第70讲向量代数 263 第70讲向量代数 学生:老师,您好!本周我们主要学习向量代数您谈谈学习这门新知识应该注意哪些问题? 老师:你好!任何一门学问都有其特色,因此,宏观地讲,在学习一门新知识的过程中,既 要注意比较与已掌握知识的相同点、相近点,更要注意研究这门新知识在概念与方法上的新 的突破新的发展,具体到向量代数的学习,由于数学中在某个集合内规定了某些运算,便形 成了某个代数系统,各个代数系统有其自身的运算法则,所以一定要注意决不能把一个代数 系统的运算法则随意搬用到另一个代数系统中去 学生:具体到向量代数的学习上如何在初学时就能尽快避免把熟悉的实数运算法则漫 不经心地用到向量代数系统中去? 老师:我以为,首先应该在基本概念上下功夫,如向量代数定义了三种乘法,即数乘向 量数量积及向量积,对于这些基本概念,首先要牢记其定义: 向量a与一数量λ之积Ⅻ定义如下: λ>0,即与a同向; λ=0,即为零向量; aa 即与a反向. 其中a°是向量a的单位向量 数量积的定义为:两个非零向量a、b的数量积(也称为内积)等于这两个向量的模与它 们间夹角余弦的乘积,记为a·b,即a·b=|a|·|b|cos6,这里0表示向量a与b间的夹角 (0≤6≤x).由定义知,两个向量的数量积是一个实数,零向量与任何向量的数量积为0.数 量积的其他形式:当a≠0时,a·b=|a|Prjb;当b≠0时,a·b=|b|Pria;即两个向量的 数量积等于其中一个向量的模与另一向量在这向量方向上的投影的积 向量积的定义为:两个向量a与b的向量积(也称外积)仍是一个向量c,记作c=a×b c的模lel=|a|·|b·sin(a,b)(0≤(a,b)≤π),即c的模等于以向量a、b为邻边的 平行四边形的面积的数值,c的方向垂直于向量a与b确定的平面,其指向按右手规则从第 向量a转向第二向量b来确定 其次,了解定义的几何或物理意义也是很有必要的:向量与数乘在几何上相当于将向量进行 拉伸或压缩,当λ>1时,如是将向量a进行拉伸;当0≤λ1)或压缩(A<1) 数量积的物理意义是:物体在力F的作用下,位移为S,若F与S之间的夹间为9则力F 所作的功W=F·S=围F|·|s|cosq,即为F与S的数量积 向量积的物理意义是:设O为一根杠杆L的支点,力F作用于这杠杆上P点处,F与OF 的夹角为6则力F对支点O的力矩是一个向量M,M即为O声与F的向量积M=D声×F. 第三点,在向量的各种关系中,主要就是依赖它们的性质与运算求解各类问题的,所以 应该熟记其常用性质(这些性质都可由定义直接推出).数乘向量的性质有:①结合律A(m =A(a)=(4)a;②分配律(λ+p)a=如+,λ(a+b)=如+ 数量积的性质有:①a·a=|a2;②非零向量a⊥b的充分必要条件是a·b=0;③a·
264 高等数学重点难点100讲 b=b·a(交换律)④(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)⑤(l)b=A(a·b);()·(师) =k(a·b),λ为实数(对数乘的结合律) 向量积的性质有:①a×a=0②非零向量a∥b的充分必要条件是a×b=0;③a b=-b×a(反交换律);④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律);⑤(la)×b=a×(b) λ(a×b),为数(与数乘向量的结合律) 顺便指出,在解答问题的过程中,自始自终要注意书写的规范性,如两个实数A,H的乘 积可记作:或λ·,或λ×g,即三种乘积记号用于实数是表达同一个乘积概念.但在向量 代数中,、a·b,a×b则分别表示数乘向量数量积及向量积三种不同的乘积概念,如不能 写成λ·a或λ×a.我们规定了a2=a·a=|a|2,但没有a3或a‘的定义;(a·a)a有意义, 而a,a·a没有意义当数a≠0时,a=1有意义,但当a≠0时,没有意义,因为我们 没有定义过向量的除法 学生:在作练习题的过程中,下面的几道判断题(判断各等式的正确性)没有把握 (1)a(a·b)=a2b (2)(a·b)2=a2·b2;(3)(a·b)c=a(b·c); (4)(a+b)×(a+b)=a×a+2a×b+b×b=2a×b; (5)(a+b)×(a-b)=a×a-b×b=0; (6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c;(7)若a≠0且a×b=a×c,则b=c. 请老师讲解一下? 老师:根据上述三个定义,不难看出以上各式都是错误的 解(1)数量积a·b与a2=a·a都是数,左端a(a·b)是数a·b乘向量a,因此,a(a b)∥a;右端ab是数a2=|a|2乘向量b,因此,a∥b,所以,当a与b不平行时,等式不 成立.