232 高等数学重点难点100讲 第65讲定积分计算常见错误分析 例1计算sn(m+)出指出错误分析错因作出解答 【错解】原式=11-∞2+2a9)=d。1二 cos 2 da 1.2 senzu w Low 4 解上述计算第一个等号是成立的,因为虽然积分号下经过了凑微分运算,但积分变 量仍为t,所以积分上、下限不应改变但第二个等号不成立,因为积分已经过了变量代换at φ=u,所以积分上、下限要作相应改变,而上述计算没有改变,导致了错误.下面给出正 确解答 原式=a cos2(at+ d(at 1「t1-c0s2u sin 2u 例2计算+cosd指出错误,分析错因,作出解答 【错解】 cased 2cos2d=√2|cosd=2√y2sm2/。。0. 解因为√20352表示算术根,所以√22=2。2 下面给出正确解答 原式=/2od 6 cos de+(cos o )d8 4√2 例3计算 dx.指出错误,分析错因,作出解答 【错解】是=d-∫ sect. tantdt =t+C=arccos sect·tant 故∫,点==m-m 解本题被积函数取负值,积分区间由小到大,根据定积分的定义,定积分值应是负 的,所以上述计算必有错误,其错误在于不定积分计算的错误.事实上对不定积分而言,被积 函数的定义域为|x|>1,而上述计算所得的原函数仅对应于x>1的情况,但是定积分的 积分区间[一2,一√2]恰恰对应于x1的部分,有 -dx= arccos±+C 对应于x<-1的部分,应有 dr du= arccos - +C=arccos- 0
第65讲定积分计算常见错误分析 233 合并两部分的结果,得到 dx= arccos+C. 由此 dx arccos arccos 一 arccos √x2-1 12 注意不定积分与定积分有联系,也有区别:不定积分的目的是求被积函数的(所有) 原函数而定积分的目的在于求出积分值有的书上只讲公式出=:=m+c 的原因是考虑到学习不定积分的目的主要在于训练学生求原函数的技巧,为了使这种训练 单纯起见,允许只求出所给函数在某一特定区间的原函数.因此读者应注意到:公式 念=mm+c仅给出了 d √x—在(1,+∞)这一个区间上的原函数, 公式 dx= arccos+C才给出了 x√x=在整个定义区间的原函数 例4计算I= d 【错解】I=Q=d(mx、2+1nx,m)dx 11+x1dx=(3-2)+1=1+1 由I=1+I可知I 解上述计算中第五个等号后面发生了错误,应该是12=1-1=0,而不是1|3= 2 1,因为这里1代表常数函数y=1,它在x=2及x=3处的函数值均等于1 用换元法计算了-厂正4x-,m4)=km(m)=lm2 例5已知y=1+td求 【错解】由变上限定积分求导法则知若y=/(),则成立:x=/(x) 根据上述公式,得dy=f(x2)=√1+x 解本题所给的变上限定积分中,上限x2是x的函数,故y √1+tdt,应理解 为由y=+,=z复合而成 -出·出-Ⅵ+,2x=2x41+2 例6计算 dx,指出错处,分析错因,作出解答 1) 错解】 dr [-]--2 解本题被积函数取正值,积分区间由小到大,根据定积分定义,定积分值应为正 的 所以上述计算必有错误.其原因是x=1是被积函数的无穷间断点,这是一个广义积分,不 能直接用牛顿一莱布尼兹公式计算,应该先讨论其收敛性 原式一a21d+」a21y
