148 高等数学重点难点100讲 第47讲原函数与不定积分 学生:老师,您好.上次课我们学习了不定积分的基本概念,还有些问题想请教您 老师:你好!有问题一起讨论 学生:原函数与不定积分这两个概念有怎样的联系? 老师:我们从两者的定义入手.若对于区间I上任意一点x均有F"(x)=f(x)或dF(x) f(x)dx,则称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数如(sinx)’=cosx(x∈ R),则说F(x)=sinx是f(x)=cox在R上的一个原函数 由原函数的定义可推知:对任何常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数而且除了F(x) C这种形式的函数之外,f(x)再没有别的形式的原函数了故F(x)+C称为f(x)的原 函数的一般表达式例如,f(x)=cosx在R上的全体原函数为F(x)+C=sinx+C 在区间Ⅰ上,函数f(x)的全体原函数称为f(x)在区间I上的不定积分记作f(x)dx 上述两个定义指出了它们之间的关系是:若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则 句话:不定积分是全体原函数的集合,例如, os.rdx=sinx+C 学生我在两本书上都看到了不定积分}=42但一本书上的答案是 xy->dx= arccos1+C,另一本上的答案是 arctan√x-1+C.这两个答案看上 去很不一样,所以我认为肯定至少有一个是错的,您说呢? 老师:下结论要有根据根据不定积分的性质:[f(x)dx]=[F(x)+Cy=f(x) 我们对上述答案求导 arccos -+C] (-) arctan √x-1+C]=1.2x 1)22 x√ 两者的导数相等且都等于被积函数所以两个答案都是对的答案的形式不同,是因为 两位作者沿着不同的思路采用不同的方法解答此题但只要所得结果求导等于被积图数,就 都是正确的 学生:今天上午我看到这样一个“是非题”: (tanx sec'r)edx=[tanx +(tanx)']edr=(tanre)'dr=tan.re 我对积分结果求导后发现其导数等于被积函数所以我认为积分是对的,但书上的回答是 否定的.答案是否有误? 老师:正确的答案应该是: (tanx+sec2x)edx=tanx·e+C(C为任意常数) 不定积分不是(一个)数或(一个)函数,而是具有某类性质的无穷多个函数构成的集
第47讲原函数与不定积分 149 合,所以不定积分等式是集合等式,不定积分中的等号“=”的含意与代数中的等号(如a+b =c)及向量代数中的等号(如a+b=C的含意是不同的 学生:我们知道:加法与减法互为逆运算,乘法与除法互为逆运算,那么不定积分与导数 互为逆运算? 老师:应该这样说才为确切:由于不定积分是原函数的全体,f(x)的任意两个原函数至 多相差常数,所以在可相差常数的前提下,不定积分与导数互为逆运算 学生:我知道,一阶微分具有形式不变性,即对于函数y=f(a),无论a是自变量还是中 间变量,y=f()的微分dy总可以表为dy=f(a)da那么,相应地是否有积分形式不变 性? 老师有由微分形式的不变性可推出积分形式的不变性:若f(x)dx=F(x)+C,则 f()du=F(u)+C,其中l=g(x)可导.即积分变量u不论是自变量还是中间变量,积分 公式|f(x)d=F(a)+C总是正确的这是由于f(x)dx=F(x)+C,所以dF(x) f(x)dx,根据微分形式不变性,则有dF(a)=f(a)da,其中a=g(x)可导,于是f(n)dn= F(u)+C. 学生:在学习函数求导运算时,容易求出f(x)=e‘的导数为f(x) 2re.但我 却怎么也不会作积分edx,请老师指教 老师:我也“积不出来”,注意新问题:求导运算对初等函数是封闭的,但积分对初等函数 不封闭.因为,有些初等函数的原函数不再是初等函数,即这种函数不能用初等函数的有限 次运算形式来表示edx就是一个.正因为如此就会出现有所谓“积不出来的”不定积 分原函数不是初等函数的例子还有:mxdr, cos rd x.1dr,cos1dr. sin dx, dx,√-k3 sindi,(0<k2<1)关于这些积分我们在后续课程中讨论 学生:谢谢老师耐心细致的讲解