当a∥b时,等式成立,这是因为当a∥b时,有a=b(λ∈R),这时,左端=a(a·b) (如·b)=2|b13b,右端=a2b=(场·)b=2|b|2b (2)左端=(a·b)2=(a|·|b|cos0)2=|a|2·|b|cos,所以(a2·b)≤ab,当a ∥b时,=0或丌,cos26=1,这时等式成立 (3)等式两端均为向量,左端的向量与向量c平行,模|(a·b)c|=|a·bl·|cl=|a|·|b ccos6(6为向量a与b间的夹角);右端的向量与向量a平行,其模|a(b·c)|=|a|·|b·c =|a||bl| c cosa(a为向量b与c间的夹角),故一般情形等式不成立 当向量a∥c时,存在数λ∈R,使a=A,这时,左端=(c·b)c=k(c·b)c,右端= (b·c)=A(b·c)c(注意,(b·c)是一个数),这时等式成立 本题说明,数量积没有结合律 (4)由于向量积不满足交换律,故该式不成立,事实上,由于向量与自身的向量积为零 向量,故(a+b)×(a+b)=0 (5)(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b=2b×a (6)由于数量积及向量积都没有逆运算,因此,向量乘法的消去律不能成立,我们只能 得到下面结论;a·(b-c)=0,从而a⊥(b-c) (7)同样,只能得到a×(b一c)=0,从而a∥(b-c). 学生:我明白了:这些错误都是由于把实数的运算法则盲目地搬入向量运算所产生的: 1),(2),(3)三式都是乱套实数乘法的结合律而得到的,但向量的数量积没有结合律;(4) (5)两式是套用实数的二项和平方公式及平方差公式而得.由于向量积虽满足分配律,但不 潢足交换律,因此这些公式对向量积都是不成立的.(6)、(7)两式是套用了实数的消去律
第70讲向量代数 265 由于数量积及向量积都没有逆运算因此向量的这种消去律不成立 老师:理解正确 学生:关于向量代数式的化简及运算,通常用哪几种方法? 老师:通常有两种,一是运用上述数乘向量、数量积向量积的性质直接化简所给表达 式,另一是运用向量的坐标表达式进行计算,这就需要熟记如下表示式,设点A的坐标为 (x1,y1,z1),点B的坐标为(x2,y2,z2),则AB的分解表示式为AB=ai+aj+ak,AB的 坐标表示式为AB={ax,ay,an}={x2-x1,y2-y,z2-z1},其中ax=x2-x1,ay=y2 y1,an=z2-z1分别为AB在x,y,z轴上的投影,,分别为沿x,y,z轴正向的单位 a=|AB|=yan2+ay2+a2=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2, cOSa a2+a2+a2y(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 a cosB y2y an2+a2+a2v(x2-x1)2+(y2-y)2+(x2-21 cos》 a x2-x1)2+(y2-y)2+(x2-x)2 显然,cos2a+cos2B+cos2y=1 a=ap2= cosaL+cos8+osk=og,80其中a,B,为非零向量的方向角 设a={ax,a,a2},b={b=,,b},A为实数,则 加减法:a±b={a1±bx,a,士b,,a=±b},数乘:a={kax,ka2,k}, 数量积:a·b=a2b2+ab+a2b, a. a 向量积:a×b=aa,a|= k 6. 6. j 6. b b,b、b 6. b 为了熟悉这些公式,请作如下练习题: 题1一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4,-4和 7,求这向量起点A的坐标 题2分别求出向量a=i+j+k,b=2i-3+5k及c=-2i-j+2k的模,并 分别用单位向量a°b°、c表达向量a、b、c 题3设m=3+5+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n P在x轴上的投影及在y轴上的分向量 题4求向量a={4,-3,4}在向量b={2,2,1}上的投影. 题5已知向量a=2i-3+k,b=i-j+3k和c=i-2j,计算: (1)(a·b)c-(a·c)b;(2)(a+b)×(b+c);(3)(a×b)·c 题6一向量与x轴、y轴成等角,与z轴所构成的角是它们的2倍,试确定该向量的方 向 题7化简:(1)(a×b)·(a×b)+(a·b)(a·b); (2)(2a+b)×(c-a)+(b+c)×(a+b). 学生:试解如下 解1设A的坐标为(x,2,则A万方2-12711=7- ar= Prj =2
