 24x, (3)考察f(0)的存在性: f"-(0)=lim f"(x)-f"(0) 12x =12, r(0)=1imf(x)-0)=im24x=24, ∵f-(0)≠「m+(0), (0)不存在, 即使f”(0)存在的最高阶数n=2 例5设y ,求 解若直接计算y 1)2,y=(x2-1)3……不仅麻烦而且看不出规律来,如 果将y的表达式改写为 y=x1=1+(x-1)(x+1=1+1 1+2 则y=a-1-ax+1y 1)(-2) 2+2 y=S=(=2)(-3 1)(一2)(-3) 不难看出
高等数学重点难点100讲 n I (-1)"n! 1)n (x+1) 1)+1(x+1 要写出y)的表达式我们的方法是先具体求出它的y、y、y",甚至y、y),从中观察 出y的表达式应具有怎样的形式·为此,对函数及导数运算时应进行适当的恒等变形,计 算过程中对各阶导数的系数一般不化简,以利于找出其规律 例6设y=e'sinx,求y M y=e'sinr +e cosx=e (sinr cosr) =√2e‘( sinxcos+ cos TSIn)=√2e'sin(x+) y"=(y) esin(x +r)+ecos(x+- =√2·√2·esin(x+2·) 一般地,有 y=(√2)esin(x+nA)(n=1,2,…) 例5,例6求高阶导数的方法称为直接法所谓直接法是指求出所给函数的1~3阶或4 阶导数后,分析所得结果的规律性,从而写出n阶导数的方法.此外,还可以利用已知的高 阶导数公式(见下表),通过四则运算、变量代换等方法,达到将给定的函数求出n阶导数的 方法,即所谓的间接法 高阶导数公式 (1)(e)=e,(a2)()=aln?a(a>0); (2)(sinr)(n)= sin x+n 2/.(sina)(n)=asin( ax+n (3)(cos x))=cosx+n'2/(cosar)(n)=acos ar+n?; (4)(x°)m=a(a-1)…(a-n+1)x°-", [(1-x)]=a(a-1)…(a-n+1)(1-x)"(-1) (5)nx)=(-1y(n-1)1,Can(1+x)]=(-1y-(m-1)!1 (6)莱布尼兹公式:若v(x),v(x)均n阶可导,则 (uv))=u)v)+C(-1)v+…+Ca4-bu38+… 0(n) Ca-2*),其中t 已,0。=(即x,°表示x,的零阶导数,即函数本身) 例7已知y=x2ln(1-x),求y10)(0). 解由莱布尼兹公式得 x2[ln(1-x)]0)+Cl(x2)[lhn(1-x)])+C(x2)"[ln(1-x)]), 于是,y0(0)=y10)(x) =0 45×2·(1 90×7! 例8设y=x2sin2x,求yo 解cy60=(x2·sin2x)(0)
第25讲高阶导数 83 sin2x)()·x2+C(sin2x)9)·(x2)+c3(sin2x)4)·(x2) =2%n(2x+50·z)·x2+50·2s2x+49·2)2x 2·24·sin(2x+48·7)·2 =230(-x2sin2x+50xo2z×122sin2x) 2 例9设y= cosaxcosbx,求y") 解利用三角函数中积化和差公式把y变为 coat的形式,再用表中的公式将函数 的n阶导数写出来 cosaxcosbr=t[cos(a+bx+ cos(a-b)x]. 则y (n) a+b)reos[ a+6)x+n2]+2a-b) cos [(a-br+m2] 例10设y=√1-z求y10(x<1) 解化简y,再利用表中的公式 2-(1-x) √1-x=2(1-x)--(1-x), 1-x 由[(1-x)]=a(a-1)…(a-n+1)(1-x)”(-1)”,得 [(-2)1y”=(-1 2n+1)(1 x)”(-1) 1 2 n+1)(1 当n=100时, 100 197! 100) 199!! (1-x) 2 (1 100 所以,y10=2.-950(1-x)、(1-x)2 0100 =171(1-x)[2×199+1-x] 2(1-x)√1==(x<1) 197 !! 399