第28讲微分 89 第28讲微分 这一讲我们讨论微分的概念与微分的求法 、微分的概念 函数的导数是函数在点x处的变化率,它描述了函数在点x处变化的快慢程度·在实际 问题中还会遇到与导数密切相关的另一种问题,这就是当自变量有一个增量4x时,如何计 算相应的函数的增量.一般说来,函数的增量△y=f(x+4r)-f(x)是一个关于△x的复 杂关系式,因此,用它来计算增量是比较困难的.为此我们希望用一个关于Ax的简单关系 式来近似地表达Δy,使得既便于计算,近似程度又比较好·这就引出了微分学中另一个重 要的基本概念—微分 1定义 已知函数y=f(x),当自变量在点x处有增量山r时,对应函数的增量△y=f(x+⊥x) f(x)可表示为 Ay=A·x+o(4x), 其中A是不依赖于山x的常数,而o(△x)是比x高阶的无穷小则称函数y=f(x)在点x 是可微的而A·△x称为函数y=f(x)在点x相应于自变量增量4x的微分,记作dy,即 y 若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可微,则称f(x)在(a,b)内可微 关于定义的两点说明: (1)若函数y=f(x)在点x处可微,那么△y=A·4x+0(4x)=f(x)·4x+0(山x) 即函数的增量由两部分组成,其中f(x)△x是山x的线性函数,它是增量△y的主要部分,称 为微分,o(4x)是关于Ax的高阶无穷小·因此 △y-dy=o(4x) 即用微分代替增量时,忽略掉的是Δx的髙阶无穷小; (2)当尸(x)≠0时,函数的增量4y=f(x)△x+o(4x)与函数的微分dy=f(x)x 的比 △yf(x)x+o(4x) 0(4x) dy f'(x)Ar 1+ f'(x) Az l(当⊥x—0时), 因此,当4x→0时,△y与dy是等价无穷小 2.微分形式的不变性 对于函数y=f(u),无论是自变量还是中间变量,y=f()的微分dy总可表为: dy=f'(u)d 这一性质称为微分形式的不变性 注意只是形式不变,而内容有区别,若是自变量,则d=△,即自变量的微分等于 自变量的增量;若u是中间变量:=g(x),一般da≠n 3.微分与导数的区别和联系 区别 (1)概念上有本质的不同,函数y=f(x)在x点的导数f(x)是函数y=f(x)在x点 关于自变量的变化率,反映了函数y在x点随自变量变化的快慢程度;而微分dy=f(x)x
90 高等数学重点难点100讲 是在以x和x+4x为端点的微小区间上以函数y在x点的变化率f(x)代替该小区间上 任意点处的变化率(即变化率以均匀代非均匀)后所得到的线性函数的增量(△y的线性主 部) (2)当函数y=f(x)给定后,该函数在x点的导数f(x)的大小一般仅与x有关;而微 分dy=f(x)4x一般不仅与x有关而且还与4x有关; (3)从性质上看,函数y=f(x)在x点的导数f(x)是一个常数(x给定时),而微分dy f(x)4x是4x→0时的无穷小,在△x趋于零的过程中,dy是一个变量; 4)一阶微分具有形式不变性;而导数不具有这个特性·函数y=f()当a是自变量 时,则y=f(u);当u是中间变量u=g(x)时,则f(a)是y对u的导数,f(u)y(x)才是 y对x的导数,因此,求导应指明是对哪一个变量求导;而求微分则无须指明是对哪一个变 量微分; (5)从几何上看,函数y=f(x)在x点的导数f(x)是表示曲线y=f(x)在点M(x, y)处的切线斜率;而微分dy=f(x)4x是表示曲线y=f(x)在点M(x,y)处的切线上点 的纵坐标相应于x的增量 因此,当Δx很小时,以dy近似代替△y,实际上也就是在点 M附近以切线近似地代替曲线(参看右图) 由于MT=MN-TN=4y-dy,可见,线段MT表示 Ay与dy之差,它是Ax的高阶无穷小,因此,当4x→0(即MN→ 0)时,线段MT比MN更快地趋于零 联系 (1)函数y=f(x)在x点可导与可微是等价的·容易证明, 图28-1 若函数y=f(x)在点x处可导,则它在点x处可微,且dy= f(x)dx;反之,若函数y=f(x)在点x处可微,且dy=Adx,则函数y=f(x)在点x处可 导,且f(x)=A (2)P(x)=4y,表明函数y=f(x)的导数∫(x)等于函数的微分dy与自变量的微分 dx之比.若x是中间变量,根据一阶微分形式的不变性,仍有f(x)=2说明无论x是自 变量还是中间变量,导数与微分的关系不变 例1若y=f(x)有f(x0)=,则当△x→0时,该函数在x=x处的微分dy是 Ax的 (A)等阶无穷小;(B)同阶但不等价的无穷小;(C)低阶无穷小;(D)高阶无穷小 解由题设f(xn)=1及微分定义dy=f(xn)△Ax得 △x1 1m =1m Ar0 △xa0Ax 由无穷小阶的比较知:dy是△x的同阶但不等价的无穷小,故正确选择为B. 撤分的求法 (1)利用微分公式dy=f(x)dx,求徽分 (2)利用微分法则求微分;对应于求导的运算法则有下面的微分运算法则:
第28讲微分 91 ①d(u士U)=d±du;②duu)=uda+ud;③d(cu)=cdu(c为常数); ndu -udu ④d u2 U 3.利用微分形式的不变性求微分 例2求下列函数的微分: (1)y=x,x由1改变到101;(2)y=snx,x由0改变到10 解(1)由微分公式dy=f(x)dx得 d )'dx= 3x'd x 这里,x=1,dx=4x=1.01-1=0.01,所以dy=3·(1)2·0.01=0.03 (2) y=f(xr=(sn)dx= cord·≈0.0314 d 这里,x=0,dx=Ax 100 100 故 00100 例3设y=f(e)·e1,其中∫可微,求dy 解由微分运算法则及一阶微分形式不变性得 dy=e/d(f(e))+f(e)d(e/n) e/nf(e)de)+f(e).e/d(f(x)) e/(r)f(e )e'dx +f(e)e/n'f'(r)dx Ce/rf(e)e+f(e )e/f"(r)]dx 例4由方程ynx=xlny确定y是x的函数,求dy 解对方程ynx= rIny两边关于x求导,注意到y是x的函数,有 nT 上式两边同乘以xy,有 xyy'lnx +y=ryIny 即 yInx.y vIn ryIn VIn dy= yd eIn avln