5266 高等数学重点难点100讲 由已知条件得2-x=4,-1-y=-4,7-z=7,所以,x=-2,y=3,z=0,故 点A的坐标为(-2,3,0) 解2{a|=√①2+12+12=√ b=√22+(-3)2+52=√38,b=√38b°; √(-2)2+(-1)2+22=3,c=3 解3a=4(3+5j+8k)+3(2-4-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k, 故a在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量为7j 解4Prig=| a cos(a,b)=|a|· 4×2+(-3)×2+4×1 b 22+22+1 解5(1)(a·b)c-(a·c)b=[2×1+(-3)(-1)+1×3](i-2j) [2×1+(-3)×(-2)+1×0](i-j+3k) 8(i-2j)-8(i-j+3k)=-8j-24k; (2)(a+b)×(b+c)=(3i-4j+4k)×(2i-3j+3k) i j k 3-44 j一k 33 3)(a×b)·c=2-31·(-2j)=(-8-5j+k)·(i-2j)=2 解6设该向量与x轴、y轴的夹角为a,则与z轴的夹角为2a,又由于方向余弦的平方和等 于1:cos2a+cos2a+cos2a=1,即2cos2a+(2cos2a-1)2=1,亦即2cos2a (2cos2a-1)=0,从而cosa=0,或cosa=± (舍去cosa= ).进而知a=或 该向量的方向角分别为a=B=2,=r,或a=B=4,=2,故该向量的方向为 7 (cosa, cosB, cosv) =0,0,-1, s i cOSa. co B, cosy COs , cOS 4 2,2 0 解7(1)(a×b)·(a×b)+(a·b)(a·b)=a×b2+(a·b)2 =1a|2·b12·sin2sin2(a,b)+|a|2·|b|2·cos2(a,b)=(|a!|b|) (2)(2a+b)×(c-a)+(b+c)×(a+b) =2a×c+b×c-2a×a-b×a十b×a十b×b+c×a+c×b 2a×c+b×c+c×a+c×b=a×c(注意运用向量积的反交换律) 上述解答不知是否正确,请老师指教 老师:解答正确! 学生:如何用向量来解几何题? 老师:用向量解几何题,有时会收到意想不到的效果解题时应注意到两个知识点的应 用,一是熟练运用向量的线性运算如AP=APB表示A、B、P三点共线(点P是线段AB的 λ分点),又如取点M,有AB=AM+MB=MB-MA.特别,对原点O,有AB=OB-OA r(B)-r(A)解题时,可先作图,然后从图形中分析有关的有向线段之间的相互关系,再 运用向量运算达到解题的目的;另一是熟练运用数量积及向量积的两条性质即设a= {a,ayan}≠0,b={bx,b,b}≠0,则
第70讲向量代数 267 (1)a⊥b的充要条件是a·b=0用坐标式表示为abx+ab+ab=0; (2)a∥b的充要条件是a×b=0,用坐标式表示为 b 务必充分注意:上述两条性质在今后许多理论推导中将起着至关重要的作用,为了熟悉 这两个知识点,请您作如下练习 题8设a={3,5,-2},b=(2,1,4},问λ与p有怎样的关系,才能使+pb与z 轴垂直 题9设a+b+c=0,|a|=3,|b|=2,|cl=5,求a·b+b·c+c·c 题10已知点A(x1,y1,x1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),求△ABC的重心 题11利用向量运算证明正弦定理:sinA=inB=snC 学生:试解如下: 解8z轴上的单位向量k={0,0,1},妞+地与z轴垂直的充要条件为 (+b)·{0,0,1}=0,即{3λ+2,5λ+g,-2A+4}·{0,0,1}=0, 亦即-2A+4=0,A=2,故当A=2时,才能使+西与z轴垂直 解9等式a+b+c=0两边依次与a,b,c作数量积,得 a2+a·b+a·c=0,b·a+b2+b·c=0,c:a+c·b+c2=0, 以上三式相加并移项,得 a·b+b·c+c·a b2+c)=-2(32+22+5)=-19. 解10如图70-1,记重心为G,BD=DC,AG=3AD,于是AG 3AD=2(AB+B)≈2AB+1BC(*),记A,B,C,G的 向径依次为r1、r2、r3、r4,由AG=OG-0A=r4-n1,AB=r2-r1, BC=n-n2,代人(*)式得0(r3-r1)+3(r3-r2), 即有 B 图70-1 (r1+n2+r2)=1{x1+x2+ +y2+y3,z1+z2+z3} 即重心为G|(x1+x2+ +y2+y),(x1+z2+z3) 解11由于涉及边与夹角的正弦,使我们联想到向量积如图 入 70-2,由AC+CB=BA=-AB,及 AB X AB=O,知(AC+CB) AB=0,所以AC×AB=-CB×AB=-BC×BA=B.4 BC,由此得 C AC×AB|=b·c·sinA=|BA×BC|=c·a·sinB, 所以 同理等于 图70-2 na sinB 请老师检查,指教 老师:正确,希望继续努力. 学生:谢谢老师讲解