234 高等数学重点难点100讲 因为 1 de lim dx li lim le 根据广义积分收敛性定义, o(x-1) dx发散 例7计算积分 since<ldx,指出错误分析错因作出解答 + 错解】因为被积函数是奇函数积分区间是对称区间,故有 sinze=0. 解本题积分区间是无穷区间,属于广义积分,不能利用奇函数的上述积分性质 "o sinredr= sinze"dx sinre'dr=I,+I 由广义积分敛散性定义知: I2=lim sinr.e dx=lim e"(sinz-cosx)= lim Ce(sinb-cosb)+11 取bn=2nx→+∞,对应l2=im[e2·(-1)+1]=-∞; 取b.=2mr+2→+∞对应l2=lm3[em1+1]=+ 故广义积分I2发散,从而 since ldr发散 例8指出下面的错误,并写出正确作法 求f(x)dx,f(x)/1-x, 0≤x≤1; 2 1<x≤3 f(x)在[0,3]上的原函数为 F(x) 0≤x≤1 x2-2x,1<x≤3. 所以|f(x)dx=F(3)-F(0)=3 解F(x)在x=1处不连续,从而F(x)在x=1处不可导,故F(x)不是f(x)在0 3]上的原函数,所以所求结果是错误的.如何求f(x)在[0,3]上的一个原函数呢 当0≤x<1时,f(x)dx=(1-x)dx=x2+C1; 当1<x≤3时,f(x)dx=(2x-2)dx=x2-2x+C2 因为f(x)在[0,3]上连续,故其原函数在[0,3]上存在,在x=1处可导必连续,所以 同=z-2+c)=1m(x2-2+c)即C=是2+C从而 +CI 0≤x≤1; 2x++C1,1<x≤3. 取C1=0,则得f(x)在[0,3]上的一个原函数G(x)= 2x+,1<x≤3 9 于是f(x)dx=G(3)-G(0)=2
第65讲定积分计算常见错误分析 235 这个作法虽然正确,但不简便,应分段积分: (r)dx=l(1-x)dx +(2x-2)dx 例9判别 小2x=1d的做散性下面的两种作法哪个正确?为什么? 解法1∴x→1时,x1→,n|xz=1→-∞, ∴x1’x-1∞,即x=1为无穷间断点, 原式=lim - im{[n2(1-x)]1+[n2(x-1) n“(e In(e ∴原广义积分收敛 解法2∵x→1时nx=1→∞,即x=1为无穷间断点 原式=|mx=1z+1m.1=2d In(l m lir )dxln(1-x) e-o 2 lim [In2(1-x) ∴原广义积分发散. 解法2是正确的,解法1是错误的因为(*)式中的两个E趋于零的变化过程中是互相 独立的,所以必须分别求(*)式右端的两个极限如果将第二个极限中的写成c就可避免 解法1中的错误了 例10下面积分计算是否正确?如果有错请指出错误,并给出正确解法 求I= +x d( 解I arctan 1(x一工 )+2 解错误是明显的由十2>0(-1≤x≤1)知1+x>0.错误原因是 对被积函数变形时出现了,在积分区间[-1,1]内的x=0处无定义,不满足牛顿一莱布 尼兹公式的条件正确的解法是用x=0将[-1,1]分成[一1,0]及[0,1],利用被积函数是 偶函数的特点,得 d( 1 1 二dx=2lim -arctan )2+2
236 高等数学重点难点100讲 [-(-2)]= 注意初学者在解积分题目时,往往只把注意力集中于找被积函数的原函数,而忽视了 检查被积函数在积分区间上是否有间断点或自己在对被积函数变形时是否引人了没有定义 的点对于间断点要判别类型,属于广义积分的要按广义积分的定义计算 例11下面计算是错误的,指出错处,给出正确解答计算I= d o2+cos'x 错误解法:I= -d (tanx) d (tanr) o 2tan'x+3 tan2+ tan r 2 -arctan 0. 解错误原因在计算过程中所作变换=tanx在积分区间[0,丌的内点x=2处无 穷间断因此对应的积分不是常义积分需分区间[0,2]和[2,x]分别计算 d (tan) d(tan) o 2tan'x+3 J= 2tan'x+3 H=1nx,x=0,4=Ox+,→+∞,r+∞du →一∞;x=丌,u=0 2x2+ 42+3 3 arctan 32π2